小学数学-“鸡兔同笼”问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《鸡兔同笼》教学设计教学目标：1、使学生了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，掌握用列表法、假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般策略，建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。2、通过自主探索，合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，体验不同解题策略的多样性，进一步积累解决问题的经验。3、使学生感受古代数学问题的趣味性，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。教学重、难点：建立“鸡兔同笼”问题的数学模型，理解并掌握用假设法解决“鸡兔同笼”问题。教具准备：多媒体课件、课前小研究教学过程：一、情境导入，激发兴趣。1、课件出示：大约1500年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一道数学趣题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”谁知道这道题讲的是什么意思？2、指生回答：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？3、这就是今天我们要研究的内容---鸡兔同笼。（板书）二、合作探究，构建“鸡兔同笼”数学模型。（一）初步猜测，感受“化繁为简”的必要性。1、同学们先来尝试猜测鸡、兔可能各有多少只？（找两、三个同学猜测）2、你认为不好猜的原因是什么？（数据太大）3、过渡：看来这么大的数据，同学们猜测起来有一定的难度，那我们可以化繁为简，把数据改小，从简单入手，找出规律，再来尝试解决这个问题。课件出示：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有22条腿。鸡和兔各有几只？”（说明：为了防止分析时单位名称出现混乱，把“22只脚”改成了“22条腿”）4.找数学信息师：题目中告诉了我们哪些数学信息？结合生活常识，你还能说出那些隐藏的信息？①鸡和兔共8只。②鸡和兔共有22条腿。③一只鸡有2条腿。④一只兔有4条腿。（二）列表法解决“鸡兔同笼”问题。（交流课前小研究）“鸡兔同笼”课前小研究笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有22条腿。鸡和兔各有几只？温馨提示：请从1只鸡试起，按顺序列表。分别填出鸡的只数和兔的只数，并列式算出每种情况腿的总条数，从而找出正确答案。然后与小组内的同学交流。鸡（只）兔（只）腿（条）对/错观察鸡的只数、兔的只数以及腿的条数的变化，你发现了什么规律？我发现：（）。师：你们觉得列表法怎么样？（清楚、明白，既不重复也不遗漏。）师：如果数据大了再用列表法会怎么样呢？（太麻烦）（三）假设法解决“鸡兔同笼”的问题。看来，我们得寻找一种新的方法。如果假设都是鸡会怎样呢？（配合幻灯片画图演示然后让学生列式计算，再在小组内交流，重点讲清每一步算式的含义，最后集体交流。）生1：假设全部是鸡的话，8只鸡就有16条腿，就比实际的22条腿少了6条腿。也就是有些兔当成鸡了，一只兔当成一只鸡就会少算2条腿，再用6÷2=3，就是兔有3只，鸡有8－3=5只。师：刚才这位同学把笼子里的动物全假设成鸡了，还有不同的假设法吗？生2：假设全部是兔的话，8只兔就有32条腿，就比实际的22条腿多了10条腿。也就是有些鸡当成兔了，一只鸡当成一只兔就会多算2条腿，再用10÷2=5，就是鸡有5只，兔有8－5=3只。（配合幻灯片画图演示）师：这两种方法我们把它叫做假设法。（板书：假设法）师：用假设法解决“鸡兔同笼”问题的时候你发现了什么规律吗（假设都是鸡，先算出来的是兔。假设都是兔，先算出来的是鸡。）（四）课件介绍“鸡兔同笼”问题的趣解。趣解：抬腿法，也可称为吹哨法。鸡兔同笼，头8只，腿22条，问鸡和兔各多少只？假设鸡和兔训练有素，吹一声哨，它们抬起一条腿，(22-8=14)再吹一声哨，它们又抬起一条腿，(14-8=6)这时鸡都一屁股坐地上了，每只兔子还有两条腿立着，所以，兔子有6÷2=3只，鸡有8-3=5只。三、应用数学模型，解决实际问题。1、解决“鸡兔同笼”问题的原题。2、解决课本上《智慧广场》情境图中的小汽车与摩托车的辆数问题。师：是不是只有鸡和兔在同一个笼子里才是“鸡兔同笼”问题？生活中有类似“鸡兔同笼”的问题吗？课件出示：一个停车场里停有四轮小汽车和两轮摩托车共24辆。如果这些车共有86个轮子，那么停车场里有几辆小汽车和几辆摩托车？师：看来，鸡兔同笼问题不只是代表着鸡兔同笼，那老师得在鸡兔同笼上加个引号。（老师在课题上加上双引号），它就好像是一个模型！