数字信号处理（第3版）习题详解

PAGEPAGE100单项选择题（1-1—1-10题）

1x*[k]x[kn]，错误的是 （D）k（A）rxx[0EE是序列的能量；（B）x[nx[n的自相关；*（C）x[nmx[n的自相关，m是任意整数；（D）rxx[nrxx[n]。）

[0]x*[k]x[0k]Ekx[k共轭翻褶再左移nx*[(kn)]x[n]

[n]x[k]x*[(nk)]k

x[k'n]x*[k']r[n]xk'x

[n]x*[(km)]x[(kn)m]k

x*[k']x[k'n]rx[n]kx[n]

[n]

[n]x*[k]x[nk]x*[k'n]x[k']r

*[n]xx xxk kxx xxx[n

11

的周期是 （A）5cos(

n )6 3（A）12 （B）11（C）12/11 （D）6解：2116

121211下列系统因果且稳定的是 （B）（A）T{x[n]}2nx[n]

（B）T{x[n]}x[n]u[n1]n5解：（A）因果，不稳定

（D）T{x[n]}kn5

x[k]下列系统线性且时不变的是 （B）nn（A）T{x[n]}x[k]kn0（C）T{x[n]}0.5x[n]解：（A）线性，时变

nn0（B）T{x[n]}0knn0（D）T{x[n]}x[n]

x[k]n nmT{x[n-m]}x[km]kn0nm

k'n0m

y[nm]x[k]T{x[n-m]}kn0非线性，时不变线性，时变T{x[nm]}x[(nm)]y[nm]x[nm]T{x[nm]}x[ny[ny[nx[n]u[n2])u[n，则系统是（A）（A）（B）时不变的（C）（D）稳定的解：(A)T{ax1[n]bx2[n]}(ax1[n]bx2[n]h[n])u[n]a(x1[n]h[n])u[n]b(x2[n]h[n])u[n]aT{x1[n]}bT{x2[n]}linear(B)T{x[n1]}(x[n1]h[n])u[n]y[n1](x[n1]h[n])u[n1]timevariant2]u[n] C)[n][nk2]u[n] k

x[nk]u[n](x[n2]...)u[n],noncausalk2 (D)unstableLTI系统的单位脉冲响应如下，因果且稳定的是 （C）（A）h[n]2nu[n] （B）h[n]anu[n1]（C）h[n]cos(0.5n)R10[n]（D）h[n]u[n2]u[n2]（A）IIR不能实现；（B）IIR是非因果系统；（C）（C）IIR不一定稳定；FIR好。x[ny[nT1-1所示方框图关联。其中h[nLTI系统的单位脉冲响应。则整个系统不是 （B）线性的 (B)时不变的(C)稳定的 (D)因果的eej0nT1-1解：[n][ne0n[n]1 2 1 Tx[n]x[n}x[n]x[n]e0n[n1 2 1 0 aT{x1[n]}bT{x2[n]},linearT{[nn][nne0n[n0 0 [nn][nne0(n0)[ntieria0 if[n]finit,thn([ne0n)finit,thn[n]finitstle[n][ne0n[][ne0(n)]slLTI系统的单位脉冲响应h[nx[n如图T1-2所示，则输出样本正确的是（D）h[n]21h[n]210.521-2 -101（A）y[2]1（C）y[0]3

012

-1T1-2（B）y[1]2是 （C）（A）FIR可以采用卷积和实现； （B）FIR可以采用有递归的差分方程实现；（C）IIR可以采用卷积和实现； （D）IIR可以采用有递归的差分方程实现。（1-11—1-15题）1-11用[nT1-3xn[n2[n1[n2]。x[n]x[n]T1-31-12y[nxnh[nxn2h[n3=yn5（yn表示。xn的非零区间是0n9和30n39，yn的非零区间是10n19，则nx[n]y[n的非零区间是10n28和40n58。已知回声系统的输入输出关系y[nx[nax[nn0，系统的单位脉冲响应hn=[na[nn0，单位阶跃响应s[nu[nau[nn0。y[ny[n11y[n2x[n]x[n[n，初始条件是4y[n]0，n0，则y[3]0.5 。计算、证明与作图题（1-16—1-31题）画出下列序列(a)(c)

x[n][n2]2[n][n3]4[n4]

(b)(d)

x[n]R5[n2][n3]x[n]u[n2]解：）[]*[][k[nk][nk[k][]*[]k k'(b)x[n]*(h1[n]h2[n])x[nk](h1[k]h2[k])kx[nk]h1[k]x[nk]h2[k]x[n]*h1[n]x[n]*h2[n]k k(c)(x[n]*h[n])*h[n]x[k]h[nk]*h[n]1 2 1 2k x[k]h[m m]x[k]h[nm]h[mk]mk

1

2 1 k m x[k]h[n(m'k)]h[m'] 2 1 k m' x[k]h[(nk)m')]h[m']x[n]*(h[n]*h[n]) 2 1 1 2k m' y[nx[n]h[n，证明

n

n n （a）y[n]x[n]h[n]

