2026年全国一卷高考数学试卷答案详解及备考指导

2026年高考数学真题完全解读（全国1卷）本套“2026年普通高等学校招生全国统一考试”数学试卷，采用了全国统一命制形式，延续了近年来高考改革的思路与风格，整体难度稳中有新。在题型设置上，试卷包括8道单项选择题（每小题5分，共40分）、3道多项选择题（每小题6分，共18分）、3道填空题（每小题5分，共15分）以及5道解答题（共77分），各题型比例与往年全国卷一致。就结构而言，选择题与多选题考查了考生对基本知识的快速识别与应用，填空题强调了运算技巧与关键结论的把握，主观题则侧重综合性与创新性，要求考生在复合场景中灵活运用多种知识。整卷对高中数学的各板块内容有所兼顾，基本涵盖了代数与函数、三角与平面几何、解析几何、立体几何、数列、概率与统计等板块，较好地体现了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中对于知识覆盖面的要求。具体分析可见：o 在函数与方程部分，试题涉及y=ax+1x+a类型的函数，着重考查了学生对函数定义域、值域、单调性与最值的分析能力。结合对参数o 在解析几何部分，出现了抛物线、椭圆、双曲线的综合考查，兼顾了标准方程、焦点弦、离心率等核心概念，要求考生熟练掌握(x−h)o 在立体几何方面，题目结合三棱柱、二面角与空间距离的计算，将平面与平面、直线与平面的互相平行、垂直以及夹角的概念融会贯通，引导考生熟悉向量法与几何作图法。试题在立体几何中注重对空间思维能力的测评，以中点、斜面、距离为核心，进一步加强了对空间想象力、逻辑推理能力的要求。o 在数列与不等式部分，试题涉及等差、等比数列及其延伸问题，注重对通项及部分和的灵活运用，同时还出现了不等式的综合应用和对最大值、最小值的求解，要求学生理解并熟练运用单调性、导数及基本不等式等知识。o 在统计与概率板块，样本中位数与古典概型、条件概率、期望值等内容紧密结合，使得考生需要综合运用P(A∣B)=P(A∩B)从命题特点看，本套试卷贴合新课标要求，坚持“基础性、综合性、应用性与创新性”相统一。各题目或结合现实情境（如“一百零八塔”题目中的几何与数列、概率与统计相关情景），或突出数学思维方法（如函数单调性与不等式推理、空间向量在立体几何中的运用），有助于培养学生的数学思维与应用能力。与往年相比，本卷在选填与解答题中更加注重知识迁移与综合运用，要求学生具备一定的创新思维和较强的运算功底。试卷整体难度呈现“温中见严”的梯度分布：选择题与多选题充分照顾多数考生对常规知识点的掌握；填空题与后续主观大题则纵深较大，需要对多章节知识进行灵活整合，体现了高考对拔尖创新人才的甄选功能。对于教师而言，应继续强化对学生数学思维力的培养，鼓励学生在熟练掌握基础运算、熟知各类知识框架的基础上，注重跨章节知识的融会贯通与解题策略的应用，从而为学生应考提供更为深入和系统的指导。该试卷很大程度上体现了“核心素养”在高考中的考查取向：既有对数学抽象、逻辑推理与数据分析能力的考察，也渗透了数学建模与实际应用的考点。总体而言，本套真题兼顾了地区学情特点和各校的教学情况，为一线教学提供了清晰的方向与参考，能够有效检验学生对数学知识的掌握程度以及综合运用能力。通过本套试卷，既可以为日常教学与复习提供更明确的训练目标，也有助于帮助学生不断提升抽象思维与实践应用能力。题型整体结构：试卷总体分值：150分。题型与数量：o 单项选择题：8题，每题5分，共40分。o 不定项选择题：3题，每题6分，共18分。o 填空题：3题，每题5分，共15分。o 解答题：5题，共77分。该结构与2025年真题在题型与数量上总体保持一致。题型新变化：o 情境更加丰富：以“108塔”等区域文化和实践活动为载体，注重考查实际问题建模和分析能力，加深数学与现实生活的连接。o 知识点融合度提升：向量、解析几何、概率统计等内容多有结合，要求考生具备综合分析、跨章节应用的能力。