2021年湖南省衡阳市北斗星实验中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年湖南省衡阳市北斗星实验中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……（） A． B． C． D．参考答案：A6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为,选A.

2.设复数满足为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A试题分析：因为，所以，即复数对应的点位于复平面内第一象限，故选A.考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3.已知，则（

）A.－4

B.4

C.

D.参考答案：C因为，所以，所以，故选C.

4.已知集合，则等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，,而对角线A1B上存在一点P，使得取得最小值，则此最小值为A. B.3 C. D.2参考答案：A【分析】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接并求出，就是最小值．【详解】把面绕旋转至面使其与对角面在同一平面上，连接．就是的最小值，，，．所以故选：．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．6.设非空集合同时满足下列两个条件：①；②若，则，.则下列结论正确的是（A）若为偶数，则集合的个数为个；（B）若为偶数，则集合的个数为个；（C）若为奇数，则集合的个数为个；（D）若为奇数，则集合的个数为个.参考答案：B略7.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是(

) A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：A考点：循环结构．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．解答： 解：当输入的值为n=5时，n不满足第一判断框中的条件，n=16，k=1，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=1，k=5，n满足第二判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选A．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．8.已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率为A．或

B． C． D．或参考答案：D9.“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，求出a和b的关系结合条件a=b，判断充要条件关系．【解答】解：若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，∴y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切若y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，则∴a﹣b=0或a﹣b=﹣4故“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，充要条件的判定，是有点难度的基础题．10.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算.A1【答案解析】B解析：解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函数y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴CRB=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），则A∩（CRB）=[1，2）．故选B【思路点拨】求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中，x的系数为__________.参考答案：－5【分析】展开式与相乘得到项，则展开式中项与相乘，项与-1相乘，再相加，得到系数.【详解】要求的系数，则展开式中项与相乘，项与-1相乘，所以展开式中项为与相乘得到，展开式中项为，与-1相乘得到，所以的系数为【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计算即可得到结果，属于简单题.12.若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为______．参考答案：[-1,1]13.（5分）（2015?青岛一模）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．参考答案：②④【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：压轴题；新定义．【分析】：根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，?属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．解：①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】：此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．14.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种.参考答案：5115.已知函数,等比数列{an}的前n项和为,的图象经过点,则=

参考答案：C.∵函数f(x)=1-2x经过点(n,Sn),∴Sn=1-2n,∴数列{an}是首项为-1,公比为2的等比数列，∴{an}的通项公式为an=-2n-1

16.存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④

；⑤.其中存在“稳定区间”的函数有____

.

（把所有正确的序号都填上）参考答案：①③④因为由题意可知，定义域和值域相同的区间为稳定区间，那么根据函数的性质可知①；③；④

；都可以找到稳定区间（0,1）而没有满足条件的区间，舍去。17.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈［a,b］,且b-a=1,a,b∈N*，则a+b=_______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）让绝对值内各因式为0，求得x值，再由求得的x值把函数定义域分段化简求解，取并集得答案；（2）由（1）可得函数f（x）的最小值，把不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空转化为|m﹣2|大于f（x）的最小值求解．【解答】解：（1）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．∴原不等式的解集为．（2）由已知函数，可得函数y=f（x）的最小值为4，∴|m﹣2|＞4，解得m＞6或m＜﹣2．19.（本小题满分13分）设实数，整数，.（I）证明：当且时，；（Ⅱ）数列满足，，证明：．参考答案：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明①当时，，原不等式成立．②假设时，不等式成立，当时，

．所以时，原不等式也成立．综合①②可得，当时，对一切整数，不等式均成立．（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明．①当时，由题设知成立．②假设（）时，不等式成立．由易知，．当时，．由得．由（Ⅰ）中的结论得，．因此，即.所以时，不等式也成立．综合①、②可得，对一切正整数，不等式均成立．再由可得，即．综上所述，．证法2：设，则，并且．由此可得，在[)上单调递增，因而，当时，．①当时，由，即可知，并且，从而．故当时，不等式成立．②假设（）时，不等式成立，则当时，，即有．所以，时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数，不等式均成立．20.对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的值．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）若函数的定义域为R，则内函数u=g（x）=x2﹣2ax+3的最小值大于0，进而可得实数a的取值范围；（2）函数的值域为（﹣∞，﹣1]，则内函数u=g（x）=x2﹣2ax+3的最小值为2，进而可得实数a的值．【解答】解：记u=g（x）=x2﹣2ax+3=（x﹣a）2+3﹣a2，（1）∵u＞0对x∈R恒成立，∴，∴a的取值范围是；（2）∵g（x）的值域是[3﹣a2，+∞），∴函数的值域为（﹣∞，﹣1]等价于；即a的值为±1；【点评】本题考查的知识点是对数函数与性质，二次函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．21.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.参考答案：解：（I），由题意知：……2分由最大值为2，故，又，……………4分…………………5分令，解得的对称轴为------------7分（II）由，………………8分……10分………12分略22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直