（b）1y[n]1

x[n]1h[n]n

n

n

n

n ）[][k[nk][k][nk][k][n]n（b）

nk

k

n

k

n' (1)ny[n](1)nx[k]h[nk]x[k](1)nh[nk]n

n

k

k

n x[k](1)n'kh[n']x[k](1)k(1)nh[n]k

n'

k

nx[n]-2T1-4ynx[n]-2T1-4y[n2[n4[n1[n2[n32[n43[n6[n7]x[nR4[nxe[nxo[n]。证明：当输入全为零时，线性系统的输出也应该全为零。bx2[nT{bx2[naT{x1[n]}bT{x2[n]}（a）T{x[n]}h[n]x[n],

h[n]有界 （b）T{x[n]}x2[n]00（c）T{x[n]}k

x[nk]

（d）T{x[n]}x[n2]（e）T{x[n]}x[nn0]

（f）T{x[n]}e|x[n]|解）果稳，线性时； （b因定非，时变（例如xn=un时,n无穷大d因为2=x4n1=x12,T{xn1]}=x21]）n00则因果，否则非因果因果，稳定，非线性，时不变（c）h[n](1/2)n

（b）h[n]2nu[n1]（F）h[n]2u[n5]u[n]u[n5]）非因果，|a1（b（c）非因果，稳定； （d）非因果，稳定（e）因果，稳定； （f）非因果，稳定证明图T1-5中虚线框内的系统是LTIhn是一个LTI系统的单位脉冲响应。h[n]h[n]证明：

T1-5y[n]x[n](1)n*h[n](1)nx[k]ejkh[nk]ejnkx[k]ej(nk)h[nk]x[n]*(h[n](1)n)kNN为周期的周期序列。 y[nNh[k]x[nNkh[k]x[nky[n]k ksn表示单位脉冲响应hn；已知单位脉冲响应为h[n]anu[n], a1，求系统的单位阶跃响应；证明：如果系统稳定，则单位阶跃响应有界。）[][]*[][][n)*[][][n]（b）图解法或解析法s[n] aku[k]u[nk]k

min(0,n)akknnn0,s[n]akk

an1a1000,s[n]k

ak1 1a1ana,nas[n] 1 ,n01a1 n （

|h[n]|,s[n]h[n]u[n]h[k]u[nk]h[k]|h[n]|n

k

k

n一个系统的差分方程是y[n1y[n1]1x[n]x[n][n]，初始条件是2 3y[1]1yn。解：n0,y[n]1y[n1]1x[n]2 31 1 5 5 5 51ny[0] ,y[2] , y[n] 2 3 6 12 24 62n0,y[n1]2y[n]2x[n]3y[2]2;y[3]4,y[4]8,51n

1n12y[n] 2 62 62 y[n]

0

11n

11n

u[n] n1

22 3222

n0

*1-283个序列

xnun1un4hnn2n1n3yn1（a）求序列yn； （b）设wnxnyk，求序列wn。k）[][n][n][n][n][n][n]（b）

nn1wnxnyky[n]u[n1]x[n]h[n]u[n1]kw[n]h[n]u[n1]un12un2un4[n1]3[n2]3[n3]2u[n4]*1-29T1-63x1[n]，x2[nx3[n]y1[n]y2[n]y3[n]。求系统对[n]的响应； (b)确定系统否是时不变的。22-112T1-6解：(a)[n]1x[n]x[n]x[n]1,2 1 2 3 2 (h[n]1y[n]y[n]y[n]1[n2]0.5[n1]1.25[n]1.5[n1][n2]0.5[n3]2 1 2 3 2 不是[n1]1x[n]x[n]2 1 2T{[n1]}1y[n]y[n]0.5[n]2[n1][n3]h[n1]2 1 2*1-30单位脉冲响应分别为h1nh2n的两个因果LTI系统级联，已知其等效系统的单位脉冲响应是h[nh1nh2nu[n]，又已知h1nu[nu[n2]，求h2n。解：h[n]h1[n]*h2[n]([n][n1])*h2[n]h2[n]h2[n1]h2[nh[nh2[n1看成差分方程，递推解1(1)n

u[n]2T1-7所示系统。0.20.2nu[n]0.5[n2]T1-7(a)求整个系统的单位脉冲响应h[n]； (b)给出联系输出y[n]和输入x[n]的差分方程；该系统因果吗?稳定吗？）x[n]0.5[n2]0.2nu[n]，令x[n[n]h[n]([n][n]0.5[n2])0.2nu[n]0.2nu[n]0.50.2n2u[n2](b)n n y[n](x[n]x[n]0.5[n2])0.2nu[nn n y[n]x[k]0.2nk0.5x[k2]0.2nk(x[k]0.5x[k2])0.2nkk

k

k n n (x[k]0.5x[k2])0.2nk0.2 (x[k]0.5x[k2])0.2n1kkn

n1

k(x[k]0.5x[k2])0.2nk(x[k]0.5x[k2])0.2nkkx[n]0.5x[n2]

kx[n]0.5x[n2]h[n]z变换求解会很容易h[n]因果且绝对可和。MATLAB上机题（1-32—1-36）[]ejnR

[n]的实部、虚部、幅度和exp(、stem、real、imag(、absangle(等)解：n=0:19; x=(0.9.*exp(j*0.2*pi)).^n;subplot(2,1,1);stem(n,real(x),'.');stem(n,imag(x),'.');figure;subplot(2,1,1);stem(n,abs(x),'.');stem(n,angle(x),'.');10.50-0.5-10 2

