项目3线性方程组解讨论

高等应用数学——提升模块一（线性代数）项目介绍线性方程组在工程技术和生活中的经济问题里常用到，因此线性方程组的求解就非常重要.前面学习了克莱姆法则，但应用克莱姆法则解线性

方程组有限制条件（方程组中方程的个数和未知

数的个数相等，而且系数行列式还不能等于零），但实际问题得到的方程组不一定就满足这些条件，克莱姆法则就无法应用，如何解这样的线性方程

组，将通过本项目的学习得到解决.项目三线性方程组解的讨论任务一高斯消元法任务二n维向量及其线性关系任务三线性方程组解的结构讨论项目三线性方程组解的讨论任务一高斯消元法任务一高斯消元法如何求解上述线性方程组呢？解分析上述消元法解方程组的过程，可归结为是对方程组的增广矩阵进行下述初等行变换的过程任务一高斯消元法(1)(2)

(3)

2

3321

1=

63x

+

x

+

x

=

42x

-

x

+

3x

=

-3例1

用消元法解线性方程组x1

+

2x2

-

x3

0-15-144

3

1

2

-1 6

1

2

-1

6-1

3

-

3

-

5

51

1

-

5

4~r3

-3r1

fi

0r2-2r1A

=

21

0

1

0

1

01

-1

30

-1

0

1

2

-1

6fi

0

1

-1

3

-

5

4

-141

251r3

+5r2

fi

0r

-2r-

·r2最后一个矩阵对应的线性方程组为上述用矩阵求解线性方程组的方法称为高斯消元法.任务一高斯消元法

0

1

-1

00

1

-1

0

1010

1

r1

-r3

001

01-13

r2+r3

fi

0102

-1·r3

fi32x

=

-1x

=

2x1

=

1=

2=

-1即该方程组的解为

32xxx1

=

1~)=

3此时,

r(A)=

r

A任务一高斯消元法任务一高斯消元法例3

用高斯消元法解线性方程组解因为最后一个矩阵对应的线性方程组为任务一高斯消元法1

2

32x

+

x

+

x

=

14x

+

2x

-

2x

=

32x1

+

x2

-

x3

=

1fi0

010

1

2

3

2

1

-1

10

00

21

2~1

13r

-rr2

-2r1

2

1

-1

1A

=

4

2

-

2

31

1

0

0

2

1

0

10

0

10

11

2

3r1

+r31

fi

01

r=

00

=13x2x1

+

x2

=

0定理1如果元线性方程组满足:时，该方程组无解.定理2如果元齐次线性方程组满足:任务一高斯消元法n

时，方程组只有唯一一组解；（1）r(A)=

r

~

)=A（2）r(A)=

r

A~

)<n

时，方程组有无数多组解.~（3）r(A)„

r

A)（1）r(A)=n

时，方程组只有零解；（2）r(A)<n

时，方程组有无数多组非零组解.定理1定理2因此，可利用矩阵的初等行变换解线性方程组的步骤是：1、写出线性方程组的增广矩阵；2、把做初等行变换，将化为行最简阶梯阵；3、写出以为增广矩阵对应的同解方程组；4、判断是否有解？有解，得到的解就是所求线性方程组的解.任务一高斯消元法一、n维向量二、向量的线性运算三、向量组的线性相关性四、向量组的秩任务二n维向量及其线性关系一、n维向量任务二n维向量及其线性关系定义1任务二n维向量及其线性关系定义2定义3任务二n维向量及其线性关系定义4二、向量的线性运算任务二n维向量及其线性关系定义5任务二n维向量及其线性关系定义6解由向量的运算法则,方程组可表示为若记任务二n维向量及其线性关系

n

mn

m

a

bax

+

a

aa

=

b2

x

++

a2n

x

a1n

b1

2

m2

221

m1

21

a11

a21

=

mn

m

b

a

b

a

a

a

a

a

2

b1

2n

a1n

m2

22

a12

m121

a11

1,,

α

n

=

,

β

=

α

,

α

2

=

方程组可以表示为向量形式：α1

x1

+

α

2

x2

++

α

n

xn

=

β三、向量组的线性相关性任务二n维向量及其线性关系定义7定义8任务二n维向量及其线性关系定理1定理2向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以用其它向量线性表示.特别：一个零向量必线性相关，一个非零向量必线性无关.含有零向量的向量组必线性相关.任务二n维向量及其线性关系=(0,0,,0,1)，称为（3）向量组e1

=(1,0,,0)，e2

=(0,1,0,,0)，…enn

维基本行向量组，该向量组线性无关.定理2向量组组，该向量组线性无关.四、向量组的秩任务二n维向量及其线性关系

0=，

01

e

0=

，

1…1

02

e

1

0

ne=，

0称为

维n基本列向量定义9任务二n维向量及其线性关系定义10的特征，把求向量组的秩转化为求对应矩阵的秩.任务二n维向量及其线性关系

nk

k

a

=

a2k

a1k

利用向量组α(k

=1,2,,m)为列向量可以作对应nm

aa

a

n1

n

2a2m

a1m

a11

a12矩阵

A

=

a21

a22任务二n维向量及其线性关系因此求向量组的一个极大无关组的步骤可归纳为：以向量组为列向量可以作对应矩阵A；用初等行变换将A化为阶梯形矩阵，进一步化为最简阶梯形矩阵；最简阶梯形矩阵中只含有1个元素1对应的列所在位置对应的向量组，构成所求的极大无关组.例7

求下列向量组的一个极大无关组及秩，并把剩余向量用此极大无关组表示.任务二n维向量及其线性关系

解写出对应矩阵

1=

0

-1

1

3

0

2

5

1

2=

1

1

3=

1

,

α

4=

2,

α3

1

,

α

2α1

1

3

2 1

0

-

2

-

2

-

2

0

-1

-1

-1

0

-1

-1

-1

1

3

2 1

1

1

0

-1

1

2

1 0

2

5

3 1

3

1r4

-2r1

fi

r

-rr2

-r1A

=

(α1

,

α

2

,

α

3

,

α

4

)=

任务二n维向量及其线性关系0

1

3

0

1

0

021011

1

0

0010-110-

21

0

0

000

0000

3

21r1

-3r2

fi

r4

+r2

fir

+r-

r22一、齐次线性方程组解的结构

二、非齐次线性方程组解的结构任务三线性方程组解的结构讨论一、齐次线性方程组解的结构任务三线性方程组解的结构讨论齐次线性方程组解的解具有下列性质任务三线性方程组解的结构讨论任务三线性方程组解的结构讨论定义1任务三线性方程组解的结构讨论定理1任务三线性方程组解的结构讨论二、非齐次线性方程组解的结构任务三线性方程组解的结构讨论任务三线性方程组解的结构讨论定理2任务三线性方程组解的结构讨论例解非齐次线性方程组解

该方程组的增广矩阵任务三线性方程组解的结构讨论

1

2

31

2

34x

+

x

+

6x

x

+

x

+

2x

=

1=

6

-

3x2

-

2x3

=

26

42fi

01

2 1

-

3

-

21

66

42

1

0

-

3

-

2

1

2 1

1

6~1

2r

«

rA

=

1