（板书：模型）我们可以在日常生活中找到很多它的影子。四、课堂总结。1、通过这节课的学习，你有哪些收获？2、教师总结。师：我觉得我们最大的收获是从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”意识，举一反三，触类旁通，那么我们一定会更加轻松地走向数学王国的殿堂。五、课后作业。请同学们想一想，在日常生活中还有哪些情况类似于鸡兔同笼问题？创编一道题目并解答。板书设计：“鸡兔同笼“（模型）列表法假设法……A、假设都是鸡B、假设都是兔8×2＝16（条）8×4＝32（条）22－16＝6（条）32－22＝10（条）4－2＝2（条）4－2＝2（条）兔：6÷2＝3（只）鸡：10÷2＝5（只）鸡：8－3＝5（只）兔：8－5＝3（只）答：鸡有5只，兔有3只。检验：5+3＝8（只）5×2+3×4=22（条）附：课前小研究设计：“鸡兔同笼”课前小研究班级：姓名：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有22条腿。鸡和兔各有几只？温馨提示：请从1只鸡试起，按顺序列表。分别填出鸡的只数和兔的只数，并列式算出每种情况腿的总条数，从而找出正确答案。然后与小组内的同学交流。鸡（只）兔（只）腿（条）对/错观察鸡的只数、兔的只数以及腿的条数的变化，你发现了什么规律？我发现：（）。《鸡兔同笼》学情分析学生在以前已经掌握了一些解决问题的基本策略。他们已经初步学习了应用“一一列举”解决问题。学生的思维比较活跃，有一定的自主学习和小组合作经验。但《鸡兔同笼》问题教学有一定的难度，课前我对学生进行了一定的了解。一小部分学生可能在书上见过或只是听说过鸡兔同笼问题，大部分学生是不会做的。对于多数的学生来说，学习《鸡兔同笼》可能会有一定的难度。我们预测一下学生会怎么学?当然，学生怎么学，取决于教师怎么教，一般来说，如果教师直接出示例题，然后让学生自主尝试解答。接着是对各种方法进行展示交流，到最后，就是假设、方程、画图等各种方法的大杂烩，方法说完，也就下课了。学生在解说方法时，特别是假设法，是没多少人能听得懂的，同时，解说的同学只会说一下这个算式的结果表示什么，却不会说为什么是这样。因此，一节课下来，本身会的就会了，不会的还是不会，就算是模仿着写出过程的，也是分不清求出来的是鸡还是兔。因此，这样的课是失败的，而真正的原因是：没有让学生得到体验。因此，基于这样的学情，我们必须引导学生亲身经历探索解决问题的策略与方法的过程，让学生领悟“猜测、发现、简化、抽象、解决问题”的整个思维过程。从经历解决“鸡兔同笼”到“小汽车、摩托车”等问题的过程，从而提炼出“鸡兔同笼”问题的模型。最后，将模型演绎到各种生活现象和问题情境中促进模型的进一步内化，完成模型的建构与应用。

《鸡兔同笼》效果分析“鸡兔同笼”这部分内容对于学生来说是比较陌生的，理解起来也是有点难度的。不过整节课下来，学生的学习效果还是不错的。通过学习，不仅让学生掌握了知识，而且让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养了学生解决实际问题的实践经验和能力。最重要的是让学生经历猜想、假设、实验、推理等数学探索的过程，体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养了学生的学习兴趣和思维能力、推理能力，进一步积累了解决问题的活动经验。但是这堂课研究的方法多，容量大，好多地方可能只是蜻蜓点水，学生的理解可能还不够深刻，练习还不到位。少部分学生对方法的掌握可能有“照葫芦画瓢”的现象《鸡兔同笼》教材分析“鸡兔同笼”问题是我国广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。在现实生活中，“鸡兔同笼”的现象几乎是找不到的，没见过有人把鸡和兔放在一个笼子里，即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？那么是不是说“鸡兔同笼”是一个完全没有价值的数学问题呢？显然不是，“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，虽然在小学里学生并不学习二元一次整数方程，可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中并占据着重要的位置。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”的学习有什么价值呢？“鸡兔同笼”问题，实际上主要是构建一种数学模型，让我们采用有效的手段来解决类似的数学问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识、概念、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识，往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。下面对教材内容做一简单分析。