量子力学课件

关于量子力学第1页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三量子力学是描述微观实物粒子运动规律的一门基础理论。

20世纪20年代以前的量子论称为古典量子论。古典量子论虽然取得了巨大成功，但在许多方面仍不令人满意。一个最大的缺点是它们都带有很大的人为性；另一个缺点是它们只能解释一部分实验现象。

1924年，德布罗意提出物质波假设后，人们才从本质上明白了微观世界的一些特征。后来经海森伯、薛定谔、狄拉克等一大批物理学家的努力，终于创立了量子力学。量子力学成为现代物理学的支柱之一。引言第2页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三一.物质波的提出§17.1实物粒子的波粒二象性光的波粒二象性光具有粒子性，又具有波动性。光子能量光子动量德布罗意物质波假设

（1924年）一切实物粒子也具有波粒二象性。实物粒子—静质量不为零的粒子。第3页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三能量为E、动量为p的粒子与频率为v、波长为的波相联系，并遵从以下关系：这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波(物质波或概率波)，其波长称为德布罗意波长。第4页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三电子衍射实验电子衍射X射线衍射电子双缝干涉图样杨氏双缝干涉图样二.德布罗意波的实验验证电子双缝干涉其它实验还证实:其它实物粒子，如质子、中子等都具有波动性。即一切微观粒子都具有波粒二象性。第5页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三三.物质波的统计解释(1927年玻恩)

波动观点粒子观点明纹处:波强大

电子出现的概率大

暗纹处:波强小

电子出现的概率小

波强与粒子在该处附近出现的概率成正比。

可见，物质波是一种概率波。xxs2s1poDdr2r1...电子束第6页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三经典粒子:只需考虑粒子性,遵从决定论,适用牛顿力学。微观粒子:波粒二象性,遵从概率定律,适用量子力学。

问题:2.E=mc2=hv对实物粒子:=c?错。

3.违背相对论吗?相速:1.

经典粒子与微观粒子有何区别?不。能量是以群速g=传播。第7页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三=1.23Å(2)人:=1.0×10-36m可见，只有微观粒子的波动性较显著；而宏观粒子(如人)的波动性根本测不出来。例题17-1

(1)电子动能Ek=100eV；(2)人:m=66.3kg,=10m/s,求德布罗意波长。解

(1)用非相对论公式计算电子速度h=6.63×10-34J.sm=9.11×10-31kg远小于光速，可不再修正第8页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三=1.24×108(m/s)=10×10-31(kg)=0.0535Å例题17-2

用5×104V的电压加速电子，求电子的速度、质量和德布罗意波长。h=6.63×10-34J.smo=9.11×10-31kg解

(1)用非相对论公式计算电子速度与光速同一量级，应考虑相对论效应第9页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三微观粒子的位置坐标x、动量分量px

不能同时具有确定的值。分别是

x，px

同时具有的不确定量，下面借助电子单缝衍射试验加以说明。（海森伯不确定关系）§17.2不确定关系一.不确定关系则其乘积第10页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三电子束x电子经过狭缝，其坐标

x

的不确定量为

△x

；大部分电子落在中央明纹△x

动量分量px的不确定量为，则对y和z分量,也有类似的关系。若计及更高级次的衍射,应有xpx≥h第11页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三还可写为

实际上上述公式只用于数量级的估计,所以这些公式所反映的物理内涵是相同的。不确定关系，又称测不准关系。第12页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三也不是说微观粒子的动量不能确定；更不是说微观粒子的坐标和动量都不能确定；而是说微观粒子的坐标和动量不能同时确定。不确定关系,

不是说微观粒子的坐标不能确定；1.微观粒子坐标的不确定量越小(x0)

，动量的不确定量就越大(px)

；微观粒子动量的不确定量越小(px0)

，坐标的不确定量就越大(x)

。二.不确定关系的理解第13页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三2.不确定关系本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映；是微观世界的一条客观规律,不是测量技术和主观能力的问题。3.不确定关系提供了一个判据：当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用经典理论来研究粒子的运动。当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能用量子力学理论来处理问题。三.能量与时间的不确定关系第14页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例题17-4

估算氢原子中电子速度的不确定量。解电子被束缚在原子球内,坐标的不确定量是x=10-10m(原子的大小)可见,微观粒子的速度和坐标不能同时准确测定。故研究氢原子不能用经典理论，只能用量子力学理论来处理。由xpx

h，得第15页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例题17-5

子弹质量m=1kg,速度测量的不确定量是x=10-6m/s，求子弹坐标的不确定量。解按不确定关系:xpx

h,则子弹坐标的不确定量为可见,子弹的速度和坐标能同时准确测定。这表示，不确定关系施加的限制可以忽略，像子弹这样的宏观物体可以用经典理论来研究它的运动。第16页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例题17-6

