初中数学-平面图形的镶嵌教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学《综合与实践》主题研究教学设计八年级上册平面图形的镶嵌初中数学《综合与实践》主题研究教学设计课题名称平面图形的镶嵌年级八年级教材版本设计者单位教学目标1.经历平面图形镶嵌的探究过程，进一步发展探究意识，积累探究经验。2.认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的一种或几种图形进行平面图形镶嵌，了解构造基本镶嵌图案的一些方法。3.经历小组合作与交流的过程，通过观察、实验、归纳、推断等多种活动，进一步积累合作与交流的活动经验，增强合作意识，发展合作能力。4.通过图案设计活动，发展空间观念以及综合运用数学知识解决问题的能力，体会在数学学习过程中的数学思想和数学方法，明确数学知识源于生活又用于生活。重点难点重点：理解平面镶嵌的意义，能用边长相等的正多边形拼出各种平面镶嵌图形，理解平面镶嵌的数学原理。难点：探索哪些边长相等的正多边形可用于平面镶嵌，如何进行平面镶嵌，以及平面镶嵌的数学原理。教学过程教师活动学生活动【课前准备】热身活动课前准备好若干常见的基本图形的纸板，正三角形12个，正方形4个，正五边形4个，正六边形4个，正八边形4个，一般的三角形6个，一般的四边形4个。安排学生复习回顾多边形内角和公式：（n-2）180°，能够根据公式计算出常见的正多边形每个内角的度数。【第一环节】课堂导入同学们，大家都知道，我们的数学都是来源于生活的，同时它反过来又为生活服务，只要大家做一个生活的有心人，处处观察我们生活的世界，你就会发现许许多多的数学奥秘。今天我们所要研究的《平面图形的镶嵌》，也和我学生以小组为单位清点本节课所需的学具数量及类型。复习回顾多边形内角和公式：（n-2）180°，计算出常见的正多边形每个内角的度数。教学过程教师活动学生活动们的生活息息相关。这是我们的校园，大家都非常熟悉，如果你细心观察的话，你也会发现，这里面也隐藏着一个数学的奥秘。下面让我们跟随镜头，一起走进我们的校园，然后从数学的角度来思考，我们的校园里到底隐藏着一个怎样的数学奥秘呢？教师播放《关注身边的数学，发现数学中的美》的视频。【设计意图】通过让学生观看视频，让学生体会数学就在我们身边，渗透数学知识来源于生活，同时，让学生感受数学中的美。【第二环节】明晰概念提出问题：当你漫步在校园里的时候，你是否发现了这些地砖和墙砖的拼铺？实际上这种拼铺在我们生活当中也随处看见，请大家从数学的角度出发，进行思考，这些地砖，墙砖还有天花板，它们有什么样的共同特征？归纳概括：教师将同学所说的特征进行总结和概括，在此基础上明晰平面图形镶嵌的概念。解析概念：教师引导学生分析概念中的关键词。教师板书：关键词无空隙，不重叠【设计意图】学生通过观察和思考，初步总结出平面图形镶嵌的定义，并掌握定义当中的关键词，为开展操作和探究活动做好准备。学生观看视频，同时思考教师提出的问题。学生通过观看视频以及生活中的图片进行观察，分析和思考，在教师引导的基础上，总结这些拼铺的图案的共同特征。学生总结概念当中的关键词教学过程教师活动学生活动【第三环节】操作与探究1.探究活动一：同种正多边形的镶嵌提出问题：小明家的新房进行地面装修，他的父母在某建材市场选购材料的过程中看到如下几种形状的地砖：正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正八边形，如果只选择一种进行地面装修，哪几种可供选择？操作探究：请各小组合理分工，利用多边形模板动手操作验证，得出结论，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。活动时间：4分钟请某个小组将探究活动一的镶嵌图案在黑板进行展示。教师引导学生按照探究报告的问题进行汇报交流。（1）哪些正多边形可以镶嵌？哪些不能进行镶嵌？（2）请结合拼图，具体说一下能够镶嵌的图形是如何镶嵌的？学生以小组为单位进行同一种正多边形平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出平面图形镶嵌的条件和正多边形平面镶嵌的条件。学生汇报：经过我们的操作，我们发现正三角形，正四边形和正六边形可以进行镶嵌，而正五边形和正八边形不能进行镶嵌。