6 8 10 12 14 16 18 2010.50-0.50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.200

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20420-2-40 2 4 6 8 10 12

16 18 20x[nnsin(0.3n0.40n10及其对称和反对称分量。sin（）fliplr（）等）解：n=[-10:10]; x=[zeros(1,10),[0:10].*sin(0.3*pi*[0:10]+0.4*pi)];xe=(x+fliplr(x))/2; xo=(x-fliplr(x))/2;subplot(3,1,1); stem(n,x,'.');subplot(3,1,2); stem(n,xe,'.');subplot(3,1,3); stem(n,xo,'.');10的矩形序列的自相关序列。提示：可以调用的函数有ones()、fliplr()、conv（）和xcorr()等。解：n=0:9; x=ones(1,10);1：n1=-n; x1=fliplr(x);n2=[min(n)+min(n1):max(n)+max(n1)]; y=conv(x,x1);stem(n2,y,'.');axis([-2020-515]);%2：n1=-n; n2=[min(n)+min(n1):max(n)+max(n1)]; y=xcorr(x,x);stem(n2,y,'.');axis([-2020-515]);在0n100之间画出系统的单位脉冲响应，并确定系统的稳定性；x[n53cos(0.1n4sin(0.4n)]u[n。在0n50间画出响应y[n。数有impz()和filter()等。解： B=[121]; A=[1,-0.60.36];0，所以稳定1：x=zeros(1,101);h=filter(B,A,x); subplot(2,1,1); stem(n,h,'.')2：subplot(2,1,1);impz(B,A,101)%（B）n=0:50; y=filter(B,A,x); subplot(2,1,2); stem(n,y,'.')11

y[n]110x[nk]11k0

x[n10cos(0.08nw[nw[n是一个在[-5，5]之间均匀分布的随机序列。plot()函数在0n100xnyn。x[n2v[n]=x[n]-2x[n-1]+x[n-2]。w[n]的相关序列。v[n]的相关序列。ones、rand（）filter等）解：%（a）%滑动平均系统是低通滤波器，能滤除高频噪声，波形有延迟，关于延迟在课程的4n=0:100; w=rand(1,101)*5-1; x=10*cos(0.08*pi*n)+w;plot(n,x); holdon; h=ones(1,11)/11; y=filter(h,1,x); 'r');%（b）差分系统是高通滤波器，能滤除缓变的低频成分，保留变化剧烈的高频成分。h=[1-21]; v=filter(h,1,x); figure; plot(n,v);x[nw[n]r=xcorr(v,w);figure; plot([-100:100],r);x[n]w1[nw[nw1[n]不相关。w1=rand(1,101)*5-1;r=xcorr(v,w1); figure; plot([-100:100],r);151050-5-10-150 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002001000-100-200-300-400-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1002001000-100-200-300-400-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100单项选择题（2-12-8）

2章实序列的z变换的零极点图可以是图2-1中的 （A）解：由x[n]x[n]可得，X(z)X*(z*)。0 0 0 0 X(z)0，则X*(z*)X(z)0；X(zX*(z*X(z。0 0 0 0 图可以是图T2-1中的 （D）1Re1ReIm z1Re1Re(a)Im

1Re1Re

(b)Im

z平面1 Re(c)T2-1

(d)解：

x[n]x*[n],X(z)X*(1/z*)0 0 如果X(z0，则X*(1z*)X(z)0 0 0 0 如果X(z)，则X*(1/z*)X(z)0 0 所以零点（极点）互为共轭倒数成对出现，即相对单位圆反演，单位圆上的可以不成对。所以（D）正确。例如共轭对称的复数序列x[n]ej/4[n1ej/3ej/6e-j/4[n]ej/4n1]其X(z)的两个零点在单位圆上不成对，分别是：ej/3和ej/6z错；极点abj和-a+bj相对虚轴左右对称，零点cdj和cdj相对原点中心对称，错；实数零点没有互为倒数的对子，极点rej和1ej互为倒数关系，不是共轭倒数关系，r11z1左边序列xn的z变换是X(z) 2 ，则其零极点图及ROC是图T2-2中的（A）12z1Imz平面-2/2Imz平面-2/2Re-2/2Re（A） （B）Imz平面-21/2Imz平面-21/2Re-21/2Re（C）（D）T2-2下个z变的R（其中a和b是有正应左序的 （B）(A)|z|b(B)0|z|a(C)b|z|a(D)b|z|25列[]1/2n的z换收域 （D）（A）X(z)

,13(2z1)(2z) 213

z2（B）X(z)

3(2z1)(2z)

2（C）X(z)解:

3z(2z1)(2z)

2（D）X(z)

