2022年浙江省温州市南白象中学高三数学理期末试卷含解析

2022年浙江省温州市南白象中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.展开式中的常数项为（

）A

B

C

D参考答案：C略2.若，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A3.在△ABC中，点D为BC的中点，若AB=，AC=3，则?=（） A．1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：B4.已知，则a，b，c的大小关系为(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据幂函数的单调性性，得到，再根据对数的运算性质，得到，即可得到答案.【详解】由题意，幂函数在上为单调递增函数，所以，又由对数的运算性质，可得，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故选：D．6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

)A．

B．

C．

D． 参考答案：B略7.如图，、是双曲线，的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两个分支分别交于点、，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为(

)（A）

（B） （C）

（D）参考答案：D8.设，满足约束条件，则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝x-y，再利用z的几何意义求最值，从而得到z的取值范围．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，

当直线过点时，取得最大值3，故.故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解，属中档题．9.单位向量与的夹角为，则=(

) A． B．1 C． D．2参考答案：B考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答： 解：∵向量与为单位向量，且向量与的夹角为，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故选B点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：==，10.已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性相同的是（）A．y=﹣x2+1 B．y=|x+1|C．y=e|x| D．参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断．【分析】先判断函数f（x）的单调性和奇偶性，然后进行判断比较即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x＞0时，，∴当x＞0时函数f（x）为增函数，则在（﹣2，0）上f（x）为减函数，A．在（﹣2，0）上y=﹣x2+1为增函数，不满足条件．B．y=|x+1|在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣2，0）上不单调，不满足条件．C．f（x）在（﹣2，0）上是单调递减函数，满足条件．D．当x＜0时，f（x）=x3+1是增函数，不满足条件．故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以下命题：①若，则∥；②=（－1，1）在==（3，4）方向上的投影为；③若△ABC中，a=5,b=8,c=7，则·=20；④若非零向量、满足，则．其中所有真命题的标号是

。参考答案：①②④12.若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣1，4]考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立转化为a2﹣3a≤4，求解该不等式得答案．解答：解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的动点x与两定点﹣3，1的距离，则|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的实数a的取值范围为[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．13.已知，直线交圆于两点，则

．参考答案：，14.有最大值和最小值，且，则3a-2b=__________参考答案：9令（证明为奇函数

2a=6

a=3(有最大值和最小值)要有最大值和最小值，则b=03a-2b=9思路点拨：此题注意分析复杂函数中的奇偶函数，注意奇函数中的最大值与最小值之和为零15.已知函数的定义域是，则的值域是

参考答案：略16.设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M+m=_____.参考答案：4略17.函数在内单调递减，则实数a的范围为

▲

．参考答案：【答案解析】解析：解：因为函数的导数为，所以.【思路点拨】导数与函数的单调性之间的关系，根据函数的导数，我们直接确定a的取值范围.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的不等式|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤a．（Ⅰ）当a=3时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）若不等式有解，则a大于或等于f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值，利用单调性求的f（x）的最小值，从而求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，关于x的不等式即|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3，故有①，或②，或③．解①求得﹣3≤x＜，解②求得≤x≤1，解③求得1＜x≤3．综上可得，不等式的解集为[﹣3，3]．（Ⅱ）若不等式有解，则a大于或等于f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|的最小值．由f（x）=，可得函数f（x）的最小值为f（）=﹣，故a≥﹣．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，利用单调性求函数的最值，属于中档题．19.如图四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，是的中点.（I）求证：平面；（II）试在线段上确定一点，使∥平面，并求三棱锥-的体积.参考答案：略20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn+3=3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（n+1）logan，记Tn=++…+，求证：2Tn＜1．参考答案：考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）通过令n=1可得首项a1=3，当n≥2时，利用2Sn+3=3an与2Sn﹣1+3=3an﹣1的差可得公比，进而可得结论；（II）通过bn=2n（n+1），分离分母可得=（﹣），并项相加即得结论．解答： （I）解：当n=1时，2S1+3=2a1+3=3a1，得a1=3，当n≥2时，2Sn+3=3an

…①2Sn﹣1+3=3an﹣1

…②①﹣②，得：2an=3an﹣3an﹣1，即an=3an﹣1，∴数列{an}为公比为3，首项为3的等比数列，∴an=3?3n﹣1=3n（n∈N*）；（II）证明：∵bn=（n+1）log3n=2n（n+1），∴==（﹣），∴Tn=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，∴2Tn＜1．点评：本题考查求数列的通项和前n项和的取值范围，注意解题方法的积累，属于中档题．21.已知函数，，、.（1）若，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；（3）若对任意实数a，函数在(0,+∞)上总有零点，求实数b的取值范围．参考答案：（1）1；（2）；（3）．【分析】（1）由得出，由此得出，设切点为，由题意得出，可求出的值；（2）由参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析得出，由此可得出实数的取值范围；（3）根据题意，对函数求导可得，对实数分和两种情况讨论，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出实数的取值范围.【详解】（1）由，得，，设函数与函数相切于点，则，由题意可得，解得，因此，；（2）由题意得，恒成立．令，，则，再令，则，令，解得.故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，从而，函数在上有最小值，即有在上恒成立，所以，函数在上单调递增，故，所以.因此，实数的取值范围是；（3）由题意可得，其导数.①当时，对任意的恒成立，则函数在上为增函数，若函数在上总有零点，则有，解得；②当时，令，解得.当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.则函数在处取得最小值，即.（i）当时，即当时，对任意的，，则函数区间上单调递增，若函数在区间上恒有零点，则，解得；（ii）当时，即当时，若，则；若，则.则函数在上单调递减，在上单调递增.，可得.构造函数，其中，则，所以，函数在区间上单调递减，则，.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性和最值，同时也考查了函数的零点问题以及导数的几何意义，解题时注意导数与函数单调性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22.已知在边长为4的等边△ABC（如图1所示）中，MN∥BC，E为BC的中点，连接AE交MN于点F，现将△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如图2所示）．（1）求证：平面ABC⊥平面AEF；（2）若SBCNM=3S△AMN，求直线AB与平面ANC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AE⊥BC，AF⊥MN，MN⊥EF，从而MN⊥平面AEF，进而BC⊥平面AEF，由此能证明平面ABC⊥平面AEF．（2）由S四边形BCNM=3S△AMN，得，以F为原点，FE，FN，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出直线AB与平面ANC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵MN∥BC，∴AF⊥MN，MN⊥EF，又AF∩FE=F，∴M