我们知道正三角形每个内角的度数为60度，在一个拼接点处，六个60度角可以组成一个周角，所以正三角形可以镶嵌，同样，正方形每个内角的度数为90度，在一个拼接点处，4个90度角可以组成一个周角，所以正方形可以镶嵌，正六边形每个内角为120度，在一个拼接点处3个120度角可以组成一个周角，所以正六边形可以镶嵌。教学过程教师活动学生活动（3）请结合你们的拼图，具体说一下正五边形和正八边形为什么不能进行镶嵌？（4）根据以上探究，你们能总结一下镶嵌的条件吗？那一个正多边形要能够进行平面镶嵌，它的内角要满足什么条件？【设计意图】通过提出现实问题，组织学生以小组为单位开展操作与探究，并通过实验探究报告引导，学生初步总结出平面图形镶嵌的条件以及正多边形镶嵌的条件。思考：通过刚才发现的规律，你还能再找到能够进行平面镶嵌的正多边形吗？说说你的想法。教师引导：能否用代数的方法解决刚才的问题？教师给学生提供一个思路。我们发现，三个正五边形拼在一起有空白，而四个正五边形又会有重叠，所以正五边形不能进行镶嵌。同样，两个正八边形拼在一起有空白，而3个正八边形又会有重叠，所以正八边形也不能进行镶嵌。也就是说它们不能拼成360°。在一个拼接点处的角能构成360度；正多边形内角的度数能够被360度整除。学生以小组为单位进行交流，得出：如果正多边形能够镶嵌，根据刚才发现的规律，它内角的度数必须能够被360°整除，除了60°，90°和120°，能被360°整除的还有180°和360°，而多边形内角的度数不可能为180°和360°，所以不能再找到其他可以镶嵌的正多边形了。学生在教师提供的思路的基础上，通过列方程进行推导，从而验证只有正三角形，正方形，正六边形可以实现镶嵌。教学过程教师活动学生活动【设计意图】通过代数方法的解决，让学生体会数形结合以及方程思想在解决问题中的作用。总结探究活动一得出的结论刚才我们研究的这些图形都是正多边形，它们内角的度数都相等，边也相等，可以说是特殊的多边形，那么对于任意的多边形，是否也能够按照刚才的规律进行镶嵌呢？我们在研究问题时，很多时候是先研究特殊的情况，再研究一般的情况，这在数学上是一种从特殊到一般的数学方法。2.探究活动二：任意多边形的平面镶嵌提出问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地面镶嵌吗？任意的四边形呢？操作探究：请各小组合理分工，利用任意三角形和任意四边形模板动手操作验证，根据操作验证，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。活动时间：4分钟某个小组将探究活动一的镶嵌图案在黑板进行展示。教师引导学生按照探究报告的问题进行汇报交流。学生理解通过探究活动一得出的结论。学生以小组为单位进行任意多边形（三角形和四边形）平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出任意三角形和四边形能够进行平面镶嵌的条件。教学过程教师活动学生活动（1）任意三角形和四边形是否可以进行镶嵌？（2）具体说一下它们是如何镶嵌的？总结探究活动二得出的结论刚才研究的图形都是用同一种多边形，对于两种甚至三种多边形的组合，是否也有这样的规律呢？在数学学习过程中，我们往往先从简单的开始研究，再研究复杂的情况，这就是从简单到复杂的数学学习方法。3.探究活动三：边长相等的两种正多边形的组合镶嵌。提出问题：小明的父母想用刚才边长相等的正三角形，正方形、正五边形，正六边形中的两种地砖进行卧室地面的装修，请你帮他们设计出能够利用两种地砖进行组合镶嵌的方案。操作探究：小组PK。编号为奇数的小组利用动手操作来设计方案，编号为偶数的小组利用探究活动一和探究活动二发现的规律，不动手操作，利用其他方法来设计方案。活动时间：5分钟奇数组代表汇报探究成果我们发现任意的三角形和四边形都能镶嵌。以三角形为例，在每个拼接点处，有6个角，这六个角恰好是三角形的两组内角，两组内角和恰好组成360°。以四边形为例，在每个拼接点处，有4个角，这四个角恰好是四边形的四个内角，恰好组成360°。学生理解通过探究活动二得出的结论，进一步明确平面图形镶嵌的条件。学生以小组为单位进行边长相等的两种正多边形平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出两种平面图形镶嵌的条件。