微专题(六)　求解变力做功的方法及机车启动的两种方式

微专题(六)求解变力做功的方法及机车启动的两种方式一、求解变力做功的几种方法W＝eq\o(F,\s\up6(－))lcosα求变力做功如果物体受到的力是随位移均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小eq\o(F,\s\up6(－))＝eq\f(F1＋F2,2)来计算变力做功，其中F1为物体初状态时受到的力，F2为物体末状态时受到的力．【典例1】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为()A．(eq\r(3)－1)dB．(eq\r(2)－1)dC.eq\f(\r(5)－1d,2)D.eq\f(\r(2),2)d在F­x图像中，图线与x轴所围的“面积”的代数和表示F做的功．“面积”有正负，在x轴上方的“面积”为正，在x轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v­t图像求位移的原理相同．

【典例2】用质量为5kg的均匀铁索，从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g取10m/s2)圆周运动中，若质点所受力F的方向始终与速度的方向相同，要求F做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．【典例3】如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．练1如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4m，求上述过程中拉力所做的功．二、机车的启动eq\x(模型建构)模型1机车以恒定功率启动以恒定功率启动P­t图像与v­t图像运动规律OA段：做加速度逐渐减小的变加速直线运动；AB段：做速度为vm的匀速直线运动【典例4】质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为eq\f(v,3)时，汽车的瞬时加速度的大小为()A.eq\f(P,mv)B.eq\f(2P,mv)C.eq\f(3P,mv)D.eq\f(4P,mv)练2一列火车总质量m＝500t，火车发动机的额定功率P＝6×105W，在轨道上行驶时，轨道对火车的阻力Ff是车重的eq\f(1,100)，g取10m/s2，求(1)火车在平直轨道上以额定功率匀速行驶时的速度大小；(2)火车在平直轨道上以36km/h的速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′.解题通法功率恒定问题的解法以恒定功率启动时，机车的运动情况：(1)没有达到最大速度时，机车做加速度逐渐减小的加速直线运动，F－Ff＝ma，F＝eq\f(P,v).(2)达到最大速度时a＝0，此后机车做匀速直线运动，vmax＝eq\f(P,Ff).模型2以恒定的加速度启动以恒定加速度启动P­t图像与v­t图像运动规律OA段：以加速度a做匀加速直线运动；AB段：做加速度逐渐减小的变加速直线运动；BC段：做速度为vm的匀速直线运动【典例5】假定某汽车额定功率为80kW，在平直的公路上行驶的最大速度为20m/s，质量为2×103kg.如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度为2m/s(1)汽车所受的阻力大小：(2)汽车做匀加速运动的时间；(3)第3s末汽车的瞬时功率；(4)速度为16m/s时汽车的加速度大小．解题通法机车启动问题的求解方法(1)机车的最大速度vmax的求法：机车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝eq\f(P,F)＝eq\f(P,Ff).(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法：牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度v′max＝eq\f(P额,ma＋Ff)，时间t＝eq\f(v′max,a).(3)瞬时加速度a的求法：根据F＝eq\f(P,v)求出牵引力，则加速度a＝eq\f(F－Ff,m).练3×103kg的汽车在平直公路上行驶，若汽车行驶过程中所受阻力恒力为f×10(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度．(2)汽车的速度为5m/s时的加速度．(3)汽车的加速度为0.75m/s2时的速度．练4如图所示，为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02m/s的匀速运动．