行列式按行列展开

关于行列式按行列展开第1页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三三阶行列式：（一）按某一行（列）展开余子式三阶降成了二阶！则代数余子式第2页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三余子式讨论n阶行列式：n-1阶行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代数余子式第3页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三定理1.4

(P.22)按行展开按列展开即：D

等于第

i

行（列）元素与对应的代数余子式乘积的和。第4页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三证（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）“1”不与其余数构成逆序第5页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三第6页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三(3)四阶行列式按第三行展开的结果＃n阶行列式按第i行展开：第7页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三P.25例2计算行列式解按第三列展开其中：展开原则：选0元素最多的行（列）展开。第8页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三所以注：•对于三阶行列式，也可展成二阶，零元素多时可直接计算；•用展开定理之前，可先用性质将某行（列)化成只含一个非零元。第9页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三解2按第二行展开按第一列展开第10页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三P.26(28)例3当k为何值时解第11页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三P.27例4求证第12页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三证按第1列展开第13页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三n-1阶第14页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例5(P28)证明范德蒙(Vandermonde)行列式第15页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三证明(数学归纳法)，结论成立。按第1列展开第16页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三根据归纳假设有：综上所述，结论成立。第17页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例6(P29)计算行列式12张解

V是的范德蒙行列式，故第18页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三即：第i行元素与另一行元素的代数余子式乘积的和等于零。定理1.5

（P.23)证0=i

行s

行2和10对应的代数余子式相同：第19页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三综合定理1.4，定理1.5对于行：对于列：第20页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例解法一：解法二：第21页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三称S为D的一个2阶子式*（二）按某k

行（列）展开(Laplace展开）P.29

子式及其余子式

取第1、2行与第1、4列交点位置的元素构成一个二阶行列式：称M为S在D中的余子式为S在D中的代数余子式S的行标之和S的列标之和第22页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三

定义

(P.29)在n阶行列式D中，任取k行、k列的交点上的k2个设S的各行位于D中第行S的各列位于D中第列，那么称为S的代数余子式。

元素按原来的相对位置组成的k阶行列式

S，称为D的一个k阶子式。在D中划去S所在的k行与k列，余下的元素按原来的相对

位置组成的n-k阶行列式M，称为S的一个余子式。第23页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三

定理1.6(Laplace)若在行列式D中任意取定k个行

，则由这k个行组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于D。当k=1时，此定理即按行展开，t=n。此定理可实现大幅度降阶的目标。设D的某k行组成的所有k阶子式分别为它们相应的代数余子式分别为则第24页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例7

(P.29)用拉普拉斯定理求行列式的值：解按第一、第二行展开(含0多），这时任何两列交叉点上的元素可构成二阶子式，共有则1,4列；2,4列；3,4列对应的Si=0.1,2列1,3列2,3列第25页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三练习1,2列按1,2行展开显然，按Laplace展开计算并没有减少，但特殊情况却有很多优势。展开的原则：值为零的子式越多越好。第26页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三例证：取前k行展开即得。第27页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三推广：(其中Ak为方阵)特别：(其中Ak为方阵)注：

对右上三角形的也成立第28页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三P.26例3续当k为何值时解第29页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三练习：注意：对角线上一定是方阵，非对角线上可以是长方形的降成了二阶和三阶行列式第30页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三接克莱姆法则第31页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三练习：（P.36第12题（4）用前面的结果解）或原式第32页，讲稿共35页，2023年5月2日，星期三练习

计算解