o 题目思维深度加大：如在解答题和不定项选择题中，常见知识点的考查更注重过程与思维，鼓励灵活运用多种方法（如导数求解、几何证法与坐标法结合等）。o 更注重对基础知识的系统掌握，需具备跨章节、跨知识点的迁移与整合能力。o 面对情境化、应用型题目，需要能够准确提炼数学模型，具备数学思维与应用意识。o 解答题对推理论证与多种方法巧妙运用的要求提高，有助于培养学生的探究与创新思维。一、考情细目表题号分值题型考查内容难易分析15单项选择统计与概率：中位数（样本数据排序、求中位数）容易25单项选择平面向量：不共线向量的线性表示及应用容易35单项选择集合与简易逻辑：集合运算、并集与子集判断容易45单项选择导数与几何应用：曲线切线方程的求法容易55单项选择抛物线参数求解：焦点坐标、两焦点距离计算中等65单项选择函数的不等式与定义域、最大值的求法中等75单项选择数列综合：等差数列与分组求和中等85单项选择立体几何与概率：空间点的选择及数学期望计算中等96多项选择复数及其共轭、模、运算性质中等106多项选择立体几何：二面角、空间距离与平面位置关系中等116多项选择圆与弦长、距离、导数结合的综合问题较难125填空题双曲线：标准方程与离心率容易135填空题三角函数：偶函数性质、最小正周期与单调区间中等145填空题数列：等比数列连续若干项的和、公共比值求取较难1513解答题立体几何：三棱柱性质、面与线的平行、距离的计算中等1615解答题三角形几何（余弦定理）与坐标法综合中等1715解答题随机事件与概率：投篮问题、分布列、条件概率中等1817解答题圆锥曲线（椭圆）：焦点坐标、斜率与面积、最值问题较难1917解答题函数综合：奇函数、定义域、单调性、集合与不等式综合性证明较难二、试卷难度评估从整体来看，试卷各题型的考查内容涵盖了高中数学的主要知识点，题材丰富，结合了函数、几何、代数、数列、概率与统计等多方面的知识，考查了考生的综合运用能力与思维能力，整体难度中等偏上，难度分布较为合理。若按照“容易”“中等”“较难”三档进行划分，整套试卷中，容易题约占5题（第1、2、3、4、12题），中等题约占10题（第5、6、7、8、9、10、13、15、16、17题），较难题约占4题（第11、14、18、19题），比例约为26.3%：52.6%：21.1%。 容易题（例如第1题、第2题），主要考查基础定义与简单应用，运算量与思维量都较小，适用于稳固基础知识。 中等题（例如第7题、第9题等），需要一定的运算能力与知识点之间的适度联想，但思维难度仍在常规范围。 较难题（例如第11题、第19题等），往往涉及多知识点的综合运用、较深层次的逻辑推理或较繁琐的计算，需要考生具有较强的综合分析与推理能力，以及灵活的解题思路。总体而言，本试卷能有效区分不同层次的学生，对考生的基础知识掌握与综合应用能力都有较高要求，适合作为高考模拟与检测使用。1.回归课本，夯实教材高考试题的命题趋势，在于考查同学们对学科主干知识的理解和综合运用能力。建议同学们在复习初期，扎实梳理初中及高中阶段的基本概念、基本定理与计算方法；尤其是在代数、几何、三角函数、解析几何和概率统计五大模块上要打好基础，尽量做到各板块知识点融会贯通，为后续综合运用做好铺垫。2.明确模块，分阶段攻克o代数部分：重点集中在函数与数列、方程与不等式、指数与对数、二次函数及常见函数的图像与性质等内容。要多做紧扣教材知识的基础性题目，熟练掌握函数、数列的变形与运算。o几何部分：三角形、圆、几何变换、立体几何等内容依旧是高考的核心考查点。要熟悉常见几何模型，如45∘−45o概率与统计：中位数、期望、方差、正态分布等概念和常见公式务必熟悉，比如样本数据的中位数就是中学阶段的常见考点。要多掌握排列、组合与二项式定理在概率中的结合运用，学会恰当地使用古典概型与几何概型进行求解。o解析几何：关注椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的标准方程、几何性质、焦点坐标与离心率等。灵活使用坐标系建立与点、线、圆锥曲线的联立分析。3.强化综合题的思维训练

