2021-2022学年北京江山外国语学校高三数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年北京江山外国语学校高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量的值是

（

）

A．

B．

C．

D．1

参考答案：D略2.已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“

为等差数列”的（

）

(A)必要而不充分条件

(B)既不充分也不必要条件

(C)充要条件

(D)充分而不必要条件

参考答案：D3.若实数满足，则的最小值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B4.正项等差数列{an}的前n和为Sn，已知，则=（

）A.

35

B.

36

C.

45

D.

54参考答案：C5.若集合等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知正项等比数列满足.若存在两项使得，的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.若函数f（x）=sin2xcos+cos2xsin（x∈R），其中为实常数，且f（x）≤f（）对任意实数R恒成立，记p=f（），q=f（），r=f（），则p、q、r的大小关系是（

）A．r<p<q

B．q<r<p

C．p<q<r

D．q<p<r参考答案：C试题分析：,当时，函数取得最大值，函数的最小正周期,根据周期和对称性知,,,位于函数的增区间，所以,故选C.考点：1.三角函数的性质；2.比较大小.8.已知抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为A.

B.

C.1

D.2参考答案：D设，，抛物线的准线为，根据梯形的中位线定理知，AB的中点到x轴的距离为==所以当AB恰好经过焦点时，d最小，即=2。答案选D

9.若是定义在上的函数，对任意的实数，都有且，则的值是

A．2009

B．2010

C．2011

D．2012

参考答案：D略10.设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，，所以。12.将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，则

.参考答案：将函数向左平移个单位长度可得的图象；保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍可得的图象，故，所以.

13.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为

参考答案：14.函数的零点个数是

▲

．参考答案：3当时，由得，设，作出函数的图象，由图象可知，此时有两个交点。当时，由，解得。所以函数的零点个数为3个。15.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是．参考答案：22【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，?=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案为：22．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．16.已知函数，若a,b,c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，

则a＋b＋c的取值范围为

．参考答案：(25,34) 17.若，则的取值范围是___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中，，，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得，若存在指出点E的位置，若不存在请说明理由.参考答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点E为线段PC的中点.【分析】（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形，得到证明.（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.（Ⅲ）设，计算，，根据垂直关系得到答案.【详解】（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形.平面.（Ⅱ）平面，四边形为正方形.所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，则，，，，设平面法向量为，则，连结，可得，又所以，平面，平面的法向量，设二面角的平面角为，则.（Ⅲ）线段上存在点使得，设，，，，所以点为线段的中点.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.

已知数列的前项和为，且.求数列的通项公式；各项均为正数的等比数列中，，求数列的前项和为.参考答案：略20.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）三角形的中位线定理可得MN∥DC，MN=．再利用已知可得，即可证明四边形ABMN是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．（II）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．可得四边形ABOD是平行四边形，由于AD⊥DC，可得四边形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．由于cos∠OPB=，可得BP=．可得sin∠MDC==．而sin∠ECD==．而DM=MC，同理DM=EM．M为EC的中点，利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=．【解答】（I）证明：取ED的中点N，连接MN．又∵点M是EC中点．∴MN∥DC，MN=．而AB∥DC，AB=DC．∴，∴四边形ABMN是平行四边形．∴BM∥AN．而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．（Ⅱ）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．∵AB∥CD，AB=CD=2，∴四边形ABOD是平行四边形，∵AD⊥DC，∴四边形ABOD是矩形．∴BO⊥CD．∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，∴ED⊥平面ADCB．∴平面CDE⊥平面ADCB．∴BO⊥平面CDE．∴BP⊥DM．∴∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．∵cos∠OPB=，∴sin∠OPB=．∴=，解得BP=．∴OP=BPcos∠OPB=．∴sin∠MDC==．而sin∠ECD==．∴DM=MC，同理DM=EM．∴M为EC的中点，∴，∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D∴AD⊥平面CDE．∵AB∥CD，∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的作法与应用、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数f（x）=+alnx（a不是0）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）通过a=1，求出函数的导数，利用导数为0求出极值点，判断导函数的符号即可求解函数单调区间；（Ⅱ）求出函数的导数，求解极值点，转化在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，为求解函数的最值问题，利用a的取值范围的讨论，求解函数的最值，即可求得实数a的取值范围．解答： 解：（I）因为，…当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．…f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；

…（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（1）当，即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，故f（x）在区间（0，e]上的最小值为，由，得，即…（2）当，即a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈（0，e]成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以，f（x）在区间（0，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立

…②若，即时，则有xf'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间（0，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．综上，由（1）（2）可知：符合题意．…点评：本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，同时考查转化思想的应用．22.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，两条准线之间的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（