波长=5000Å的光沿x轴正方向传播，波长的不确定量为=10-3Å，求光子坐标的不确定量。解

光子的动量按不确定关系:xpx

h,则光子坐标的不确定量为第17页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三

对微观粒子，由于不确定关系施加的限制不可以忽略，它的速度和坐标不能同时确定，因此微观粒子的运动状态,不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。

量子力学认为：微观粒子的运动状态可用一个波函数(x,y,z,t)来描述。一般为复数。波函数是作为量子力学基本假设之一引入的一个新的概念。

一.波函数

§17.3薛定谔方程第18页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三波函数是一种统计性质的概率波。波函数模的平方(x,y,z,t)2

表示粒子t时刻在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率，即概率密度。

(x,y,z,t)2dxdydz

表示t时刻粒子在(x,y,z)处的体积元dxdydz中出现的概率。1926年,玻恩(M.Born)提出了波函数的统计解释：(1954年获诺贝尔物理奖)二.波函数的统计解释物质波与经典物理中的波动不同。在量子力学中，物质波不代表任何实在的物理量的波动，波的振幅的平方(x,y,z,t)2表示粒子在t时刻在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率。第19页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三(2)波函数的标准条件单值、有限、连续(1)因粒子在整个空间出现的概率是1,所以有归一化条件波函数应满足的条件第20页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三根据德布罗意关系式，能量为E和动量为p的自由粒子与一单色平面波相联系，波长和频率为=h/p,v=E/h写为复数形式就是这就是自由粒子的波函数。三.薛定谔方程

自由粒子的波函数由波动理论可知,频率为v

、波长为、沿x方向传播的单色平面波的波动方程为第21页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三通常写成如下形式:(x,t)=o粒子在空间某处出现的概率密度为式中的概率密度不随时间而改变，是一种稳定状态，简称定态。第22页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三自由粒子势能为零，在非相对论情况下有在以上式子中消去p,E，就得

自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程第23页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三粒子在势场V中运动,则粒子的总能量应为三维空间:

保守力场中的薛定谔方程第24页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三薛定谔方程的一般形式。—拉普拉斯算符—哈密顿算符薛定谔方程的一般形式可写为第25页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三若势能V不显含时间t

，波函数的坐标与时间可分离变量，则得并注意到将上式两端除以=E定态薛定谔方程体系的能量第26页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三其解(x,y,z)满足:上式称为定态薛定谔方程。第27页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三概率密度：概率密度不随时间而改变定态。波函数：只要求出了定态薛定谔方程，波函数和概率分布及系统能量即可全部得到。第28页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三粒子m只能在0<x<a的区域内运动，势能函数为

0在阱外，粒子出现的概率为零，故(x)=0xaV(x)o§17.4

一维无限深势阱第29页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三令有通解：(x)=Acoskx+Bsinkx式中A，B是由边界条件决定的常数。xaV(x)o第30页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三oaxU(x)图17-3(x)=Acoskx+Bsinkx由于Ψ(x)在x=0处必须连续，所以有：(0)=A=0故波函数：(x)=Bsinkx于是(n=1,2,……)(n=0,(x)=0;而n为负数与正数表达同样的概率,所以n=1,2,…...)又由于(x)在x=a处也必须连续，所以又有(a)=Bsinka=0故ka=n第31页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三1.能量是量子化的。(n=1,2,……)于是(n=1,2,……)

粒子的能量只能取不连续的值能量量子化。称为零点能0！一维无限深势阱中粒子的能量不可能为零!结论当量子数n=1,第32页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三2.粒子在势阱内的概率分布波函数：(x)=Csinkx，由归一化条件得归一化波函数为第33页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三粒子出现在势阱内各点的概率密度为(n=1,2,……)

E1E2E3oxa第34页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三求：(1)粒子的能量和动量；(2)概率密度最大的位置。解

(1)量子数n=3，粒子的能量:又例题17-8粒子m在一维无限深方势阱中运动，其波函数为第35页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三(2)概率密度最大的位置。概率密度：有极大值的充要条件：解得E1E2E3oxa第36页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三应用玻尔理论,可以成功地解释氢原子的光谱规律。但是玻尔仍然把电子视为经典粒子,认为电子沿着确定的轨道在运动。同时又人为地加上了一些量子条件,所以玻尔理论实质上是半经典半量子的不完整的理论体系,无法解释多电子原子的光谱等问题。电子是微观粒子,它具有波粒二象性,必须应用量子力学才能正确描述电子在氢原子中的运动。§17.6氢原子的量子力学处理引言第37页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三设原子核不动，电子是在原子核的库仑场中运动，其势能为r一.氢原子量子力学处理方法定态薛定谔方程第38页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三在E<0(束缚态)的情况下,方程具有球对称性，采用球坐标系，定态薛定谔方程为r波函数(r,,)可以分离变量：(r,,)=R(r)()()

第39页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三式中:ml和为分离变量常数。分离成三个常微分方程波函数应满足的条件：单值、连续、有限、归一化。第40页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三为使波函数满足标准条件，电子(或说是整个原子)的能量只能是(主量子数:n=1,2,……)