在后期复习中，应有针对性地加强对综合性试题的演练。由于高考命题通常会综合考查函数、导数、数列、三角、立体几何和解析几何等多种知识点，考生需将零散知识点进行系统整合，用多角度、多策略来思考问题。1. 函数与数列中关于定义域和单调性的判断

题目容易在定义域设定和单调性分析处设陷阱。同学们要对函数的必要条件（如x+1的开放区间，lnx2. 概率与统计中概型的辨别

在样本统计和概率的题目中，往往会遇到古典概型、几何概型以及条件概率等多种思路。特别是在对期望值的计算上，要关注对称性与分布列的求解。有时可以通过对称性简化运算，也可以借助排列组合或构造事件空间的方法来计算发生概率。3. 平面向量与立体几何的结合

对于空间向量的运用与平面几何的融合，需要注意向量表示方法的准确性，尤其要灵活运用向量的组合法则、点积与叉积（或几何中的向量投影、夹角公式）。例如题目中出现“空间中直线与平面所成的角”“最短距离”时，往往要用到向量在三维坐标系下的表示，并结合几何与代数推导。4. 解析几何与三角变换

当碰到椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线的参数求解，如焦点坐标、离心率、准线方程等，要注意区分椭圆、双曲线、抛物线的标准形式：o 椭圆：xo 双曲线：x2ao 抛物线：y2=2px等5. 多选题的判断策略

注意多选题一旦选错，则该题无分或只得部分分。练习时要多展示推理过程并进行排除，通过验证或特殊值检验等方法尽可能避免误选或漏选。1. 选择题o 读题务必仔细，留意关键词。o 熟练使用特值法、代入检验、排除法等常用技巧。对具有明显干扰项的题目，要审慎判断，避免盲目轻信“看似合理”的选项。o 保证答案填写到机读卡上时准确无误，并且注意是否存在多解或无解的情况。2. 多选题o 看清是多选还是单选。对于多选题，每一选项需独立判断是非。可以考虑设定关键的特殊值、边界情况；或者返回原题进行验证，把可能选项逐一测试。o 若对个别选项存疑，可将相应推理过程写在草稿纸上检查，避免贸然勾选。记住：多选题“宁缺勿错”，但同时也不可草率地错过正确选项。3. 填空题o 要写清楚每一个量的值，尤其注意分式、根式的化简到位。o 若出现要求“精确值”或“最简根式”的提示，需要删除多余因子和符号，不要留有多余的根号或公因子。o 填写答案前多审题：注意单位、格式、数值以及题目对结果形式的特殊要求。4. 解答题o 保持思路的条理性，围绕已知条件与所求结论展开，分步书写解题过程和关键推导。符号要使用得当，逻辑要顺畅。o 保持卷面整洁，切忌东一段西一段，规范性与层次感也是评分的重要参考之一。1. 建立自信，积极应对

在最后阶段的复习中，同学们难免会感觉到压力增大、疲劳焦虑。要正确认识到适度的紧张是正常的，也是必要的，它可以提高复习效率。可以每天进行适度的运动、保持合理的作息，积攒能量，以平稳的情绪迎接考试。2. 保持适当训练量，查漏补缺

建议大家每天安排一到两套高质量的练习题或真题进行模拟，以便保持做题手感和思考活力。遇到错误时，务必在错题本上记下出错原因、正确思路，并定期回顾整理。3. 合理分配时间，培养考场节奏o 若考生在往往无法在规定时间内完成全部题目，那么需要在训练中严格把握时间，寻找自己在某一类题目上花费过多时间的根源。o 考场上可以先完成自己最熟悉、最有把握的题目，保证基础题、熟悉题的分数，再去攻克稍难的题目，维持住整体的得分率。4. 错题复习与模拟测试相结合

