新教材数学苏教版课件112正弦定理

正弦定理

必备知识·自主学习1.正弦定理(1)正弦定理条件在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c结论________=2R(R是△ABC外接圆的半径)文字叙述在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比相等正弦(2)本质:三角形中,边与其对角的正弦之间的关系.(3)应用:求解三角形中的边或角;进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题.【思考】利用正弦定理可以解决哪些类型的问题?提示:(1)已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.2.正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径,则(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=

,sinB=

,sinC=

;(3)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c;(4);(5)S△ABC=

absinC=

bcsinA=

acsinB.

【思考】如何利用正弦定理把三角形的边化为角,角化为边?提示:利用正弦定理的变式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC实现边化角;利用公式sinA=

,sinB=

,sinC=角化边.【基础小测】

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形. ()(2)在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B. ()(3)在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB. ()提示:(1)×.正弦定理是适用于任何三角形的.(2)√.在△ABC中,若sinA=sinB,由正弦定理得

=

,故a=b,则A=B.(3)√.在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2RsinA>2RsinB,所以sinA>sinB.2.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=

,则sinB=()A.

B.

C.

【解析】选B.因为a=3,b=5,sinA=

,所以由正弦定理得sinB= .3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3

,则AC= ()

C.

D.

【解析】选B.由正弦定理得:

=

,所以.关键能力·合作学习类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)【题组训练】1.(2020·长沙高一检测)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则

= ()A.

B.

C.

D.

2.在△ABC中,a=10,B=60°,cosC=

,则c等于 ()A.20(

+2) B.20(

-2)C.

3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.【解析】1.选B.由正弦定理知,,即

=

,

=

.2.选B.由cosC=

得sinC=

,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

.由正弦定理得c=a·3.因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.由

得a=

.因为sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=

,所以b=所以a=10

,b=5

+5

,B=105°.【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.【补偿训练】1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b= ()

D.

【解析】选C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理

,得b=

.2.在△ABC中,A=60°,sinB=

,a=3,求三角形中其他边与角的大小.【解析】因为sinB=

,所以B=30°或150°,当B=30°时,由A=60°得C=90°;当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理

,得类型二已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)【典例】在△ABC中,已知c=

,A=45°,a=2,解这个三角形.四步内容理解题意条件:已知三角形的两边及一边对角结论:求该三角形的其他边与角思路探求利用正弦定理求出sinC的值,再解其他元素,注意三角形解的个数.书写表达因为所以因为0°<C<180°,所以C=60°或C=120°.①当C=60°时,B=75°,当C=120°时,B=15°,所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.②书写表达注意书写的规范性:①解三角形产生多解时必须进行检验,常用大边对大角、小边对小角或者内角和为π进行检验;②分情况讨论时不能使用大括号,要分开来写.

题后反思正、余弦定理通常可以解决四种类型,唯有两边及一边对角这种类型可能会产生多解,应当引起重视.

【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.

【跟踪训练】在△ABC中,cosA=

,a=4

,b=4

,则B等于 ()A.45°或135° B.135°C.45° D.60°【解析】选C.由cosA=

,得sinA=,A=60°,由正弦定理得sinB=

=

.因为三角形的内角和为180°,且a>b,所以B=45°.【拓展延伸】1.已知两边及一边对角解三角形的个数判断A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解2.解题思路在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.【拓展训练】(2020·进贤高一检测)在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,b=2

,为使此三角形有两个,则a满足的条件是 ()A.0<a<2

B.0<a<3C.3<a<2

D.a≥2

或a=3【解析】选C.设C到AB的距离d=bsinA=3,所以当3<a<2

时符合条件的三角形有两个.类型三正弦定理、余弦定理的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度1三角形形状的判断

【典例】在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sinB+sin2C,试判断△ABC的形状.【思路导引】解决本题的关键是把sin2A=sin2B+sin2C转化为三角形三边的关系,从而求出角A,然后再利用sinA=2sinBcosC求解.【解析】方法一:(利用角的互余关系)根据正弦定理

及sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角,B+C=90°,所以2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA=1,所以sinB=

.因为0°<B<90°,所以B=45°,C=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.

