高中数学-任意角和弧度制及任意角的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．2．会判断三角函数值的符号．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角，按终边位置不同分为象限角和轴线角.)(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝\a\vs4\al\co1(\f(180π))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫作α的正弦，记作sinαx叫作α的余弦，记作cosαyx叫作α的正切，记作tanα三角函数正弦余弦正切各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[自主诊断]1．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是()A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称．∴角α与β的终边关于x轴对称．答案：C2．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)解析：由三角函数的定义知xP＝cosθ，yP＝sinθ，故选A.答案：A3．点A(sin2018°，cos2018°)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：因为sin2018°＝sin(11×180°＋38°)＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos(11×180°＋38°)＝－cos38°＜0，所以点A(sin2018°，cos2018°)位于第三象限．答案：C4．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.π3 B．π6C．－π3 D．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A，B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：C5．(人教A必修4习题1.1改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：π3考点一象限角与三角函数值符号1．(1)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角(2)如果sinα·tanα＜0且sinα＋cosα∈(0,1)，那么角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：(1)∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．(2)∵sinα·tanα＜0，∴cosα＜0，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα∈(0,1)，∴sinαcosα＜0，∴sinα＞0，∴α为第二象限角．答案：(1)C(2)B1．规律方法(1)象限角的判定有两种方法：①根据图象，其依据是终边相同的角的思想；②先将此角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．(2)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．2．易错纠偏注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．[即时应用]1．下列说法正确的是()A．三角形的内角必是第一、二象限角B．第一象限角必是锐角C．不相等的角终边一定不相同D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同答案：D考点二三角函数的定义2．已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝2)4m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．解析：由题意得，r＝3＋m2，∴sinθ＝m\r(3＋m2)＝2)4m.∵m≠0，∴m＝±5.故角θ是第二或第三象限角．当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，∴cosθ＝xr＝3)2\r(2)＝－6)4，tanθ＝yx＝5)－\r(3)＝－15)3.当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)．∴cosθ＝xr＝3)2\r(2)＝－6)4，tanθ＝yx＝5)－\r(3)＝15)3.综上可知，cosθ＝－6)4，tanθ＝－15)3或cosθ＝－6)4，tanθ＝15)3.利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．[即时应用]2．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝2)4x，则x＝()A.3 B．±3C．－2 D．－3解析：依题意得cosα＝x\r(x2＋5)＝2)4x<0，由此解得x＝－3，选D.答案：D考点三扇形的弧长及面积公式3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解析：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．变式点1母题条件若变为“周长为6，面积是2”，试求圆心角的弧度数．解析：设半径为r，弧长为l，则2r＋l＝6，12)lr＝2，解得r＝1，l＝4)或r＝2，l＝2.)∴α＝4或1.变式点2母题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB＝12”，试求弧长l.解析：设半径为r.则由6r＝sin60°，∴r＝43，∴l＝|α|·r＝3)3π.弧度制应用的2个关注点(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时，要注意合理应用圆心角所在的三角形．三角函数的定义及三角函数值的符号判断是命题的重点，多以选择题形式考查，难度较低．1．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转3π2后得向量，则的坐标是()A．(8，－6) B．(－8，－6)C．(－6,8) D．(－6，－8)解析：|OP|＝10，且设∠xOP＝θ，∴cosθ＝610＝35，sinθ＝45.设＝(x，y)，则x＝10cos\a\vs4\al\co1(θ＋\f(3π2))＝10sinθ＝8，y＝10sin\a\vs4\al\co1(θ＋\f(3π2))＝－10cosθ＝－6.答案：A2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()A.45 B．35C．－35 D．－45解析：cosα＝－4\r((－4)2＋32)＝－45.答案：D3．若tanα>0，则()A．sin2α>0 B．cosα>0C．sinα>0 D．cos2α>0解析：tanα>0，知sinα，cosα同号，∴sin2α＝2sinαcosα>0.答案：A1、教师教学方法

温故知新,逐步拓展在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容,发展新知识,形成新的概念;(2)通过例题讲解分析,逐步引出新知识,完善三角定义2、学法

学生是学习是主体，学生的参与状态、参与度是决定教学效果的重要因素。测评结果：学生检测正确率达到90%以上测评结果分析：由于本节是三角函数的开始内容，较简单，以概念性的知识为多，故学生检测结果较好。教学目标：知识目标：理解任意角和弧度制及任意角的三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号；会求任意角的三角函数值；体会类比，数形结合的思想。b、能力目标：通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。c、情感目标：让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。教学重点和难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号。难点：任意角的三角函数概念的建构过程。1．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是()A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称2．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)3．点A(sin2018°，cos2018°)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.π3 B．π6C．－π3 D．－π65．(人教A必修4习题1.1改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．这一节课的中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义，如，计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论（与点的位置的选取无关）后，首先提供“坐标系”作为脚手架，并引发学生的认知冲突—“在坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数？”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变化，即第一象限下的锐角（认识研究方法的变化，以及符号表示的变化）——0~2π范围内的角（认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化）——不同象限下终边相同的角（逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程）。

锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。“任意角和弧度制”，应该完成用弧度制表示一个角α及其终边相同的角的集合如何表示，会对本节课“任意角的三角函数”概念的教学更有意义。

新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程,这节的教案,主要围绕这一点来设计.

到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢让学生提出自己的想法,同时让学生去辨证这个想法是否是科学的因为一个概念是严谨的,科学的,不能随心所欲地编造,必须去论证它的合理性,至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突.在这个立-破的过程中,让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成,在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思.这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解.

让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中,是如何将直角三角形这个"形"的问题,转换到直角坐标系下点的坐标这个"数"的过程的.培养数形结合的思想.

《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数