“鸡兔同笼问题”是五四制青岛版小学数学五年级下册第二单元智慧广场的内容。教材信息窗呈现的是停车场这一现实情景，通过文字说明的形式让学生理解题意，并提出数学问题“停车场里有几辆小汽车和几辆摩托车？”从而展开对建立“鸡兔同笼”问题教学模型的教学。教材编排上主要让学生尝试用不同方法解决“鸡兔同笼”问题，培养学生的解决问题的策略能力。可我为了给学生更好的建立“鸡兔同笼”问题的模型，充分地传承和弘扬经典的数学文化，我直接把《孙子算经》中关于“鸡兔同笼”问题的原题，用课件科学而生动地再现于课堂，极大地激发和调动了学生的探究兴趣，让学生充分了解“经典”，感受“经典”，较好地提升了课堂的教学品味。为了更快的得出问题模型，我把数字改小让学生探究出模型。渗透了“化繁为简”的思想，学生得出数学模型后，再利用模型解决“鸡兔同笼”问题的原题和课本上《智慧广场》的小汽车与摩托车的辆数问题。这样就将数学模型还原为具体可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。跟以往教材相比，这部分内容是新增加的，因而这部分内容对于大多数教师来说是比较陌生的。所以在教学这部分内容时，往往会产生许多困惑与误解。因此，我们很有必要对教材编排这部分内容的目的与意义以及教学这部分内容时应注意什么等问题进行深入的思考与探讨。这一题型具有广泛的代表性，教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体渗透一些重要的数学思想方法，让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决实际问题的实践经验和能力。最重要的目的是让学生通过接触这些重要的数学思想方法，经历猜想、实验、推理等数学探索的过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。”从而逐步实现《标准》所提出的教学目标。鸡兔同笼问题的解法多种多样，从各版本教材来看，有列表法、画图法、假设法、方程法等。每种解法都有很强的思维性，对学生的思维能力、逻辑推理能力都有很好的促进作用。但让人疑惑的是，到底哪个才是重点？从解答问题的速度来看，肯定是假设法最快，甚至到最终，学生就只愿意用这种方法；列方程，虽然也简单，但解起方程来，让人吃不消，所以学生也不愿意用。而列表法，如果教师不强求，学生也不会用。但很明显，教材似乎都想要，难道让学生学《鸡兔同笼》，就是为了完成解题的多样性？我想肯定不是这样的。主要目的应该是让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试寻找解决问题的策略，进一步积累解决问题的实践经验和能力。从而向学生渗透一些重要的数学思想方法，因此不能让学生照搬模型，死套模型解题。《鸡兔同笼》评测练习“鸡兔同笼”课前小研究笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有22条腿。鸡和兔各有几只？温馨提示：请从1只鸡试起，按顺序列表。分别填出鸡的只数和兔的只数，并列式算出每种情况腿的总条数，从而找出正确答案。然后与小组内的同学交流。鸡（只）兔（只）腿（条）对/错观察鸡的只数、兔的只数以及腿的条数的变化，你发现了什么规律？我发现：（）。“鸡兔同笼”课堂练习1、解决“鸡兔同笼”问题的原题。“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”（笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？）2、解决课本上《智慧广场》情境图中的小汽车与摩托车的辆数问题。一个停车场里停有四轮小汽车和两轮摩托车共24辆。如果这些车共有86个轮子，那么停车场里有几辆小汽车和几辆摩托车？“鸡兔同笼”课后作业请同学们想一想，在日常生活中还有哪些情况类似于鸡兔同笼问题？创编一道题目并解答。《鸡兔同笼》课后反思“鸡兔同笼”这部分内容对于学生来说是比较陌生的，理解起来也是有点难度的。不过整节课下来，学生的学习效果还是不错的。现在谈一下我上完课的几点体会：1、大胆转换情境，让学生充分了解“经典”，感受“经典”。青岛版教材信息窗呈现的是停车场这一现实情境，通过文字说明的形式让学生理解题意，并提出数学问题“停车场里有几辆小汽车和几辆摩托车？”从而展开对建立“鸡兔同笼”问题的教学。可我为了给学生更好的建立“鸡兔同笼”问题的模型，充分地传承和弘扬经典的数学文化，我直接把《孙子算经》中关于“鸡兔同笼”问题的原题，用课件科学而生动地再现于课堂，极大地激发和调动了学生的探究兴趣，让学生充分了解“经典”，感受“经典”，较好地提升了课堂的教学品味。为了更快的得出问题模型，我把数字改小让学生探究出模型。渗透了“化繁为简”的思想，学生得出数学模型后，再利用模型解决“鸡兔同笼”问题的原题和课本上《智慧广场》的小汽车与摩托车的辆数问题。这样就将数学模型还原为具体可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。