专题05充分条件必要条件充要条件（五大题型）

专题05充分条件、必要条件、充要条件【题型归纳目录】题型一：充分条件、必要条件的判断题型二：根据充分条件求参数的范围题型三：根据必要条件求参数的范围题型四：根据充要条件求参数的范围题型五：充要条件的证明【知识点梳理】知识点一：充分条件、必要条件1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作peq\a\vs4\al()q，读作“p推不出q”．2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件．知识点二：充要条件一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果peq\a\vs4\al()q且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”．知识点三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系1、判定定理实际上给出了一个充分条件．2、性质定理实际上给出了一个必要条件．3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件．4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系（1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．（2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．【典例例题】题型一：充分条件、必要条件的判断例1．（2023·高一课时练习）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题中：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件．正确命题的序号是（

）A．①④ B．①②C．②③ D．②④【答案】B【解析】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，可得，推不出，，，，所以，故是的充要条件，①正确；，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；，故是的充要条件，③错误；，故是的充要条件，④错误．故选：B例2．（2023·高一课时练习）已知，则“”的一个必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于可得，故“”是“”的必要条件，由不能得到，，，比如，故选：D例3．（2023·高一课时练习）设有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵甲是乙的必要条件，∴乙能推出甲.∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙能推出乙，乙不能推出丙，所以丙能推出甲，甲不能推出丙，所以丙是甲的充分不必要条件。（如下图）故选A.变式1．（2023·高一课时练习）的一个必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，∵，∴，A正确对B项，，故B错误；对C项，不能小于2，故C错误，对D项，不能等于1，故D错误，故选：A.变式2．（2023·全国·高一专题练习）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，故充分性成立，由可得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A变式3．（2023·高一单元测试）设，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】由得或，因此“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A题型二：根据充分条件求参数的范围例4．（2023·浙江金华·高一校考阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】条件q：由不等式，解得：，若p是q的充分不必要条件，则，所以解得.故选：A．例5．（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为p是q的充分不必要条件，所以，所以，即实数a的取值范围是.故选：B.例6．（2023·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考阶段练习）已知p：m－2＜x＜m＋1，q：，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（

）A．4＜m＜5 B．C．m＞5或m＜4 D．m＞5或【答案】B【解析】由，得，∴，又p是q的充分不必要条件，，所以由能推出，而由推不出，，.故选：B．变式4．（2023·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为p是q的充分不必要条件，故是的真子集，即，解得．故选：A变式5．（2023·广东汕头·高一林百欣中学校考期末）已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是的充分不必要条件，所以，即.故选：D.题型三：根据必要条件求参数的范围例7．（2023·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】D【解析】因为是的必要不充分条件，所以，解得.故选：D例8．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的子集，故有，故选：B例9．（2023·高一课时练习）设，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，且，故选：D．变式6．（2023·河南南阳·高一统考期末）已知p：，q：，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为（

）A．（3，5） B．C． D．【答案】B【解析】因为q是P的必要条件，所以，解得，所以实数m的取值范围为.故选：B变式7．（2023·山东淄博·高一校考期末）已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由是的必要条件，列不等式组，可得实数a的取值范围．由是的必要条件，可得，解得故选：D.变式8．（2023·高一课时练习）设，则关于的方程有解的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】关于的方程有解，即有解，所以，解得.由于要满足必要不充分条件，根据选项可知选项A满足题意.故选：A.题型四：根据充要条件求参数的范围例10．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有实根，故，解得或.方程有实根，故，解得.综上所述，，只有D选项符合.若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，则，两式相减得，由于，所以，所以.当时，两个方程分别为、，方程的两个根为；方程的两个根为；即方程与有一个公共实数根.综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.故选：D例11．（2023·青海西宁·高一校考阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（

）A． B．C． D．或【答案】B【解析】一元二次方程有两个不相等的正实根，设两根分别为：，故，解得：，故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是.故选：B.例12．（2023·高一单元测试）方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：C变式9．（2023·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.【答案】【解析】解不等式得，因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，所以，.故答案为：.变式10．（2023·高一课时练习）若“”是“”的充要条件，则的值为________.【答案】【解析】由题意可知，，解得，所以.故答案为：.题型五：充要条件的证明例13．（2023·江苏苏州·高一苏州市第五中学校校考阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.【解析】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，，则，，，故方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，令，当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线若关于的方程有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点，则，解得；当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线若关于的方程有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根，则函数，有两个负零点，则，无解；故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是；方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是．例14．（2023·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）“关于的方程有实数根”是“”的什么条件？请证明你的结论．【解析】“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件．证明：先证充分性不成立：取，此时方程有实数根，但此时，因此充分性不成立．再证必要性成立：当时，恒成立，所以方程有实数根，即必要性成立.所以“关于的方程有实数根”是“”必要非充分条件．例15．（2023·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或.【解析】证明：必要性：若方程有且只有一个负数根，当时，方程为，解得，合乎题意；若时，，设方程的两根分别为、，则，此时方程有且只有一个负数根；当时，则，可得，设方程的两根分别为、，则，则、均为负数，由题意可知，可得.所以，“方程有且只有一个负数根”“或”；充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根；当时，方程为，解得，原方程只有一个负根；当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、，则，此时方程有且只有一个负数根.所以，“方程有且只有一个负数根”“或”.综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或.变式11．（2023·高一单元测试）已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．【解析】①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．变式12．（2023·高一课时练习）已知都是正数．求证：“”的充要条件是“”．【解析】证明：必要性：若，，，，，即，，，，即，必要性得证；

②充分性：若，，，，，，不等式两边同时除以，即得到，充分性得证.