借助历年真题，熟悉高考命题风格，并通过限时训练提高解题速度和正确率。对于容易失分的知识点，结合错题本对症下药，多做反思与针对性练习。1. 强化思维能力

近年来高考命题更加重视考查学生的综合运用能力和数学思维深度。简单机械的刷题模式已难以取得高分。建议同学们在平时复习中训练自己的探究精神，对题目多问“为什么”，深入理解知识间的内在联系。2. 注重数学与现实的融合

新高考背景下，数学应用愈发突出。概率统计、导数及数列等内容越来越贴近生活实际，对此要加强相关社交调查例题、真实生活情景题的训练，培养建模与分析的能力。特别是在几何和函数问题中，也常会出现实际情境的问题。3. 灵活运用信息技术

随着信息素养的重视程度提高，考题中可能会包含对数学工具的灵活运用与算法思维的考查。学生在平时可以多体验使用图形工具做辅助验证，或尝试编写简单程序来模拟与验证数学问题，培养自己处理复杂数据与模型的能力。2026年高考全国1卷数学高考真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．样本数据6,8,4,5,12的中位数为（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】结合中位数定义可得.【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12，则中位数为6.2．已知平面向量a，b不共线，且2a+ybA．x=2，y=−3 B．x=−2，y=3 C．x=2，y=3 D．【答案】A【分析】由平面向量基本定理可得.【详解】由题意可知平面向量a,b不共线，且则x=2y=−33．已知集合A=sin7π6,cos5A．−32,−12 B．−3【答案】C【详解】因为sin7π6=sin即集合A=−12,14．曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为（A．y=3x+2 B．y=5x C．y=8x−3 D．y=13x−8【答案】D【详解】因为y=5x+8lnx，则y'=5+8所以曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为即y=13x−8.5．已知抛物线C1:y2=2p1x（p1>0）和C2A．12 B．45 C．6 D．【答案】D【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数p1【详解】∵抛物线C1:y∴将x=4,y=8代入C1的方程得82=2p1∴C1的焦点坐标为F1p∵抛物线C2:x∴将x=4,y=8代入C2的方程得42=2p2∴C2的焦点坐标为F20,根据两点间距离公式，F1与F|F6．已知函数f(x)=x+2ex+a的最大值为1，则A．12 B．1 C．32【答案】B【详解】法1：（1）当a<0时，由ex+a≠0，解得故函数f(x)定义域为(−∞①当a<−1e2当x→ln(−a)+②当a=−1e2时，此时f(x)=故最大值不为1，不合题意；③当−1e2当x→ln(−a)−（2）当a≥0时，则ex+a>0，则函数f(x)定义域为且由f(x)最大值为1可知，x+2≤e即a≥x+2−ex对任意设g(x)=x+2−ex，则当x<0时，g'(x)>0，当x>0时，g'(x)<0，故g(x)≤g(0)=1，当且仅当x=0时，g(x)由a≥x+2−ex对任意x∈R恒成立，可知又当a>1时，恒有g(x)<1<a，取不到等号，所以有a=1，故选：B.法2：f(x)=x+2由选项知a>0，则定义域为R，故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为x0由f'则由f'(x0且f(x0)=x联立①②解得x0验证：当a=1时，f(x)=x+2则f'设g(x)=−x+1ex当x<−2时，g'(x)>0，则g(x)在当x>−2时，g'(x)<0，则g(x)在g(x)max=g(−2)=且当x→−∞，g(x)→0；当x→+∞，作出函数g(x)的大致图象，当x<0时，g(x)>0,f'(x)>0，f(x)当x>0时，g(x)<0,f'(x)<0，f(x)则f(x)max=f(0)=1法3：由选项知a>0，则定义域为R，由f(0)=21+a≤1(a>0)同法2验证可得，故a=1满足题意，由选项唯一可得..法4：由选项知a>0，则定义域为R，由f(0)=21+a≤1(a>0)验证：当a=1时，由不等式ex≥x+1可得故f(x)=x+2ex故a=1满足题意，由选项唯一可得.7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为ai(i=1,2,⋯,12)，其中a1=1，a2=a3=3，a4=a5=5，且a6，aA．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由条件求出数列an的前12项的和，设新数列为bn，设其公差为d，由条件可得【详解】由已知a1=1，a2=a3=3所以数列an的前12项的和为1+6+10+设新数列为bn，n=1,2,3,4,5,6由已知数列bn为等差数列，设其公差为d，d>0又an的前12项都为奇数，b由已知d为正偶数，b1则6b1+若d=2，则b1若d=6，则b1若d=8，则b1若d=4，则b1=8，此时可取b1=ab4=a3+8．设U=x1,x2,x3xi∈−2,−1,1,2,i=1,2,3为空间中64个点构成的集合，点P1,1,1，记样本空间Ω=A．−121 B．−163 【答案】A【分析】由题意可知nΩ=63.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得PX=−3【详解】由题意可知：nΩ=4×4×4−1=63，且随机变量X的取值为−6，−5，−4，−3，−2，解法一：依题意，可得PX=−6PX=−5PX=−3=4PX=−2=PX=2所以EX解法二：根据对称性可知：PX=−6=PX=6，PX=−5=PX=5，又PX=−3=4所以EX解法三：因为xi∈−2,−1,1,2对于任意一点x1,x因为P1,1,1，样本空间Ω可知样本空间Ω中存在唯一点−1,−1,−1与点P1,1,1所以Ω中所有点的坐标和的总和为−1−1−1=−3，故E(X)=−3二、多选题9．设z=3+2i，则（

