2018年上海初三数学一模大题

2018年上海初三数学一模大题

23.在△ABC中，AB=AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于F，联结BF，交AC于点G。(1)证明：$\triangleAEE\cong\triangleCGA$证明：因为AB=AC，所以$\angleBAC=\angleABC$，又因为DE是$\triangleABC$的中位线，所以DE=BC/2，即BC=2DE。所以$\angleFDE=\angleBCF=\angleBAC$。又因为CF∥AB，所以$\angleFDE=\angleGAC$，因此$\angleGAC=\angleBAC$。又因为$\angleAEE=\angleCAG$，所以$\triangleAEE\cong\triangleCGA$。(2)证明：BH是HG和HF的比例中项。证明：因为AH平分$\angleBAC$，所以$\angleBAH=\angleCAH$。因为$\triangleAEE\cong\triangleCGA$，所以$\angleAEE=\angleCAG$。因此$\angleBAF=\angleCAF$。所以$\triangleBAF\sim\triangleCAF$。因为BF∥CG，所以$\triangleBAF\sim\triangleCGH$。所以$BH^2=GF\cdotHA$，又因为$\triangleBHF\sim\triangleCHG$，所以$HF^2=GF\cdotHA$。因此，$BH^2=HF^2$，即BH是HG和HF的比例中项。24.设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]。对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”。如函数y=-x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=-x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”。(1)反比例函数$y=\dfrac{2018}{x}$是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由。判断：不是。理由：当x=1时，y=2018；当x=2018时，y=1。因此，当1≤x≤2018时，y的取值范围为[1，2018]。而$\dfrac{2018}{x}$在x=0时无定义，因此不是闭区间[1，2018]上的“闭函数”。(2)如果已知二次函数$y=x^2-4x+k$是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值。解：当$x=2$时，$y=4-8+k=k-4$；当$x=\dfrac{4}{2\times1}=2$时，$y=1-k$。因此，$k-4=1-k$，解得$k=\dfrac{5}{2}$。因为$y=x^2-4x+\dfrac{5}{2}=\left(x-2\right)^2-\dfrac{1}{2}$，所以当$\left|x-2\right|\leq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$时，有$-\dfrac{1}{2}\leqy\leq\dfrac{7}{2}$。因此，t=2+$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$。(3)如果（2）所述的二次函数的图像交y轴于C点，A为此二次函数图像的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标。解：因为A为此二次函数图像的顶点，所以A的横坐标为2。因为二次函数的图像交y轴于C点，所以C的横坐标为0，纵坐标为$\dfrac{5}{2}$。因为B在直线x=1上，所以B的横坐标为1。因为$\triangleABC$为直角三角形，所以AB与BC的斜率之积为-1，即$\dfrac{5}{2}\times\dfrac{y_B-\dfrac{5}{2}}{1-0}=-1$。解得$y_B=0$，因此点B的坐标为（1，0）。25.如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=7，AB=CD=15，BC=25，E为腰AB上一点且AE：BE=1：2，F为BC一动点，∠FEG=∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H。(1)求sin∠ABC；解：因为AD//BC，所以$\angleABC=\angleACD$。因为AB=CD，所以$\triangleABC\cong\triangleACD$。因此，$\angleABC=\angleACD=\dfrac{180^{\circ}-\angleADC}{2}=\dfrac{180^{\circ}-\angleABD}{2}=\dfrac{180^{\circ}-\angleABE}{2}=\dfrac{180^{\circ}-\angleEBC}{2}$。因此，$\sin\angleABC=\sin\dfrac{\angleEBC}{2}=\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{2}{5}$。(2)求∠BAC的度数；解：因为AD//BC，所以$\angleBAC=\angleBCD$。因为AB=CD，所以$\triangleABC\cong\triangleACD$。因此，$\angleBAC=\angleBCD=\dfrac{180^{\circ}-\angleABC}{2}=\dfrac{180^{\circ}-2\arcsin\dfrac{2}{5}}{2}=75^{\circ}$。(3)设BF=x，CH=y，求y与x的函数关系式及其定义域。解：因为AE：BE=1：2，所以AE=10，BE=5。因为$\triangleABE\sim\triangleCHG$，所以$\dfrac{y}{x}=\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{10}{5}=2$，即$y=2x$。因为EG交BC于G，所以y=x+25-GC。因为$\triangleGCH\sim\triangleGEB$，所以$\dfrac{GC}{BE}=\dfrac{CH}{EB}=\dfrac{CH}{5}$，即$GC=\dfrac{CH}{5}\times5=\dfrac{1}{5}CH$。因此，$y=x+25-\dfrac{1}{5}CH$。因为CH=BC-BH=25-BH，所以$y=x+25-\dfrac{1}{5}\left(25-BH\right)=x+\dfrac{4}{5}BH$。因此，$y=x+\dfrac{4}{5}BH$，其中BH的取值范围为[0，25]。23.在三角形ABC中，点D在边BC上，且满足∠ADB=∠CDE。将AD连接，DE交AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD=DE×DF。(1)证明三角形BFD∽三角形CAD；(2)证明BF×DE=AB×AD。24.在直角坐标系中，直线y=x+2分别与x轴、y轴相交于点A、C。抛物线y=-x^2+bx+c经过点A和点C，且与x轴的另一交点为点B。点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方。(1)求该抛物线的表达式；(2)连接BC、BD，且BD交AC于点E，如果三角形ABE的面积与三角形ABC的面积之比为4:5，求∠DBA的正切值；(3)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD。若三角形CFD与三角形AOC相似，求点D的坐标。25.在矩形ABCD中，AB=2，AD=4。P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F。连接AP，且∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E。设PD=x，EF=y。(1)当点A、P、F在一条直线上时，求三角形ABF的面积；(2)当QD=QC时，求∠ABP的正切值；(3)设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；连接BQ，在三角形PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数。若不存在，请说明理由。23．（松江区）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，BD²=AD·BC．（1）证明：AD∥BC；（2）连接AE∥CD，交BC于点E，证明：CD²=BE·BC．24．（松江区）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t。（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE:EP=1:2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．25．（徐汇区）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）证明：AE=AF；（2）设直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B(3，0)，与y轴交于点C，抛物线y=x²+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A。求直线BC及该抛物线的表达式，并求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．23.已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．(1)当BM的长为10时，证明BD⊥DM；(2)如图(1)，当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当△DMN是等腰三角形时，求BN的长。24.如图9，已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC²=DE·DB.(1)证明△BCE∽△ADE；(2)证明AB·BC=BD·BE。25.如图10，已知抛物线y=ax²+2ax+c（其中a、c为常数，且a<0）与x轴交于点A，它的坐标是(-3,0)，与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4。(1)求该抛物线的表达式；(2)求∠CAB的正切值；(3)如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接