教学过程教师活动学生活动（1）哪些正多边形的组合可以进行平面镶嵌？（2）它们是如何镶嵌的？偶数组代表汇报通过方程思想探究得出的结果总结探究活动三得出的结论【设计意图】通过分组探究，让学生用不同的方法解决问题，体会数学学习方法的多样性。【第四环节】总计与归纳通过探究活动一到探究活动三，总结归纳多边形可以镶嵌的条件。以上四种图形进行两两组合，共有6种组合方案，其中能够镶的有两种方案。三个正三角形和两个正方形可以进行镶嵌，在一个拼接点处，有3个60度角，2个90度角，它们的和恰好为360度；两个正三角形和两个正六边形或者一个四个正三角形和一个正六边形也能够进行镶嵌。解：设在一个拼接点处有m个正三角形,n个正方形，则有60m+90n=360整理得：2m+3n=12∵m,n为正整数∴方程的解为∴3个正三角形和2个正方形可以进行组合镶嵌。学生理解通过探究活动三得出的结论。学生通过探究活动，从角和边两个角度归纳多边形平面镶嵌的条件：1.每个拼接点处内角的和构成360°2.相等的边重合。教学过程教师活动学生活动【第五环节】思维拓展提出问题：刚才我们研究的不管是同一种多边形的镶嵌还是组合图形的镶嵌，都是一些规则的图形，那么对于不规则的图形，是否也能进行平面镶嵌呢？教师出示课本P154议一议中图3的两个图案，引导学生说出镶嵌方法。教师出示：如图，在一个正方形的内部按图示1的方式减去一个图形，并平移，形成如图2所示的新图案。以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？教师出示课本P154议一议中图4的两个“类平行四边形“图案，引导学生说出镶嵌方法。教师引导学生总结通过刚才的三组图形得到的结论。【设计意图】从规则图形到不规则图形，为学生提供一种设计镶嵌基本图案的方法。【第六环节】作业布置我校新校建设正在如火如荼的进行之中，请根据今天所学习的镶嵌的知识，为我校新校设计一种教室地面的镶嵌方案，要求用三种正多边形组合进行设计。你有多少种设计方案？学生思考教师提出的问题，先作出基本的猜想。学生观察图案，说出镶嵌方法，并初步感知：一个能够镶嵌的图形分割成几个图形，经组合后仍可进行平面镶嵌。学生观察图案，说出镶嵌方法，并初步感知：如果一个图形通过平移可以镶嵌，那么将这个图形上的一部分切割下来并沿着平移方向将切割部分平移，与剩余部分进行适当的组合，这个组合图形仍可以镶嵌。学生观看学校新校建设现场图片，激发学生为新校建设运用数学知识解决问题的兴趣。教学过程教师活动学生活动【第七环节】感受数学美结束语：其实，镶嵌就在我们身边，它无时无刻不在装点着我们的生活。希望大家通过今天这节课的学习，能用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。在镶嵌的背后，还有更多的数学奥秘等待着我们去探索，去发现。观看镶嵌视频：伴随着我校悠扬动听的的葫芦丝旋律，让我们在欣赏一组镶嵌作品中结束今天的课程。【设计意图】为学生提供大量的丰富多彩的镶嵌图案，激发学生利用数学知识创造更多美丽的镶嵌图案。观看视频，感受数学之美，感知丰富多彩的镶嵌世界。教后反思本节课的设计，我以我自己创作的《学生身边的数学和校园中的数学》的视频进行引入，同时以生活中常见的丰富多彩的镶嵌的视频作为结尾，让学生感知数学和我们的生活息息相关，数学就在我们身边，数学可以给我们带来美。在操作和研究环节，我设计了三个探究活动，分别是同种正多边形的镶嵌，任意多边形的镶嵌，边长相等的两种正多边形的镶嵌。设计时遵循学生的认知规律，先研究特殊的图形，再研究一般的图形；先研究单一的简单的图形，再研究组合的复杂的图形；先研究规则的图形，再研究不规则的图形，在这个过程中，让学生体会并经历“从特殊到一般”、“从简单到复杂”、“从规则到不规则”等数学学习的一般方法，同时在过程中渗透了方程思想和数形结合的思想，数学思想和方法贯穿本节课的始终。当然，通过实际的授课，本科还是存在很多需要重新思考和改进的地方：（1）学生活动时间充分、活动形式多样，活动进行的也比较顺利，但还对于部分学生而言还存在着“玩”的情况，对于这类学生来说活动的形式冲淡了活动的目的。（2）教学语言不够精炼，重复性的话语虽然起到了重点知识重点强调的作用，但仍显冗长而罗嗦；而一些指向过于明确的细化问题在某种程度上限制学生的思维。