3z1,1(2z1)(2z) 2

z2 1 X(z)0.5nz-n0.5-nz-n0.5nz-n0.5nzn0.5nz-nn

n

n0

n1

n0 0.5z

z z 1.5z10.5z 10.5z11

z2 0.5 (z0.5)(z2)收敛域为2

z2.2-6x[nzX(z)，ROC|z|ax[n5zROC是（D） （A）z5X(1/z),z

1/a （B）z5X(1/z),z

1/a （C）z5X(1/z),z1/a （D）z5X(1/z),z1/a Y(zx[n5]znx[n']z(n'5)z5x[n']zn'z5X(1z),z1an

n'

n'21z12-7已知n＞0时序列x[n]0，其z变换为X(z) 3 12z1（A）2（C）1/3（D）1/6ROC|z|<2。n＞0x[n0x[0limX(zx[016。z016已知x[n]是一个长度大于1的有限长的因果序列，且x[0]0,其z变换是X(z)。则以下说法错误的是 （C）（A）X(z)在z处没有零点 （B）X(z)在z处没有极点（C）X(z)在z0处有零点 （D）X(z)在z0处有极点)[]im≠0,zz（B）ROCzz处没有极点 （CD有zz02X(zx[0x[1]z1x[2]z2x[N]zN填空题（2-92-17）1/3x[nzX(z)T2-31/3ImImZ平面/223Re1X(z的收敛域为12|z|2，这时相应的序列是双边序列；种可能的双边序列具有如T2-2（c）x[nX(z的收敛域为|z|3。X(z)，直接写出下列序列zROC。

10n5ROC0|z|；其它（b）x[n3nu[n2ROC0|z|3；

1[()2

n42ej/5)n]u[n2ROC2|z|；

1n1(()

u[n]

1j)n2u[n1ROC13|z|

2。2-11x[n{1,2,3,2,1，写出其zX(z=12z13z22z3z4,ROC为z0。 11z2-12x[n][n2k]的z变换是X(z)= 2，ROC为|z|1zk0X(z)[n2k]zn

[n2k]zn

z2k1 ,|z|1n

k0n

k0

1z2 2-13X(z12z)(13z1)(1z1x[n2[n13[n8[n13[n2]。已知序列

x[n]

的z变换是

X(z)

，其零点和极点分别是k ck0,1N1和dk0,1M1y[n1)nx[nzY(zk X(z)X(z表示)，零点是ckk0,1N1，极点是-dkk0,1M1。Y(z(1)nn

x[n]zn

[]zn

X(z)一实数序列满足x[nx[10n，已知其z变换在有限z平面上有一个复数零点e(r,r0r,0(,|,)点有-j1

j1

-j，其他极点有1/。re, e, er rn=5z点）以共轭和共轭倒数的形式4X(zX(z)z5，所以二1存在，所以判断不是有限长序列，又由于对称，所以一边无限长另一边也无限长，即是双边序ROC极点。1x[n的zX(z解：

511z12

113z1

5X(z)

511z12

113z1

,1/2|z|3x[0]lim 5 lim 1 5z11z12

z013z1已知x[n]的z

X(z)，写出序列rxx

k

的z变换

(zX(z)X*(1/z*。 解:因为rxx[nx[k]x[kn]=x[-k']x[nkx[n]x[n]* * *k

[n]]

[x[n]] [x*[n]]X(z)X*(1/z*)计算、证明与作图题（2-182-28）画出下面每个z11z1(a)X(z) 4 11z112z1

x[n]为因果序列； 2 3 1z12z2(b)X(z)

12512

,z1z2

x[n]绝对可和。解:（a）零点：0，1/4；极点：1/2，2/3；|z|23。1z12z2

12z11z1（b）X(z)

12512

z1z2

1

4z113

3z14 零点：1，-2；极点：4/3，3/434|z|43。11z2已知x[n]的z变换是X(z)= 4 ，X(z)可能有多少种不同的(11z2)(11z1)(12z1)9 2 3收敛域?分别对应什么类型的序列？解：11z1 2 X(z)=

(1 11 11 21j z)(1(1 11 11 21j1j123 3 3a）1/3|z2/3b）|z1/3（c）|z2/3利用zzn, 0nNNa)[]ejnR[] (b)[n]2N,N1n2NN)

0, 其他X(z)

10ejz110.5ej0.3z1

,极点：z0.5ej0.30ejz1N1ej20ejz1ej2k/Nz0.5ej0.3ej2k/N0.5ej0.32k/N,k0,1,...N1第一个零点与极点抵消，还有N1阶极点z0极点z0(N1阶),零点z0.5ej0.32kNk1,...N1所以ROC|z|0(b)

[n]R

1zN2[n1],X(z)z1

1 zN12

,|z|0N N 1z1

1

z1阶)k12,...N1和z利用zzROC。(a)x[nn(12)nu[n2]（b）x[nncos(n)u[n，其中为常数；0 0（c）x[nn(14n。（z(1/2)nu[n]