A．z=3−2i B．z=5 C．z【答案】ACD【详解】对于A选项，复数z=a+bi的共轭复数z=a−bi对于B选项，复数的模|z|=a2+对于C选项，∵z=3+2i∴z2对于D选项，∵分子z+3=3+2i+3=6+2i∴z+3z−i=6+2i10．在空间中，A、B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1．若二面角C−AB−D为60°，则（

）A．∠CAD≥60° B．CD≥C．当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD D．当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD【答案】BC【分析】做出满足条件的图，过点C作CE⊥AB，E为垂足，过点D作DF⊥AB，F为垂足，过点E作EG//FD，由条件可得∠CEG=60∘，解三角形可得CG=3，由此判断B，当点A与点E的距离无限大时，可得∠CAD趋向于0∘，排除A，先证明AB⊥平面CDG，结合AB⊥CD，证明D,G重合，由此证明CD⊥平面ABD，由AB⊥平面ACD推出点A与点E重合，点【详解】不失一般性作图如下，过点C作CE⊥AB，E为垂足，过点D作DF⊥AB，F为垂足，过点E作EG//FD，EG=FD，连接GD，则EG⊥AB，因为二面角C−AB−D为60∘所以∠CEG=60∘，由已知所以CG2=4+1−2×2×1×故CG⊥EG，CD≥CG=3当点A与点E的距离无限大时，CA，AD无限大，CA,CD无限靠近AB，此时∠CAD趋向于0∘因为AB⊥CE,AB⊥EG，CE∩EG=E，CE,EG⊂平面CEG，所以AB⊥平面CEG，又CG⊂平面CEG，所以AB⊥CG，若AB⊥CD，D,G不重合，结合CG∩CD=C，CG,CD⊂平面CDG，可得AB⊥平面CDG，DG⊂平面CDG，所以AB⊥DG，矛盾，所以D,G重合，因为AB⊥CG，CG⊥EG，EG∩EF=E，EG,EF⊂平面EFDG，所以CG⊥平面EFDG，故CD⊥平面ABD，C正确；因为AB⊥平面CEG，若AB⊥平面ACD，则平面CEG与平面ACD重合，此时点A与点E重合，点D与点G重合，故AC与AD的夹角为60∘11．已知圆C1:(x+1)2+y2=1，圆C2:(x−1)2+y2=1，圆C3:x2+(y−3)2A．k可以取任意实数 B．满足s1=s2=C．满足s1+s2+s3=3的直线l多于3【答案】BCD【分析】已知三个圆均为半径r=1的等圆，圆心分别为C1(−1,0)、C2(1,0)、C3(0,3)，利用弦长公式【详解】记直线l:y=kx+b到C1,C2,C3的距离分别为d∵直线与三个圆均有两个交点，∴d1<1，d2<1，A：∵解d1<1，得解d2<1，得不妨取k>0，∵k+1+∴k−1+k2解d3<1，得3−当3−1+k2≥−k+此时不存在这样的直线l与三个圆都相交.∴k不能取任意实数，A错误.B：∵s1∴d1由d1=d2得|b−k|=|b+k|，平方得−4bk=0，即①当k=0时，直线为y=b，由d1=d3得此时d1=3②当b=0时，直线为y=kx，由d1=d3得此时d1=3综上，共3条直线满足条件，B正确.C：令b=0，∴s1=s令t=k2−2∴s1令s1+s平方整理可得5t2−16t+11=0，解得t=115或t=1经验证，此时d1,d2,d3D：当b=0时，d1=d∴s1=s令t=k2−2∴s1设f(t)=t+2t2令f'(t)=0得t=32，此时∴s1+s

