上海市东城高级中学高二数学文期末试卷含解析

上海市东城高级中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设随机变量ξ～B（n，p），且E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，则（）A．n=8，p=0.2 B．n=4，p=0.4 C．n=5，p=0.32 D．n=7，p=0.45参考答案：A【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于n，p的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果．【解答】解：∵随机变量ξ～B（n，p），E（ξ）=1.6，D（ξ）=1.28，∴np=1.6，①np（1﹣p）=1.28

②把①代入②得1﹣p==0.8，∴p=0.2∵np=1.6∴n=8，故选A．2.已知an=（）n，把数列{an}的各项排列成如图所示的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，11）=（）A．（）92B．（）93C．（）94D．（）112参考答案：A3.顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（﹣2，3）的抛物线方程是(

)A．y2=x B．x2=yC．y2=﹣x或x2=﹣y D．y2=﹣x或x2=y参考答案：D【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将M点坐标代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0）∴9=4p，解得p=，∴y2=﹣x．（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为x2=2py（p＞0）∴4=6p，解得：p=．∴x2=y∴抛物线方程是y2=﹣x或x2=y．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，解题过程中要注意对称轴是x轴和y轴两种情况作答，属于基础题．4.已知函数是奇函数，当时，=，则的值等于

A

B

C

D

参考答案：D略5.函数，则（

）A、

B、3

C、1

D、命题意图：基础题。考核常数的导数为零。参考答案：C6.若函数在区间(－1,1)上存在一个零点，则的取值范围是

A.

B.或

C.

D.参考答案：B7.(本小题满分12分)过点，斜率为的直线与抛物线交于两点A、B，如果弦的长度为。

⑴求的值；⑵求证：（O为原点）。．参考答案：解⑴直线AB的方程为，联立方程,消去y得,.设A(),B(),得

解得⑵略8.已知双曲线的渐近线方程为，此双曲线的离心率为（

）A． B．

C．或 D．参考答案：C略9.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为（）A．m B．2m C．4.5m D．9m参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2Py（P＞0），由题意知抛物线过点（2，﹣2），进而求得p，得到抛物线的标准方程．进而可知当y0=﹣3时x02的值，最后根据水面宽为2|x0|求得答案．【解答】解：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2Py（P＞0），由题意知，抛物线过点（2，﹣2），∴4=2p×2．∴p=1．∴x2=﹣2y．当y0=﹣3时，得x02=6．∴水面宽为2|x0|=2．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．10.函数的零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数值，利用零点定理推出结果即可．【解答】解：函数，可得：f（﹣1）=5＞0，f（0）=3＞0，f（1）=＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣0，由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的两条准线间的距离为________.参考答案：12.14．曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则的面积不大于.其中所有正确的结论的序号是

.参考答案：②③13.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为

．参考答案：9【考点】简单线性规划．【分析】首先根据约束条件求出使得目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2的x，y值，得到a，b的等式，利用基本不等式求最小值．【解答】解：由题意变量x，y满足约束条件，对应的区域如图，可得在A（2，1）处z取得最小值，所以2a+2b=2，即a+b=1，所以=（）（a+b）=5+≥5+2=9，当且仅当时等号成立．故答案为：914.已知复数满足，则___________参考答案：15.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.参考答案：16.下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中，真命题的编号是

（写出所有真命题的编号）参考答案：①④略17.若△ABC三边长分别为a、b、c，内切圆的半径为r，则△ABC的面积，类比上述命题猜想：若四面体ABCD四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，则四面体ABCD的体积V=．参考答案：r（S1+S2+S3+S4）【考点】F3：类比推理．【分析】利用等体积进行推导即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．∴V=（S1+S2+S3+S4）r．故答案为：（S1+S2+S3+S4）r．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线合成，为椭圆左、右焦点，，为椭圆与抛物线的一个公共点，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过的一条直线，与“盾圆”依次交于四点，使得与的面积之比为，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.参考答案：(I)由得准线为，所以，故，，

……………2分∴，，∴，∵得∴椭圆方程为

……………5分(II)依题意设直线方程为

……………6分联立得：

设，则①…………7分联立得：设，则②

…8分设到直线的距离为∴

……………9分…………11分解得：，

……………12分若，由②可知，不在“盾圆”上，同理也不满足，综上所述：符合题意的直线不存在

……14分解法二：(II)当不存在时，，此时,,不合题意舍去…6分当存在时，设直线方程为

联立得：

设，则①…………7分联立得：设，则②

…8分设到直线的距离为∴……………9分…………11分解得：，

……………12分后解法同上19.（本小题满分8分）已知椭圆C：，左焦点，且离心率(Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求直线的方程．参考答案：见解析【知识点】椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知：

解得，

所以椭圆的方程为：;

（II）证明：由方程组，得，

，

整理得，

设，

则．

由已知，且椭圆的右顶点为，

，

，

即，

也即，

整理得：．

解得或均满足．

当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去；

当时，直线的方程为，符合题意．20.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230，235）80.16第二组[235，240）①0.24第三组[240，245）15②第四组[245，250）100.20第五组[250，255]50.10合

计501.00（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．参考答案：【考点】C7：等可能事件的概率；B3：分层抽样方法；B7：频率分布表．【分析】（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，即可得答案；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，抽取比例为，由第三、四、五组的人数，计算可得答案；（3）设（2）中选取的6人为abcdef（其中第四组的两人分别为d，e），记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，用列举法列举从6人中任取2人的所有情形，进而可得事件A所含的基本事件的种数，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，故①②位置的数据分别为12、0.3；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，则第三组参加考核人数为15×=3，第四组参加考核人数为10×=2，第五组参加考核人数为5×=1，故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；（3）设（2）中选取的6人为a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为d，e），则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种；记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．21.已知p:“实数m满足：（）”；q:“实数m满足：方程表示双曲线”；若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.参考答案：真则

真则，解得是的充分不必要条件，则而不能推出,

22.（本小题满分12分）甲、乙两名运动员在次训练中的得分情况如下面的茎叶图所示.（Ⅰ）分别计算甲、乙训练得分的平均数和方差，并指出谁的训练成绩更好，