1 ,|z|1/21(1/2)z1 n z (1/4)z2

u[n2]1(1/2)z1X(z)zd

(1/4)z2

1z2

11z14

z1/2dz1(1/2)z1

11

2z1 0 1z 0 (b)设y[n]cos( n)u[n],则Y[z] 00 12z1cos0

z2dY(z)

z1cos2z2z3cos0x[nny[n]X(z)z0

0

1dz 12z1cos

z22（c）x[n]n(1)nn(1)nu[n]n4nu[n1]4 41n z变换 1 1()[n]4 114

,zz1 44n[n]z

114z1

,z4

1z11n

d 1 4 1n()4

[n]z dz11dz

z1

11z1

2,z4 4 4 n4n

[n]zzd

1 1

4z1

2,z4所以

dz14z

14z1X(z)

1z1 4 2

4z1

z117(4(2

4z12

4

z2),

1z411z1

14z1

11z1

14z12 4 4 4 z1 1（a）X(z)

1a2z2,z11z1

a （b）X(z)

1a3z3,z

a （c）X(z) 2 ,z1z5

1解）X(z)1 1 1 []1(a)n[n]an[n)

a2k[n2k]21az1 1az1 2 （b）x[n]a3k[n3k] k0

k0（c）x[n]k0

[n5k]12k0

[n15k]z

11z1(a)X(z)

1 ,11z32z1

z21/3 （b）X(z)

3 11z13

x[n]为右边序列（c）X(z)(12z1)2,

z2解2-21（b）解答，或用长除法1n/3 22

1k

[n3k]

k0 1n

1

1n（b）方法1：x[n]3u[n]33 u[n1]23

u[n][n] （c）X(zzz1的升幂排列，进行长除：14z14z2

z14z212z332z480z5..zz1z14z24z34z24z34z216z316z412z316z412z348z448z532z448z532z5128z6128z780z6128z7所以

44X(z)120z1221z2322z3423z4 n2n1znn1

2 2

x[n]n2n1u[n1]2u[n]x[n3nu[n1z2（a）y[n]x1[n3]x2[n1]（b）y[n]x1[k]x2[kn]k1n 1 11 x[n] 1

u[n]X1(z) 12

z1

,|z|22 1]2 z31

113z1

,|z|3z12

z1

,|z|2,x2[n1]13z1,|z|3 z3

z

1/5 6/5Y(z)112

z1

13z1z

11

z1

13z111n252y[n] 52

u[n2]63n2u[n1]5（b）因为y[nx[k]x[knx1[k']x2[k'nx1[n]x2[n]k1

k1

2z1 1

1

2 3 Y(z)X1(z

)X2(z) 11 z2 z

13z112z113z12z

12z113z1y[n]222n1u[n]33n1u[n]23n2nu[n]注意：x1[-n]是左边序列变换的零极点图和收敛域。(a)y[n]x[n3] (b)y[n]x[n] (c)y[n]x[4n]ImZ平面1/21/23/4Re1-1/2（e）y[n]0.2nImZ平面1/21/23/4Re1-1/2解：[n,,;3/1/2j,-1/2j;C|z3/4（a）Y(z)z3X(z),zz0阶-,;0,3/1/2j,1/2j;C|z|3/4

(1z零点极点变成原来的倒数，收敛域是圆的内部,,;4/2j,2j;C|z4/3Y(z)z4X(1z零点极点变成原来的倒数，收敛域是圆的内部(z0阶-,;04/2j,-2j;C|z4/3Y(z)X*z*零点极点变成原来的共轭,,;3/1/2j,1/2j;C|z3/4Y(z)X(z/0.2零点极点变成原来的0.2倍,0.,;3/21/10j,1/10j;C|z|3/20*2-26x[nzX(zz|a|X(zz1处没有零ny[nx[m]X(z表示其zY(z)，并写出收敛域。m0nn解：yn]xm]m0

u[n，所以Y(z) X(z)，z=1新增了一个极点，所以zz1zn n2：y(n[x(m[x(m)]znm0

n0

m0n≥0。改变求和次序，可得n n n

zm 1 n m[x(m)]x(m)z

x(m)1z1

1z1x(m)zm0

m01111z1[x(n)]zz1

nm m0

X(z),

m0|,1)*2-27Z{n2x[nzdzdX(z)；（b）x[nn2anu[nzdz （c）x[nn1)2u[n1z])aZ{n2x[n]}Z{nnx[n]}z

dZ{nx[n]}z

dzd

X(z)dz2d2 d

dz z X(z)z X(z) dz2 dzROC|z||a||z|1Zz*2-28g[nzG(z)sin(z1)(12z13z2g[11的值。解：G(z)sin(z1)(12z23z4) 1

z3

z5

z7

z9

z11

2 4(z 3! 5! 7! 9! 11!