【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误.三、填空题12．双曲线5x2−6【答案】66【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定a2、b2，再利用双曲线中a,b,c的关系求出【详解】将双曲线5x2−6y2因此c2=a13．已知f(x)=2sinax+θ（a∈Z，0≤θ<2π）是偶函数，f(x)在区间0,π2单调递增．则θ=【答案】3π2【分析】根据单调性和周期性可得a=1,2.解法一：根据偶函数可得θ=π2,3π2，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得f'0【详解】设函数fx的最小正周期为T，由题意可知a≠0因为函数fx在0,π2内单调递增，则T可得2πa≥且a∈Z，a≠0，则a=1,2解法一：因为函数fx则θ=k1π+π则k1=0,1，若θ=π2，则即fx=2cos若θ=3π2即fx=−2cos且f2π3=−2综上所述：θ=3π2解法二：因为f'若函数fx为偶函数，则f'0且0≤θ<2π，则θ=若θ=π2，则fx即f'x=−2sinx<0可知函数fx在0,若θ=3π2，则f即f'x=2sinx>0可知函数fx在0,且f2π3=−2综上所述：θ=3π2解法三：因为函数fx=2sinax+θ为偶函数，且函数可知fx在x=0处取到极小值，则θ=2k2π−则k2=1，θ=3即fx=−2cos且f2π3=−214．设实数q满足：存在数列an，使得对于任意n∈ N∗，均有a1+a2+⋯+a3n=n2+n，且a【答案】3【分析】由前3n项和公式推出每连续三项的和Tn=2n.将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于2n得到关于公比q的比例关系，通过相邻块和之比解得【详解】令Tn=a因此每个三项块Bn的和为2n设这9项为x,xq,xq2,⋯ ,x下面按k除以3的余数讨论.若k=3m+1(m≥0)，这9项正好包含三个完整三项块，得xC=2(m+1)，xq3C=2(m+2)于是q3=m+2若k=3m+2(m≥0)，其中两个完整三项块为第m+2块，第m+3块，得xq2C=2(m+2)，x若k=3m(m≥1)，其中两个完整三项块为第m+1块，第m+2块，得xqC=2(m+1)，xq4C=2(m+2)综上q3≤32，所以q≤3四、解答题15．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC，D，(1)证明：DE//平面BC(2)设CC1=2，直线DE与平面ACC1A1【答案】(1)由题意证明如下：如图，作出符合题意的图形，连接BC在△ABC1中，D，E分别为AB，AC1∵DE⊄平面BCC1B1，∴DE//平面BC(2)距离为1.【分析】（1）通过证明DE//（2）方法一：设出AC=BC=2tt>0，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量ED与面ACC1A1的一个法向量的表达式，根据直线DE与平面ACC1A1方法二：利用直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°，求出AC=BC=CC【详解】（1）略（2）法一：由题意及（1）得，C在直三棱柱ABC−A1B1C四边形ACC1A∴AC⊥BC，AC⊥CC1，建立空间直角坐标系，如下图所示，得到A2t,0,0，B0,2t,0，C0,0,0，D∴ED=0,t,−1，面ACC∵直线DE与平面ACC1A设直线DE与平面ACC1∴sin解得t=1，∴A2,0,0，B0,2,0，C0,0,0，D∵DE//面BCC1B1，∴由几何知识得，DE法二：由题意及（1）得，在直三棱柱ABC−A1B1C四边形ACC1A∴AC⊥BC，AC⊥CC1，∵AC∩CC1=C，AC⊂平面ACC1A1，C∴BC⊥平面ACC1A∴由几何知识得，∠BC1C即为直线B直线DE与平面ACC1A在△ABC1中，D，E分别为AB，AC∴直线BC1与平面ACC1A在Rt△BCC1中，∠BC1C=45°∴AC=BC=CC在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，△ABC为等腰直角三角形，过点D作DF//则点F为BC中点，DF=12AC=1由几何知识得，DE到面BCC1B16．