方法二:(利用角的互补关系)根据正弦定理,

及sin2A=sin2B+sin2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角.因为A=180°-(B+C),sinA=2sinBcosC,所以sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,所以sin(B-C)=0.又-90°<B-C<90°,所以B-C=0,所以B=C,所以△ABC是等腰直角三角形.【变式探究】将本例条件“sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C”改为“a2tanB=b2tanA”,试判断△ABC的形状.【解析】在△ABC中,由

,可得

,所以

.又因为a2tanB=b2tanA,所以

=

,所以

=

,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=

.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.角度2正弦、余弦定理的综合应用

【典例】1.在△ABC中,若a=3

,cosC=

,S△ABC=4

,则b=________.

2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若

a+b=2c,求sinC.【思路导引】1.根据cosC的值,求出sinC的值,再根据三角形的面积公式求出边b的值;2.(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sinC.【解析】1.因为cosC=

,所以C∈（0，）, 所以sinC=

,又S△ABC=

absinC=

·3

·b·

=4

,所以b=2

.答案:22.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推论,得cosA=

.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得

sinA+sin

=2sinC,即

cosC+

sinC=2sinC,可得cos（C+60°）=-

.由于0°<C<120°,所以sin（C+60°）=

,故sinC=sin（C+60°-60°）=sin

（

C+60°）cos60°

-cos

（

C+60°）sin60°=

.【解题策略】1.判定三角形形状的两种常用途径(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(2)化边成角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2.解三角形时的边角互化化边(角)为角(边):将题目中所有的条件,利用正弦定理或余弦定理化边(角)为角(边),再利用三角恒等变换找出三角的关系.【题组训练】1.(2020·濮阳高一检测)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足

,则△ABC的形状是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理得

,又

,得

,即tanA=tanB=tanC,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状是 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选D.已知c-acosB=(2a-b)cosA,由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,化简得cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB-sinA=0,则A=90°或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.3.(2020·潍坊高一检测)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcosC+ccosB=2acosA且△ABC的面积为

,则B= ()A.

B.

C.

D.

【解析】选C.由正弦定理及bcosC+ccosB=2acosA,得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,所以sin(B+C)=2sinAcosA,又因为在△ABC中,sin(B+C)=sinA>0,所以cosA=

,又A∈(0,π),所以A=

,又S△ABC=

absinC,结合余弦定理cosC=

得

=

absinC,所以tanC=1.又C∈(0,π),所以C=

,所以B=π-

-

=

.【补偿训练】(2020·扬州高一检测)在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,A=

,b=1,S△ABC=

,则

的值等于 ()【解析】选D.因为S△ABC=

bcsinA,所以所以a2=b2+c2-2bccosA=1+48-2×1×4

×

=37,所以a=

,所以

备选类型正弦定理的实际应用(数学建模)【典例】(2020·苏州高一检测)如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且∠ABC=120°,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知∠ACD=60°,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),∠ACB=θ(30°≤θ≤45°).(1)求灯柱的高h(用θ表示);(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的长度为S,求S关于θ的函数表达式,并求出S的最小值.【思路导引】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,在△ACD中和在△ABC中,,运用正弦定理可求得答案;(2)在△ABC中,运用正弦定理可得BC=8

+8

cos20-8sin20,运用三角恒等变换和三角函数的性质可求得最小值.【解析】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,在△ACD中,

所以AC=

=16

cosθ,在△ABC中,AB=

=16

cosθsinθ×

=16sin2θ,即h=16sin2θ(30°≤θ≤45°).(2)在△ABC中,

⇒BC=

=8

+8

cos2θ-8sin2θ,则S=AB+BC=8

+8

cos2θ+8sin2θ=8

+16sin(2θ+60°),因为30°≤θ≤45°,所以120°≤2θ+60°≤150°,当θ=45°时,S取到最小值(8

+8)m.【解题方略】利用正弦定理解决实际问题的步骤1.认真审题,弄清题意.有图形则借助图形,无图形则作出规范图形辅助解决.2.转化.将实际问题转化为解三角形问题,利用正弦定理进行数据求解.3.还原问题.将求得的解还原到实际问题中去,即除了解三角形自身限制外还要注意实际问题的限制.4.作出解答.【解析】因为CD垂直于地面,所以CD⊥BC,CD⊥AC,又∠DBC=45°,所以BC=CD,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,又AB=30,由正弦定理可得:

所以

解得:BC=15

,即CD=15

;由正弦定理可得:

所以

即AC=30

sin105°=30

×sin(45°+60°)=因此tan∠CAD=

答案:15

1.(2020·沈阳高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是 ()A.a∶b=A∶B B.a∶b=sinA∶sinBC.a∶b=si