高三数学选择填空难题突破 解析几何中的范围问题

高三数学选择填空难题突破解析几何中的范围问题

高三数学选择填空难题突破：解析几何中的范围问题一、方法综述解决圆锥曲线中最值与范围问题的常见方法有两种：几何法和代数法。如果题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则可以利用图形性质来解决；如果能体现一种明确的函数关系，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值。在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；利用基本不等式求出取值范围；利用函数的值域的求法，确定取值范围。二、解题策略类型一：利用题设条件，结合几何特征与性质求范围例如，对于椭圆上的点P，求PA+PF1的最大值，可以采用几何法。在圆锥曲线的最值问题中，如果题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷。类型二：通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围例如，对于已知双曲线C和抛物线E，求抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1的距离之和的最小值，可以建立目标函数，再结合几何性质求解。这类题目通常需要利用已知条件得到圆锥曲线的方程，进而得到目标函数，最后利用参数方程、三角函数公式等方法求解最值。经过以上改写，文章更加清晰明了，读者易于理解。已知椭圆上等边三角形和内切圆，求线段垂直平分线与轴相交于点的取值范围。正确求出内切圆的方程是解题的关键。在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x^2=4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A,B，则三角形AOB面积的最小值为2。解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点A,B的横坐标间的关系，便于确定直线AB在y轴上的解截距。已知直线y=-x+1与椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)相交于A,B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[1/3,1/5]，则a的最大值为10。如图，已知抛物线y=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆(x-1)^2+(y-2)^2=1于点A,B,C,D四点，则AB+4CD的最小值为2。解法：根据题意可得，AF=x_A+1，CD=x_D+1，AB=AF+FB，CD=CE+ED，其中FB和CE为垂线，ED和FB平行。当直线l与x轴垂直时，AB+4CD=33/15+4/22=2.当直线l与x轴不垂直时，设直线l方程为y=k(x-1)，则可求出x_A,x_D，代入AB+4CD的式子中得到AB+4CD≥55/13，当且仅当x_A=4x_D时等号成立。【指点迷津】抛物线的最值问题与其定义有关。可以通过将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，简化运算。因此，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”是解决抛物线焦点弦问题的重要方法。圆锥曲线的最值问题可以利用基本不等式求解，但需要注意不等式成立的条件。【举一反三】已知F为抛物线y^2=x的焦点，点A、B在该抛物线上，OB=6（O为坐标原点），并且位于x轴的两侧，且OA·，若△ABO和△AFO的面积分别为S1和S2，则S1+4S2的最小值是多少？解：设点A在x轴的上方，则y1>y2。因此，S1+4S2=(3/19)×3(y1-y2)+4y1=2y1+(12/19)×3(y1-y2)≥2y1+6。当且仅当y1=3/2时，取到等号，因此S1+4S2的最小值为6，选B。【例5】已知x^2y^2=1的右焦点为F，椭圆C:4x^2+3y^2=12。过点F的两条互相垂直的直线l1、l2，l1与椭圆C相交于点A、B，l2与椭圆C相交于点C、D，则下列叙述不正确的是（）。解：CD=[(12/k^2)+1]/(3+4/k^2)，特别地，当k^2=1时，AB=CD=2√3，即AB+CD=7/2，因此B正确；当k=4/3时，AB=3+4/3√7>3，因此C正确；由于x^2y^2=1的图像不是连续的，因此不存在最小值，D不正确。因此，选D。2b+2a-2b=2c，化简得a^2-b^2=c^2，再化简得2a=3b，即b=2a/3，c=a^2-b^2=(5a/3)^2，所以e=(a+c)/(2a)=(8a/3)/(2a)=4/3。代入公式得(a+e)/(3b)=((7a/3)/(2a))/(2a/3)=7/12，最小值为7/12，当且仅当a=2/3时等号成立。解法：首先求出抛物线的方程为y^2=8x，焦点为F(1,0)。由于直线过F，所以直线的方程为y=k(x-1)。将直线代入抛物线方程得8x=k^2(x-1)^2，化简得(k^2-8)x^2-2k^2x+k^2=0。由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式大于等于0，即4k^4-4(k^2-8)k^2大于等于0，化简得k^2大于等于16/3。又因为直线过AB的中点M，所以k=-1/2p。代入判别式得p^2小于等于3/8，所以p的取值范围为(-√(3)/2,√(3)/2)。将k代入直线方程得y=-x/2p+1/2p，所以MN的长度为√(1+1/4p^2)，而AB的长度为2p√(1+p^2)，所以MN/AB的值为√(3)/(2p(1+p^2))。MN/AB的最大值为√(3)/2，此时p=1/√(3)。解法：将椭圆标准化为x^2/25+y^2/16=1，代入AP和OA的长度关系式得x^2/(25(λ-1)^2)+y^2/16=1和x^2/25+y^2/16=1/λ^2。将两式相乘得x^2/25(λ-1)^2+y^2/16λ^2=72/λ^2，即16λ^2x^2+25(λ-1)^2y^2=1800。线段OP在x轴上的投影长度为|OP|cosθ，其中θ为OP与x轴的夹角。由于OA与OP的数量积为72，所以cosθ=72/(AP*OP)=72/(25(λ-1)^2+16/λ^2)^(1/2)*λ。所以线段OP在x轴上的投影长度为16λ^2x/(