取g＝10m/s(1)起重机允许的最大输出功率；(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2s末的输出功率．微专题(六)求解变力做功的方法及机车启动的两种方式【典例1】【解析】根据题意可得W＝eq\o(F,\s\up6(－))1d＝eq\f(kd,2)d，W＝eq\o(F,\s\up6(－))2d′＝eq\f(kd＋kd＋d′,2)d′，联立解得d′＝(eq\r(2)－1)d，(d′＝－(eq\r(2)＋1)d不符合实际，舍去)，故选项B正确．【答案】B【典例2】【解析】方法一提升物体过程中拉力对位移的平均值：eq\o(F,\s\up6(－))＝eq\f(250＋200,2)N＝225N故该过程中拉力做功：W＝eq\o(F,\s\up6(－))h＝2250J.方法二由F­h图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W＝eq\f(250＋200,2)×10J＝2250J.【答案】2250J【典例3】【解析】质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δln)＝2πRF.【答案】2πRF.练1解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F＝kx1＝200×0.2N＝40N，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W1＝eq\f(0＋F,2)x1＝eq\f(40,2)×0.2J＝4J；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W2＝Fx2＝40×0.4J＝16J．故拉力所做的总功W＝W1＋W2＝20J.答案：20J【典例4】【解析】当汽车匀速行驶时，据P＝Fv知，摩擦阻力Ff＝F＝eq\f(P,v).当汽车的速度为eq\f(v,3)时，根据P＝F′·eq\f(v,3)，得牵引力F′＝eq\f(3P,v)，由牛顿第二定律得加速度a＝eq\f(F′－Ff,m)＝eq\f(\f(3P,v)－\f(P,v),m)＝eq\f(2P,mv).【答案】B练2解析：(1)火车以额定功率匀速行驶时，牵引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg＝eq\f(1,100)×500×103×10N＝5×104N由于P额＝eq\f(W,t)＝eq\f(Fs,t)＝Fv，则v＝eq\f(P额,F)＝eq\f(6×105W,5×104N)＝12m/s.(2)当火车以v′＝36km/h＝10m/s的速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′＝Ffv′＝5×104×10W＝5×105W.答案：(1)12m/s(2)5×105W【典例5】【解析】(1)由题意可知，当汽车达到最大速度时，F牵＝Ff，则P额＝Ffvmax解得Ff＝eq\f(P额,vmax)＝eq\f(80×103,20)N＝4×103N.(2)在匀加速阶段，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma则F＝Ff＋ma＝4×103N＋2×103×2N＝8×103N当汽车达到额定功率时P额＝Fv解得v＝eq\f(P额,F)＝eq\f(80×103,8×103)m/s＝10m/s则匀加速运动的时间为t＝eq\f(v,a)＝eq\f(10,2)s＝5s.(3)汽车匀加速运动的时间为5s，第3s末汽车处于匀加速阶段，则t1＝3s时，v1＝at1＝2×3m/s＝6m/sP＝Fv1＝8×103×6W＝48kW.(4)16m/s>10m/s，此时汽车发动机的功率已为额定功率，牵引力F′＝eq\f(P额,v′)＝eq\f(80×103,16)N＝5×103N所以此时汽车的加速度大小为a′＝eq\f(F′－Ff,m)＝eq\f(5×103－4×103,2×103)m/s2＝0.5m/s2.【答案】(1)4×103N(2)5s(3)48kW(4)0.5m/s2练3解析：(1)汽车速度最大时，牵引力F＝f×103N，根据P＝Fv得汽车在运动过程中所能达到的最大速度vmax＝eq\f(P,F)＝eq\×104,×103)m/s＝32m/s.(2)根据P＝Fv得汽车的速度为v1＝5m/s时的牵引力F1＝eq\f(P,v1)＝eq\×104,5)×104N；根据牛顿第二定律得，汽车的加速度a1＝eq\f(F1－f,m)＝6.75m/s2.(3)根据牛顿第二定律得F2－f＝ma2，汽车的加速度为a2＝0.75m/s2时的牵引力F2＝ma2＋f×103N；根据P＝Fv，得汽车以0.75m/s2的加速度运动时的速度v2＝eq\f(P,F2)＝eq\×104,×103)m/s＝20m/s.答案：(1)32m/s(2)6.75m/s2(3)20m/s练4解析：(1)设起重机允许的最大输出功