二.量子力学的结论1.能量量子化在E<0(束缚态)的情况下求解上述方程，可知氢原子中电子状态由三个量子数表征。相应量子数的原子的波函数形式为第41页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三2.电子(轨道)角动量量子化电子角动量在任意方向(如z轴正向)的分量Lz满足量子化条件:磁量子数:ml=0,±1,±2,…±l（电子轨道角动量的z分量不同，电子所显示的磁性就不一样）

副量子数(角量子数):l=0,1,2,…(n-1)3.角动量的空间量子化第42页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三

例如：l=1,l=2,zL0z0第43页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三解定态薛定谔方程，可得氢原子的波函数：电子在核外空间出现的概率密度:可见，氢原子中的电子是按一定的概率分布在原子核的周围，这和玻尔理论中电子是在一定轨道上运动完全不同。这种电子在核外空间出现的概率密度，人们往往形象化地称之为“电子云”。4.电子的概率分布电子云第44页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三

由于p1s是r的连续函数，可见电子在核外每点都有一定的概率。这和玻尔的量子轨道运动概念完全不同。而玻尔半径只是概率最大的位置。例如：对1S态的电子，其概率密度为(玻尔半径)aorp1s第45页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三一.电子自旋1921年，斯特恩－盖拉赫实验表明电子除了绕核运动外,还有自旋。无外磁场有外磁场SNPs2s1§17.7多电子原子前面介绍了描述氢原子中电子状态的三个量子数：能量量子数n，轨道角动量量子数l和磁量子数m。实验证实，要完整描述电子的状态，上述三个量子数还不够，还需要第四个量子数。第46页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三用量子力学理论可以证明，电子自旋角动量为自旋角动量在任意方向(例如z轴正向)的分量Lz满足下面的量子化条件：自旋磁量子数电子的自旋角动量的数值是固定的。第47页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三z0s取半整数费米子s取整数玻色子(如光子、介子)(如电子、质子)=54.7自旋磁量子数:第48页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三(1)主量子数：n=1,2,3,…。它大体上决定了原子中电子的能量。总结起来,原子中电子的运动状态应由四个量子数决定。(2)角量子数：l=0,1,2,…,(n-1)。它决定电子绕核运动的角动量的大小。一般说来,处于同一主量子数n,而不同角量子数l的状态中的各个电子,其能量稍有不同。第49页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三(3)磁量子数：ml=0,±1,±2,…,±l。它决定电子角动量z分量Lz的量子化，即空间量子化。它决定电子自旋角动量的z分量Sz的量子化,也影响原子在外磁场中的能量。(4)自旋磁量子数：。第50页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三二.多电子原子

原则上讲，多电子原子系统的问题应该去求解薛定谔方程，得到描写电子运动的波函数和能级。

理论和实验证明:

多电子原子中电子的运动状态仍由四个量子数确定。只不过不同的是能量不只由主量子数单独确定，而且还与角量子数有关，但能量的主要部分还是由主量子数决定，角量子数对能量有一小的修正。正因为如此，人们抽象出一种壳层模型来理解原子内部的能级图像。第51页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三主量子数n相同而角量子数l不同的电子分布在不同的分壳层或支壳层上。l=0,1,2,3,4...…

s,p,d,f,g……如：n=3,l=0,1,2…分别称为3s态,3p态,3d态…三.原子的壳层结构主量子数n相同的电子分布在同一壳层上。

n=1,2,3,4，5,6……

K,L,M,N,O,P…...1916年柯塞尔提出了原子壳层结构学说：主量子数n愈小其相应的能级愈低。在同一壳层中,角量子数l愈小,其相应的能级愈低。第52页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三2.泡利不相容原理

(适用:费米子)

一个电子系统内，不能有两个或两个以上电子具有完全相同的量子态(n,l,ml,ms)。利用泡利不相容原理可以计算各个壳层中可能占有的最多电子数。多电子原子系统中,核外电子在不同的壳层上的分布还要遵从下面两条基本原理：1.能量最小原理原子系统处在正常状态时,每个电子总是尽可能占有最低的能级。主量子数n愈小其相应的能级愈低。在同一壳层中,角量子数l愈小,其相应的能级愈低。第53页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三对给定的一个n,l=0,1,2,…,(n-1),共n个值；ml=0,±1,±2,…,±l，共(2l+1)个值；共2个值;(2l+1)2=2n2所以各壳层能容纳的最多电子数为

n=1,2,3,4，

5,……KLMNO……最多电子数：

28183250…...量子态数为第54页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三对给定的一个l的分壳层:ml=0,±1,±2,…,±l，共(2l+1)个值；共2个值;量子态数为2(2l+1)所以各分壳层能容纳的最多电子数为

电子在各壳层、分壳层的填充由左向右：n=1

2

3

4……KLMN……1s22s22p6

3s23p63d10

4s24p64d104f14

…...l=0,1,2,3,4……spd