3z)g[n]znn1 2 1 2 11! 9! 7!（2-29—2-31）11z1已知z变换X(z) 2 ，ROC包括单位圆。12z13z2（a）求零点和极点； （b）画出零点和极点图；（c）画出X(z)在单位圆上的函数值（包括幅度和相位。提tf2z（zpln和freq（解： B=[1,-0.5]; A=[1,2,3]; [z,p,k]=tf2zp(B,A);figure;zplane(B,A); figure;freqz(B,A);输出：z=0.5000；p-1.00001.4142i，-1.00001.4142i；k=1x[n的zX(z)

1 －

,|z|0.5x[n的前impz（）等。

10.5z1 10.2z1解：B1=1;A1=[1-0.5]; B2=1;A2=[1,-0.2]; [x1,n1]=impz(B1,A1,20);[x2,n2]=impz(B2,A2,20); x=x1-x2; stem(n1,x);111z11X(z) 2 ,1z 13z11z24 24 8residuez（）等。4 解：B=[1-0.5]; A=[10.750.125]; [rpk]=residuez(B,A);输出：r=4-3；p=-0.5000 0.2500；k=4 X(z)10.5z110.25z13章单项选择题（3-1题—3-9题）以下不是序列傅里叶变换存在的充分条件的是 （D）（A）序列有限长 （B）序列绝对可和变换在单位圆上收敛 （D）序列因果设长度为N[n]Xe[n][n

n为偶数，0,

n为奇数 （D）（A）Xej2 （B）Xej/2 （C）1Xe/2Xej()/2（D）1XeXej()2 21：ynxn,

n偶11ejnxn0,

n奇22 Yej1XejXej2 2：y[n]x[n][n2k]kY(e)1X(e)

21(2k)2 k2 2 12X(e)

21(2k20

)dk2 2 12X(e)))201X(ej)X(ej)2 3y[n0.5kx[nk，则它们的傅里叶变换间的关系是（B）k0j X(ej)

11

ej4

)10.5ej

（B）Y(ej)X(ej) 16 10.5ej11

j X(ej) （C）Y(ej)X(ej) 16 10.5ej

)10.5ej

30.5kx[n

-jn 3 k

-jn nk0

0.5k0

n 3113

4ej

11

ej45kXee-kXe 2 Xe 6 k0

11ej

11ej2 234y[n]0.5kx[nk]=x[n]0.5nR[n]34k0

11

4ej

11

ej4YejXej 2 11ej

Xej 16 11ej2 2已知x[n]的傅里叶变换是Xej，则ejn/5x[n3]的傅里叶变换是 （C）（A）ej3(/5)X(ej(/5)) （B）ej3Xej(/5)（C）ej3(5X(ej(5) （D）ej3Xej(/5) ej(n'3)/5x[n']ej(n'3)n

n3n'n'ej3ej3/5n'

x[n']ej(/5)n'ej3(/5)X(ej(/5))1 2 1 x[n]x[n]ejn/5,x[n]x[n3],y[n]x[n]ej31 2 1 1 2 X(ej))X(ej(/5)),X(ej))ej3X(ej))ej3X(ej(/5)1 2 2Y(ej))ej3/5X(ej))ej3/5ej3X(ej(/5))ej3(/5)X(ej(/5))2序列的实部和虚部的傅里叶变换分别 （C）（A）共轭对称和共轭反对称 （B）共轭反对称和共轭对称（C）共轭对称和共轭对称 （D）共轭反对称和共轭反对称FT满足x[n]x*[n]的复数序列，其傅里叶变换一定是 （D）（A）共轭对称函数 (B)共轭反对称函数(C)实函数 (D)纯虚函数FTFTj。所以任意共轭反对称序列的傅利叶变换是纯虚函数。两个长度为Nx1[n]和x2

[n]X(ej)和X(ej),1 令Y(ej)X1(ej)jX2(ej),y[n]是Y(ej)的傅里叶反变换，则 1 （A）x1[n]Re{y[n]},x2[n]Im{y[n]}（B）x1[n]Re{y[n]},x2[n]y[n]y*[Nn]}

y[n]y*[Nn]}x1[n]

2y[n]y*[Nn]}2

,x2[n],x2[n]

2y[n]y*[Nn]}2jjFTFTx1[n]和x2[n]是实序列，

1 e 1 e Y(ej)X(ej)jX

(ej)Yej+Y

ej

ejYej,jX

j)Y

ejeoe 2YeReyn,Yejmyneoe 21 1 2XexnReyn,1 1 2

(e)

njImyn2Y(ejX(ejjX(ej)两边反变换得到y[nx[njx[n]1 2 1 2关于信号的傅里叶频谱错误的说法是 （D）离散时间信号的傅里叶变换是以2为周期的周期函数；周期性的连续时间信号的傅里叶变换是离散非周期的；周期性的离散时间信号的傅里叶变换以2为周期且离散的； 离散时间信号的傅里叶变换是离散的。是N2x[n]时，所做DFS处理的总次数是 （D）（A）5（B）2（C）3（D）4 x[nX[kNx[nNX[kNNx[n]填空题（3-103-17）

，Xej

Xej

而计算0（a）Xe=15b）Xe=-3；0c）

Xed=；d)

Xejd=110。22）Xe

xnejn|0 0 0

xn15n （b）Xe| xnenxnn3

n

n（c）

Xed

Xejej0d2x04(d)

ejd22 n2

110=110。Xejx[nXej分别表示以下序列的傅里叶变换：（a）[]x2[]的傅里叶变换Ye=1

XejXej()d；n2n（b）yn

xk的里变换Ye=X(e) 1

2k；k

1e

k 2

nx*kxnkRk

ej

Xej。）（b）利用卷积性质n ynxkxnk'u[k']x[n]*u[n],k k0Y(e)X(e) 1 k1e

k （c） x*kxnkx*rxnrx*nk r x*nXej，所以Rxx

ejX*ejXej

Xej2求以下傅里叶变换的反变换。（a）X(ej10.5ej)(12ejx[n2[n12[n0.5[n1；（b）X(ej)sin(2sin(4cos(的反变换x[n]=