已知在△ABC中，AB=3，BC=23，cos(1)求cosA(2)设D，E两点满足：D在BA的延长线上，DE//BC，AE⊥AC．若DE=6【答案】(1)1(2)3【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边AC，再用余弦定理求cosA（2）建立坐标系，设出点D坐标，由平行关系得点E的坐标，利用垂直条件求参数，由DE长度解出t，再计算CE.【详解】（1）在△ABC中，AB=3，BC=23，cos由余弦定理可知AC故AC=3.再由余弦定理得cosA=（2）以A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系如图：则A(0,0)，B(3,0)，由AC=3，cosA=13D在BA延长线上，设AD=t>0，则D(−t,0)，BC=(−2,22)设DE=λ(−2,22)由AE⊥AC，得AE⋅AC=0于是DE=λ已知DE=6，则33t=代入得E−42,故CE=(1+417．设整数N≥2．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为p0<p<1，各次投中与否相互独立．记X(1)当N=4，p=13时，求(2)设k，m均为自然数．（i）当k≤N−1时，求PX>k（ii）当k+m≤N−1时，证明：PX>k+m【答案】(1)X的分布列如下图所示：X1234P1248(2)（i）P（ii）由题意及（2）（i）证明如下：P(X>k+m=即P(X>k+mX>k【分析】（1）求出X的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.(2)（i）PX>k等价于前k次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出P（ii）利用条件概率公式，结合(i)的结论与事件的包含关系即可证明结论.【详解】（1）由题意，整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，∴X的可能取值为1，2，3，4，当X=1时，表示第一次就投进球，PX=1当X=2时，表示第2次投进球，第1次没有投进，P(X=2)=1−当X=3时，表示第3次投进球，前两次没有投进，P(X=3)=1−当X=4时，表示在第4次停止，此事件等价于前3次投篮均未投中，P(X=4)=PX>3作出X的分布列如下图所示：X1234P1248（2）（i）由题意及（1）得，整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，当k≤N−1时，X>k表示前k次均未投中，∴PX>k（ii）略.18．已知椭圆C:x2a2+(1)求C的方程；(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．（i）若△PQR的面积是△PFO的面积的3倍，求l的方程；（ii）求tan∠PQR【答案】(1)x(2)（i）y=52【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解；（2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于∠PQR是直线PQ与直线RQ的夹角，根据tan∠PQR=【详解】（1）已知椭圆x2a2+y则c=1,e=ca=12因此椭圆方程为x2（2）解法一：设l:y=kx+1k>0，点Px1,联立直线l与椭圆方程y=kx+1x2由韦达定理得x1由于P,R两点在椭圆上，关于原点对称，所以点R−x1（i）

由面积公式，S△PQO又因为O是线段PR的中点，所以S△PQO=SS△PFO由于S△PQRS△PFO=3，得令u=k2，由x1+x代入x1x2=4u−12所以k=52，所以直线l的方程为（ii）直线QR的斜率为−y于是tan∠PQR=k+3故tan∠PQR的最小值为4解法二：（i）如图所示，设直线l的方程为x=my−1，其中斜