2、让学生亲身经历数学模型建立的过程，充分感受数学的魅力。关于“数学建模”，有着较为确定的含义，即“把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型来解释应用现实问题。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”、“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，更多地是指用数学建模的思想和精神来指导数学教学。通过课前调查我发现，个别学生接触过鸡兔同笼问题，大部分学生对鸡兔同笼问题是很陌生的。这样，学生之间的层次是不一致的。本节课，学生看到“鸡兔同笼”的数学问题后，很多同学习惯性的应用了画图法和列表法解决了问题。通过引导又用假设法解决了问题。多种数学思想、方法的渗透，不仅提高了学生的解题能力，更重要的是让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生在抽象能力、思维能力、推理能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展，充分感受到数学的魅力。3、教学设计重点突出，难点亦有突破。课堂上，虽然解决问题的方法很多，但是列表法、假设法是解决问题的基本方法。在课堂上教师重点让学生展示了这两种方法，并进行了师生质疑，使基本方法人人都会，其他方法作为开阔学生的思路，简化处理。使不同的学生学不同的数学，不同水平的孩子在课堂上都有所收获。教学中利用多媒体课件，运用画图法，数形结合，形象直观地帮助学生加深了对假设法解决鸡兔同笼问题的理解。教师通过画图，形象生动地展示了整个思维过程，符合学生的认知特点，有效地化解了重点和难点，达到了良好的教学效果。4、注重思维能力的培养和数学思想的渗透。日本数学家米山国藏说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。本节课，通过“鸡兔同笼”问题的学习，不仅使学生学到了知识，而且体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法。用“列表法”解决问题，渗透了函数的思想和方法；用“假设法”解决问题，渗透了假设的思想和方法。用“方程法”解决问题，渗透了代数思维。有效地培养了学生的学习思维能力和解决问题的能力。5、注重数学文化的传承。鸡兔同笼问题是《孙子算经》中一道影响较大的名题，一直流传至日本等国，引起了许多国家的众多数学爱好者的广泛关注。教学中，教师把“数学文化”和《孙子算经》及其中关于鸡兔同笼问题的原题，用课件科学而生动地再现于课堂，极大地激发和调动了学生的探究兴趣，充分地传承和弘扬了经典的数学文化，较好地体现和提升了课堂的教学品味。总的来说，本节课把学习的主动权交给学生，让学生在合作学习的活动中主动完成知识的建构过程。因此，在整堂课中，学生学得兴趣盎然，在问题得到解决的同时体验到了成功的喜悦，感受到了数学的价值和数学学习的乐趣。但教学中也存在着一些问题，反思如下：1、小组合作中教师如何调控才能进一步提高合作学习的效率，如时间的把握、学生合作过程的控制、合作学习的效果等还需进一步探讨。2、要注重培优辅困，特别是学困生的辅导如何在课堂教学中落实，使他们通过教师的引导取得明显的学习效果，真正落实新课标提出的“不同的人在数学上得到不同的发展”目标。3、这堂课研究的方法多，容量大，好多地方可能只是蜻蜓点水，学生的理解可能还不够深刻，练习还不到位。少部分学生对方法的掌握可能有“照葫芦画瓢”的现象。《鸡兔同笼》课标分析鸡兔同笼问题是我国古代流传下来的一类数学趣题，它集趣味性、解法的多样性、应用的广泛性于一体，具有训练智能的教育功能和价值，是数学教学的好题材。

（一）注意渗透数学思想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学基本思想作为“四基”之一提出，模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”之称的概念提出，明示了数学思想的重要性。教学过程中，要帮助学生积累数学活动经验，感悟基本的数学思想和方法。

1．渗透“化繁为简”的思想。

鸡兔同笼的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究。因此，通过化繁为简思想引导学生从简单问题着手，帮助学生探索出解决该类问题的一般方法后，再解决《孙子算经》中数据较大的原题。这样处理，可使学生充分体会到从简单问题入手的必要性，经历先寻找简单问题的求解策略，再将其应用到解决较复杂问题的过程，从而使学生初步感受化繁为简的思想。

2．渗透“数形结合”的思想。

让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。列表尝试法虽然有局限性，但它是假设法的基础，因此在引导学生用列表尝试