1[n4][n4]2j

1[n2][n2]1[n1][n1]；2j 2c）Xe) 1 ,|a1x[n

a3k[n3k]。

1a3ej3

X(ej)(10.5ej)(12ej)10.5ej2ej1x[n]2[n1]2[n]0.5[n1]j ej2ej2 ej4

ejejX(e

)sin(2)sin(4)cos() 2j 2j 2

1[n4][n4]2j

1[n2][n2]1[n1][n1]2j 2

11a3ej3

,|a|1，ROC包括单位圆，所以|z|a左边序列a3ej3

3j3

3j36j69j9 1a3ej3

ae

ae ae ae

x[n]a3[n3]a3[n6]a6[n9]a9[n12] a3k[n3k]

DFSX[k=

j7kj/2

2ej3k/8sin(k/2)，k08)e 或8

。 ,k0X[X[k]W W W kn kn kn k(n'4)8 8 8 8n0

n4

n0

n'03 k4 kn 3

1Wk4

Wk4(Wk2Wk2)2(1W8) n0

) 81Wk

8 8 8Wk/2(Wk/2Wk/2)8 8 8 8822j82：

sin2(k/2) sin2(k/2)2

j2k7/2j/2e 821Wk43 7 1Wk4

Wk4-1

8 ,k0X[k]WknWkn 8-8

1Wk8 8 1Wk 1Wk 8n0

n4 8 8

Wk2Wk2Wk2

3k/2sin(k/2)

j3k/8sin(k/2)28 8 8 ,k0 2W8

,k0 2e

,k08 8 Wk/2Wk/2Wk/2 8 8

sin(k/8)

sin(k/8)

k0

k0xn1

n89x

n=xn+x

nDFS72。3 1 3 1 周期为8的实序列的FS主周期的前50+1+2j,+3j3+4,4+j}3点是3-j，2-3j，1-2j。111 2337xnx111 233

nx

nDFSX1kX2kX3k，已知x2

n如图3-1X3kX1kX2k

xnx

n=xnx

n4xx2nxnxnxnxnxn7[n]xn[n][n]3 1 2 1 2 16XkxnWkn1W4k，2 2 7 7n0XkXkXkXkW4kX

k3 1 2 1 7 1x3nx1nx1n4x[n与周期为Nxnx[nx[n]RN[n。xnXejxnXk=Xej| ,k0,1,...N1；2k/Nj xn

j 2

Xe

表示Xe

= Xe

|2k/N(

。kN N N1(a)

XexnenxnenN1

n

n0X[k]xnWknxnej2knNXej| ,k0,1,...N1(b)

X[k](2k)kNN

Nn0

2k/N2

Xej| (2k), 2kXejN

2k/N N N0, 其他计算、证明与作图题（3-183-30）xnynXej和Yej[][]FXeYea和b0[nn]Fe0Xe，其中00

0[]Xe 0jn F j0 dXejn[n]Fjd

； （e）x[]FXe

；（f）x[n]FXe （g）[][]FXeYeddX(ej)ddX(ej)d

jn

[n]d(en)

jnx[n]ejnjFT{nx[n]}dndXej

n

n[n]Fjd

e）

FT{x[n]}x[n]ejnx[n]ejn

Xen

n ()

FT{x[n]}x[n]ejnx[n']ejn'

Xej()

n

n' F{x[n]y[n]}(x[n]y[n])ejn(x[k]y[nk])ejnn

n

k x[k](y[nk]ejn)x[k](y[n']ej(n'k))x[k]Y(ej)ejkX(ej)Y(ej)k

n

k

n

kRM1

nRej

Rej表示布莱克曼窗序列的傅里叶变换。0.420.5cos2n0.08cos4n, 0nMM

M , wnR n0.420.5cos2n0.08cos4nM1

M M j2n

j4n j4nR n0.420.5eM

e M

Me MM1

2 2

j(2)

j(2)Wej

0.42Rej

0.25Re M 0.25Re M j(4) j(4)0.04Re M0.04Re M Xejx[nn0,1N1NXej（a）y[n]x[N1n] （b）y[n](1)nx[n] x[n],n0,1,...N1（c）y[n]x[nN],nN,...2N1 0,其它（a）

Y(ej)x[N1n]ejnx[n']ejN1n'ejN1x[n]ejnejN1X(ej)n0

n'0

n0（b）y[n]ejnx[n],Y(ej)X(ej)（c）

N]ejnx[n]ejnx[n']ej(n'N)

n0

nN n0

n'0jNx[n]ejnX(ej)X(ej)ejNn0 n0y[nx[n]h[n，利用傅里叶变换的性质证明

[n]

