2021年湖南省衡阳市市第二十六中学高三数学文测试题含解析

2021年湖南省衡阳市市第二十六中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（

）①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；②调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；③已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)等于0.1587④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：略2.若实数x，y满足，则的最小值为A.4

B.1

C．－1

D．－4

参考答案：C3.如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线参考答案：B4.设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（A）8（B）10（C）12（D）14参考答案：C略5.将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变，得到的图象，则的可能取值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A函数的解析式：，逐一考查所给的选项：A.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，符合题意；B.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；C.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；D.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；本题选择A选项.

6.如右图，阴影部分的面积是

A、

B、

C、

D、参考答案：C7.2017年国庆期间，全国接待国内游客7.05亿人次，其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数比值依次记为，若该比值超过1，则称该景区“爆满”，否则称为“不爆满”，则如图所示的程序框图的功能是(

)A.求30个景区的爆满率 B.求30个景区的不爆满率C.求30个景区的爆满数 D.求30个景区的不爆满数参考答案：B根据题意得到，程序框图中只有当时，才计数一次，并且入循环，进入下一次判断，而这一条件就是不爆满的意思，故程序框图的功能是求30个景区的不爆满率.故答案为：B.

8.设，集合是奇数集，集合是偶数集。若命题p:，则（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略9.已知集合A=，B=，则A∩B=A．{1,2} B．{0,1,2} C．{0,1,2,3}

D．参考答案：B解析：因为，故选B.10.下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B

【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．B4B12解析：由选项可知，A选项单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B．【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：12.已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是______。参考答案：略13.已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，所以高，所以．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的侧面积、体积公式，以及方程思想，属于基础题．14.如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，∠C=，则∠AED=．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：如图所示，连接OE．利用切线的性质及CD与⊙O相切于点E，可得OE⊥CD．即可得出∠COE，由OE=OA，可得∠OEA即可．解答：解：如图所示，连接OE．∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD．∵，∴．∵OA=OE，∴．∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质、圆的性质是解题的关键．15.

．参考答案：

16.在数列中，若，，则该数列的通项

。参考答案：答案：2n－1解析：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以2n－117.设是方程的解，且，则=▲。参考答案：【知识点】函数零点问题

B9由，得令，.故答案为.【思路点拨】由方程得到对应的函数，由零点存在性定理得到方程根的范围，则答案可求．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．19.已知函数f（x）=+x．（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣

…（2）若a＜0，∵（x≠0），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x∈（1，+∞）时，令H（x）=aex（x﹣1）+x2，则H′（x）=（aex+2）x，∵x∈（1，+∞），∴ex∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴aex≤ae≤﹣e∴aex+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴?x0∈（1，2），使得H（x0）=0

…且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；∴f（x）在x0处取得极大值

（*）又H（x0）=aex0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：，∴不存在负整数a满足条件．…（3）设g（x）=aex（x﹣1）+x2，则g′（x）=（aex+2）x，因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值．…当x＜0时，ex＜1，且x﹣1＜0，所以g（x）=aex（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值．综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…20.已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，m），求m的取值范围．参考答案：解：（I）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为，∴，，又a2=b2+c2，联立解得b=c=2，a2=8．∴椭圆C的方程为．（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，∴m=0．当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），联立，化为（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x0，y0），则x1+x2=，∴x0==﹣，y0=k（x0+2）=，∴线段MN的垂直平行线的方程为=﹣，令x=0，可得m=y==，当k＞0时，m≥﹣，当且仅当k=时取等号；当k＜0时，m≤，当且仅当k=﹣时取等号．综上可得：m的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为，可得，，又a2=b2+c2，联立解得即可．（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，可得m=0．当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x0，y0），利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得（x0，y0），可得线段MN的垂直平行线的方程，对k分类讨论即可得出．解答：解：（I）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为，∴，，又a2=b2+c2，联立解得b=c=2，a2=8．∴椭圆C的方程为．（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，∴m=0．当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），联立，化为（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x0，y0），则x1+x2=，∴x0==﹣，y0=k（x0+2）=，∴线段MN的垂直平行线的方程为=﹣，令x=0，可得m=y==，当k＞0时，m≥﹣，当且仅当k=时取等号；当k＜0时，m≤，当且仅当k=﹣时取等号．综上可得：m的取值范围是．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线方程、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在