三角形角度计算之八字型与飞镖模

条件：AC,BD相交于点。连接AD、结论1：zA+zD=zB+zC.剖析一角的剖析一角的8字模型剖析一角的剖析一角的8字模型BC剖析一角的剖析一角的8字模型剖析一角的剖析一角的8字模型模型分析证法一：如图所示,AQBD相交于点Q连接AD、BC结论：zA+zD=zB+zC证法一：丁/AOB是&AOD的外角，/.zA+zD=zAOB.,nAQB是△BOC的外角/.zB+zC=zAOB/.zA+zD=zB+zC.模型分析证法二：・.NA+ND+NAOD=18(r.\zA+zD=1800-zAOD\vB+zC+zBOC=180°/.zB+zC=1800-zBOC又「nAOD=nBOC/.zA+zD=zB+zC以上两种证明方法都比较常用，因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称为8字模型.经典例题观察下列图形,计算角度：(1)如图①，zA+zB+zC+zD+zE=(2)如图②;zA+zB+zC+zD+zE+zF=图①图②经典例题解析：解法一：（工）利用角的8字模型,如图③,连接CD,・zBOC是aBOE的外角,.:/B+nE=nBOC,「/BOC是aCOD的外角，/.zl+z2=zBOC.nB+/E=/1+n2（角的8字模型）/.zA+zB+zACE+zADB+zE=zA+zACE+zADB+zl+z2=zA+zACD+zADC=180°A图④A图④经典例题解法二：如图④，利用三角形外角和定理,•.21是&FCE的外角.\Z1=ZC+ZE「n2是AGBD的夕卜角，.\z2=zB+zD.\zA+zB+zC+zD+zE=zA+zl+z2=180°经典例题(1)解法一：利用角的8字模型，如图⑤,「/AOP是aAOB的夕卜角\zA+zB=zAOPZAOP是aOPQ的外角.*.zl+z3=zAOP/.zA+zB=zl+z3同理可得：zC+zD=zl+z2zE+zF=z2+z3.剖析一角的8字模型剖析一角的剖析一角的8字模型剖析一角的剖析一角的8字模型图⑥图⑥解法二：利用角的8字模型如图⑥,连接DE,「NAOE是八AOB的夕卜角/.zA+zB=zAOE:/AOE是aOED的外角/.Z1+Z2=ZAOE/.zA+zB=zl+z2（角的8字模型）.1.zA+zB+zC+zADC+zFEB+zF=360°结论1：zD=zA+zB+zC剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型田①田①模型分析证法一：解;A,如图①，作射线AD,23是衣ABD的外角/.z3=zB+zl・24是3CD的外角-,.Z4=ZC+Z2.,.ZBDC=Z3+Z4/.zBDC=zB+zl+z24-zC..zBDC=zBAC+zB+zC剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型模型分析证法二：解法二：如图②，连接BC,.z2+z4+zD=180°.1.zD=1800-(z2+z4),.zl+z2+z3+z4+zA=180°/.zA+zl+zB=180°-(z2+z4)/.zD=zA+zl+z3图②如图,在四边形ABCD中如图,在四边形ABCD中,AM,CM分另!］平分NDAB和NDCB,AM与CM交于M探究nAMC与nB/D之间的数量关系.剖析二角的飞镖模型经典例题剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型剖析二角的飞镖模型利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长,是aAMD的外角，.■.z3=zl+zADM・//4是aCMD的勺卜角.,./4=/2+nCDM,.'zAMC=z3+z4.\zAMC=zl+zADM+zCDM4-z2../AMC=/：L+n2+nADC（角的飞镖模型）|利用四边形的内角和,以及AM,CM分别平分NDAB和NDCB就可以得出2NAMC+NB-NADC=36（r.

剖析三边的8字模型剖析三边的8字模型结论1:如图所示，AGBD相交于点。连接AD,BC结论：AC+BD>AD+BCOB-fOC>BC以上两式进行相加即可得到OA+OD+OB+OC>BC+AD即AC+BDOB-fOC>BC以上两式进行相加即可得到OA+OD+OB+OC>BC+AD即AC+BD>AD+BC剖析三边的8字模型模型分析:/OA+OD>AD如图，四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O如图，四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O求证：(1)AB+BC+CD+AD>AC+BD剖析二边的8字模型如图,(2)AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.(1)AB+BC+CD+AD>AC+BD经典例题经典例题解析:(1)\AB+BC>ACCD+AD>ACAB+AD>BDBC+CD>BD以上式子相加即可得到AB+BC+CD+AD>AC+BD(2)\-AD<0A+0DBC<OB+OC两式相加即可得到AD+BC<OA+OD+OB+OC，AD+BC<AC+BD(边的8字模型)同理可证:AB+CD<AC+BD/.AB+BC+CD+AD<2AC+2BD剖析三边的8字模型

剖析四边的飞镖模型结论剖析四边的飞镖模型结论1：如图所示，AB+AC>BD+CD剖析四边的飞镖模型剖析四边的飞镖模型模型分析：如图，延长BD交AC于点E「AB+AC=AB+AE+ECAB+AE>BE/.AB+AC>BE+EC-/BE+EC=BD+DE+ECDE+EC>CD/.BE+EC>BD+CD综上:AB+AC>BD+CD

1、如图1,求:zCAD+zB+zC+zD+zE=

如图2,求:zCAD+zB+zAC+zD+zE=解析：如图，连接DEzC+zCAD=zl+z2zCAD+zB+zC+zADB+zBEC=zB+zBEC+zBDA+zl+z2=180°如图,连接DEZACE+ZCAD=Z1+Z2zCAD+zB+zACE+zADB+zBEC=zB+zBEC+zBDA+zl+z2=180°典例练习1、如图，求：zA+zB+zC+zD+zE+zF+zG+zH=典例练习解析：如图,连接GH(DzE+zB=zl+z2zA+zF=z3+z4nA+nB+nFCH+zADG+NE+NF+/DGB+/EHC=zl+z2+z3+z4+zGDA+zFCH+zDGB+zEHC=360°卜典例练习二卜典例练习二如图，求nA+nB+/C+/D+nE+/F=解析：ZC+ZE+ZD=ZEOC=115°AA+AB+AF=ZB0F=115°乙A+上B+乙C+£D十乙E十/F=115°十125°二230°典例练习:如图,求/A+nB+nC+nD=解析：如图所示,连接BDzAED=zA+z3+zlzBFC=z2+z4+zCzA+zABF+zC+zCDE=zA+z3+zl+z2+z4+zC=zAED+zBFC=220°吵解析：如图所示,连接BDzAED=zA+z3+zlzBFC=z2+z4+zCzA+zABF+zC+zCDE=zA+z3+zl+z2+z4+zC=zAED+zBFC=220°吵£典例练习4如图，点o为△ABC内部一点求证：(1)2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC;(2)AB+BC+AC>AO+BO+COAB解析：（1）,「OA+OB>AB①OB+OC>BC②OC+OA>AC③由①十②十③可得2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC;（2）如图，延长BO交AC于点E\AB+AC=AB+AE+ECAB+AE>BEaAB+AC>BE+EC①,BE+EC=BO+OE+ECOE+EC>CO/.BE-fEC>BO+CO②由①②可得AB+AC>BO+CO③（边的飞镖模型）同王里可彳导AB+BCD>OA+OC@BC+AC>OA+OB⑤由③++⑤）彳导AB+BC+AC>AO+BO+CO典例练习典例练习典例练习典例练习在SBC中,D、E在BC边上，且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE

解析：如图，将AC平移至BRAD延长线于BF相交于点G,连接DF由平移可得AOBF,/A