[n][n]；

n

n[n]

n[n]n[n]。

n

n （第1FTy[n]x[n]h[n],Y(ej)|

[n]

h[n]0

0

0

FT

n n j)|

X(ej)|

H(ej)|

[nen

h[n]ejn

n n

[n()n

[n()n

n

n

n 322已知Ye)1

j)H(ej(d，利用傅里叶变换的性质证明2Ye)d1X(e)dHe)d 2 y[n]|n0x[n]|n0h[n]|n01 Y(ej)ejnd|

1

X(ej)ejnd|

H(ej)ejnd|

n0

j

n01a2

有一序列，其傅里叶变换为Xe

1aej,

a1。（a）求序列xn； （b）计算12

Xejsind。）zROC|z|1a<z|</Xej

1ae

1a2j1aej

11ae

j

j1aejxnanunanun1an （b）利用时移性质 j

1

ejejXe

sind/Xe 2j11

Xejejd1

Xeed2j

1x1x11a1a102j 2jDFS（a）

，周期当成N

x[n]nNkkj0n，2是整数N ej0n，2是有理数P/QN1X[k]

0 0kn N,k0 1N

，X[k]以N为周期=NkrNn0 1

rX(e)X[kk)

2

kNk)

kN N

r

N kNX[k][nWn,k,...NX[kNNn0X(ej)

2X[k](2k)2

kN N

N

k

k N2X[kN1ej0nWknN1ej(02kN)nN,02k/N0,即k0N210 n0

N n0

0,k0,2,3,..N-1X(ej)k

2X[k](2k)N N00)N)0(N)k=kNN N N N N N N

0

r解法2：利用频移性质[n](a)[ne0nX(e)X(a)(ej(0))N2QPX[kP1ej0nWknP1ej(02kP)nP,02k/P0,即k0P2)Q0 n0

P n0

0其它X(ej)k

2X[k](2k)P P00)PQ)0(P))k'krPP P P P P P QP

0

r解法2：利用频移性质[n]x[ne0nX(e)

(ej(0))(a)xnNDFSXkXkDFS。(a)

ynx[n] （b）2Nyn0，n奇xn当成一个周期为rNyn0,nN,...2N1（d）2Nynx0,nN,...2N1解（）Y[k] [Wn

x[n']Wkn'X[k]n0

N Nn00，频域后面复制：Y[k]

2N1n0偶

1)x[n']WX[k]，k0,1,...2Nn0Y[k] x[n]W x[n]W x[n]W 2N kn2N kn kn2N2N

n0

n0

nN n(r1)NrN rN rN rN x[n]Wknx[n'N]Wkn'WkN...x[n'(r1)N]Wkn'W(r1)kNrN rN rN rN n0

n'0

n'0x[n]W(k/r)nx[n']W(k/r)n'Wk...x[n']W(k/r)n'W(r1)kn0

Nn'0

N r N n'0N1x[n]W(k/r)n(1Wk...W(r1)k)rX[krkr的整数倍n0

N r

0,kother时域后面补零，频域取样更密（频域理想内插。

kn

X[k2]k为偶数n0

n0

*3-26T3-2Xej而计算

2dXejddXejd

XejXejd；c）

XeXed22x[n]1解：(aPASWALdXej

dXej j

,then:jYejjd dthen:jy[n]nx[n],y[n]0,0,4,3,4/jdXedXejd2 d2

d2|y[n]|2241- -

n-IFTx[n]x[n]=[104-26-45 21]；

XejXejd

XejXejej0d2x[n]x[n]|

n0IFTn0

XejXejd

XejXej()d|0 02XejXej|

2x[n]x[n]ejn|0 0

2x2[n]14nsinn/3sinn/4 1 (a)n

;(b)

12acos()a2

d。a为实数，a1PASWAL(a)设：xn

，y*

n

sinn/4|0,/3||

|/4,Y*ej,Y*ej xny*n1

XejY*ejdn

2sinn/3sinn/41

/434d1

3/3 /4 /4

n1paswal

2 1 d2

1 d

Xejd12acos()a21

1aej1aej [n]an[n,|a1其中，Xej

1aej2

[n]an[n,|a12又

Xe

d2|x[n]|n

a2n2,|a|1 1

n0

1a2

2 12as)a2d

2

1a22a2n

,|a|1

n

a21 1 1 1

jn12aos)a2d1ae1aee dn01

1eja

jn 1 e dn0e 1aej1e

j a a ej

1/aej 1 1a2 1a

jn1ae-

d|n0

1

ej a ej

a1a2 an

ej

1/a1a2

1 1n

1aej

-1a2

1a2a

u[(n1)1] 1

ej a 原式2(0j

1 1a2a

2(1a2)e 1a2 an

ej

1 1n

1aej

u[(n1)1],1a2

1a2a

1

ej a a0 原式2(1a20)(1a2)原式2 1a23：利用时域卷积定理 1 1 1

jn12aos)a2d1ae1aee dn0 21 X(ej)Y(ej)ejnd| 2x[n]*y[n]|1

ej

n0

anu[n],

a

1aej

11ej a a 1k 2原式2x[k]y[0k]2aku[k] u[k]k

k

(1a2)e1je1

1n

anu[n1],

a

1aej

11ej a a