综上，的充要条件是．【过关测试】一、单选题1．（2023·高一课时练习）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】充分性：若，则可得有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，所以或或，故不是的充分条件；必要性:若，则或，故或，故“”不是“”的必要条件.综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.2．（2023·吉林辽源·高一校联考期末）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】取满足，不满足，不充分；当时，一定成立，必要.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于即，故当时，成立，即成立，当时，成立，即推不出，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A4．（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）已知：，：且，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为且，则有，即能推出，而当时，如满足，显然且不成立，即不能推出，所以是的充分不必要条件.故选：A5．（2023·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式，得即，则，解不等式，得.所以“”是“”成立的必要不充分条件，即“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B.6．（2023·高一课时练习）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D.7．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）已知命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）“”的必要非充分条件是“”；（4）是成立的必要非充分条件.其中真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于(1)：因为，所以或，故(1)错误；对于(2)：因为，所以若，则，故(2)正确；对于(3)：当时，，从而，必要性成立；当时，也满足，故推不出，充分性不成立；所以是的必要不充分条件，(3)正确；对于(4)：若，则成立，但当且时，，故推不出；若，取，满足条件，但此时不满足，从而是的既不充分也不必要条件，故(4)错误.从而真命题的个数为2.故选：B.8．（2023·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考阶段练习）已知p：m－2＜x＜m＋1，q：，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（

）A．4＜m＜5 B．C．m＞5或m＜4 D．m＞5或【答案】B【解析】由，得，∴，又p是q的充分不必要条件，，所以由能推出，而由推不出，，.故选：B．二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为方程至多有一个实数根，所以方程的判别式，即：，解得，利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.故选：BC.10．（2023·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）下列命题中叙述不正确的是（

）A．“关于的方程有实数根”的充要条件是“”B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C．“”的一个充分不必要条件可以是“”D．若集合，则“”是“”的充分而不必要条件【答案】BCD【解析】由关于的方程有实数根可得，由可得关于的方程有实数根，所以“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，A正确；由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B错误；由不能推出，所以“”不是“”的充分条件，C错误；当时，若，则，若，则，所以“”是“”的充要条件，所以若集合，则“”可能是“”的充要条件，D错误；故选：BCD.11．（2023·青海海东·高一校考期中）如果A是D的充分不必要条件，B是C的充要条件，A是C的必要不充分条件，则下列说法正确的是（

）A．A是B的必要不充分条件 B．B是D的充分不必要条件C．C是D充要条件 D．B是D的既不充分又不必要条件【答案】AB【解析】由A是D的充分不必要条件，则A能推出D，且D推不出A；由B是C的充要条件，则B能推出C，且C能推出B，由A是C的必要不充分条件，则A推不出C，且C能推出A，对于A，由B能推出C，且C能推出B，A推不出C，且C能推出A，则A推不出B，且B能推出A，故A正确；对于B，由A推不出B，且B能推出A，A能推出D，且D推不出A，则B能推出D，且D推不出B，故B正确；对于C，由B能推出C，且C能推出B，B能推出D，且D推不出B，则C能推出D，且D推不出C，故C错误；对于D，由B选项，可得D错误.故选：AB.12．（2023·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因为集合或，当时，，解得，此时，当时，，解得，若，则，解得，又，则，则的充要条件为，所以的必要不充分条件可能是，，故选：AB．三、填空题13．（2023·福建泉州·高一福建省南安第一中学校考阶段练习）下列命题为真命题的是（写出所有正确说法的序号）__________.①函数经过点的充要条件是；②二次函数经过点的充要条件是；③若已知二次函数，则经过点的充要条件是；④“”是“二次函数有两个异号零点”的必要不充分条件.【答案】①③【解析】对于函数，如果经过点，则，反之，若，则，即函数经过点，故函数经过点的充要条件是，所以①③正确，对于②若时，函数不是二次函数，后者推不出前者，而二次函数经过点，则，前者可推出后者，所以后者是前者的必要不充分条件，故②不正确；有两个异号零点，设为，且，则，若，对于二次函数，由且，所以二次函数有两个异号零点.所以“”是“二次函数有两个异号零点”的充要条件.故答案为：①③.14．（2023·高一课时练习）已知A，，则“”是“”的__________条件．【答案】充要【解析】由可得,所以，由得，进而，故“”是“”的充要条件，故答案为：充要15．（2023·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】因为，，因为是的必要不充分条件，所以.所以实数的取值范围为.故答案为：.16．（2023·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）若或是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】若“或”是“”的必要不充分条件，则是或的真子集，或，解得：或，故答案为：．四、解答题17．（2023·高一课时练习）已知或，为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】由题意知，或，为非空集合)，因为是的必要不充分条件，所以是的非空真子集，可得或，解得或，所以实数的取值