行列式的计算

关于行列式的计算第1页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三3.4行列式的计算

3.4.1降阶法

内容小结

3.4.2三角化方法

3.4.3归纳法

3.4.4递推法

3.4.5分拆法

3.4.6升阶法

第2页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三3行列式计算常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等.行列式计算的理论根据:行列式的按行(列)展开法则行列式初等变换的性质行列式乘积法则

第3页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三4例3.9

计算四阶行列式3.4.1降阶法应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多,然后按该行或该列展开,化为低阶行列式来计算.第4页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三5解第5页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三6解将

|

A|

按第

n

行展开,得例3.10

计算

n

阶行列式第6页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三7例3.11

计算

n

阶行列式解将第

2,

3,

,

n

列都加到第一列得3.4.2三角化方法利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.第7页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三8第8页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三9第9页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三10例3.12

计算

解

先把第一行乘以

(1)

加到以下各行,再把后面各列加到第一列.

第10页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三113.4.3归纳法通过计算低阶行列式,发现某种规律,进而猜想k阶行列式符合这种规律,然后证明k1阶行列式也呈现此规律,这就是数学归纳法的思想.第11页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三12

证对行列式的阶数

n

用数学归纳法.例3.13

证明

Vandermonde

行列式因为所以n

2

时,等式成立.

第12页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三13假设等式对

n

1阶

Vandermonde

行列式

Vn

1

成立,n

1阶Vandermonde行列式则第13页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三14因此由归纳法假设得

所以等式对所有n

2都成立.

第14页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三153.4.4递推法利用按行

(列)

展开法则,将

n

阶行列式化成形式相同的

n

1

阶行列式,从而建立递推关系,反复应用这个递推关系便可求出

n

阶行列式.第15页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三16例3.14

计算解将

Dn

按第一行展开,得Dn1Dn2第16页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三17从而因故再把第二个行列式按第一列展开,得第17页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三18于是第18页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三193.4.5分拆法分拆法是指利用行列式的性质将复杂的行列式分解为简单的行列式之和或之积.例3.15

计算

n

阶行列式解先将

Dn

的最后一行拆开,得第19页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三20将y

与

z

互换,行列式Dn不变,从而第20页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三21当

z

y

时,解得当

z

y

时,由例3.11

的结果知第21页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三22解

细心观察可以发现,当n3时,有例3.16

计算行列式第22页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三23从而当n3时,

A

0.第23页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三24当n1

时,显然当n2

时,有第24页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三253.4.6升阶法为便于应用行列式的性质,有时在原来的行列式中添加一行一列,即把行列式的阶数增加1,这就是升阶法.升阶必须给计算带来方便,而且要求升阶后的行列式与原来的行列式相等.升阶法也叫加边法.第25页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三26解将行列式升阶,得例3.17

计算第26页，讲稿共29页，2023年5月2日，星期三27将新行列式的第二列依次与第

3,4,,n

列交换,再将新行列式第二列依次与第

3,4,,n1

列交换,再将新行列式第二列依次与第

3,4,,n2

列交换,

,得将新行列式第一行乘i加到第i行,得第27页，讲稿共2