教后反思（3）时间分配上存在着前松后紧的情况，概念处理显得过于拖沓，以至于后期的思考问题不够深入，这需要在活动设计和课堂节奏的调整上下功夫。（4）若能在活动的初始阶段把密铺所需要的“量”（顶点、边、角）都抓出来，给学生以具体呈现，本节课的学生活动会更具高度和思想性。（5）由于时间所限，本节课的研究仅限于多边形的顶点和顶点重合，相等的边重合的情况，在探究过程中，学生也出现了相等的边不重合的情况，可以借助拼图在黑板进行演示，让学生认同相等的边必须重合，否则不能进行连续的镶嵌。也可以借助于几何画板软件进行进一步的探究和尝试，但由于时间关系，利用几何画板的探究设想并没有进行。而对于其它形式基本没有涉足，这也容易造成学生思维的局限性，可以在教学中适当加以铺垫和解释。八年级数学上册综合与实践《平面图形的镶嵌》探究报告一、探究活动一：同种正多边形的镶嵌问题：小明家的新房进行地面装修，他的父母在某建材市场选购材料的过程中看到如下几种形状的地砖：正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正八边形，如果只选择一种进行地面装修，哪几种可供选择？探究：请各小组合理分工，利用多边形模板动手操作验证，得出结论，小组合作完成导学案上的活动报告，并准备进行小组展示。时间：5分钟探究报告：1.我们发现：这五种正多边形中，能进行镶嵌，不能进项镶嵌。2.请结合拼图，具体说一下能够镶嵌的图形是如何镶嵌的？3.请结合拼图，具体说一下不能镶嵌的图形的原因？4.根据以上探究，总结平面图形镶嵌的条件：5.根据平面图形镶嵌的条件，总结正多边形能够镶嵌的条件：6.你还能找到其他能够镶嵌的正多边形吗？你是怎么想的？二、探究活动二：任意多边形的平面镶嵌问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地面镶嵌吗？任意的四边形呢？探究：请各小组合理分工，利用任意三角形和任意四边形模板动手操作验证，根据操作验证，小组合作完成导学案上的活动报告，并准备进行小组展示。时间：5分钟探究报告：1.我们发现：任意的三角形和任意的四边形(能或不能)进行镶嵌。2.若它们能镶嵌，请具体说一下它们是如何镶嵌的？三、探究活动三：边长相等的两种正多边形的组合镶嵌问题：小明的父母想用刚才边长相等的正三角形，正方形、正五边形，正六边形中的两种地砖进行卧室地面的装修，请你帮他们设计出能够利用两种地砖进行组合镶嵌的方案。探究：编号为奇数的小组利用动手操作来设计方案，编号为偶数的小组利用探究活动一和探究活动二发现的规律，不动手操作，利用其他方法来设计方案。时间：5分钟探究报告：1.我们发现：以上四种图形进行两两组合，共有种组合方案，其中能够镶嵌的有共种方案。2.通过探究，请具体描述以上能够镶嵌的多边形组合是如何镶嵌的？学情分析

知识技能基础：学生经历了对平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等性质和判定的探索活动，掌握了有关特殊四边形的性制、判定，并了解多边形的内角和外角。活动经验基础：在本章前几节的探索活动中，学生体现了主动合作，实践动手能力，积累了一定的探索图形性质的经验，以及在活动过程中表现出一定的数学表达能力和数学思考的发展水平。八年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对其内在规律关注不够，因而在本章教学中教师应通过创设情境，组织学生动手活动，在活动中与学生共同探究加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。效果分析本节课的总体设计思路是：感知、认知→经历、体验→创新启迪→创新实践。围绕新课程理念，着眼于学生的发展，教师根据学生现有经验，灵活大胆地设计了教学，教学效果良好。数学新课程特别要求改变学生的学习方式，确立学生在课程中的主体地位，建立自主、探索、发现、研究以及合作学习的机制。教学中注重培养学生获取新知识的能力、分析和解决问题的能力和团结协作的能力。为学生创设自主参与、探究发现、合作交流的教学情境，让学生感受和理解知识的产生与发展的过程，最大限度地组织学生亲历数学探究的过程，在动手、动口、动脑和“做中学”、“学中用”的协作参与中，发展他们的个性和能力。本节课通过创设情境提出问题：哪些多边形能够进行平面镶嵌？由学生自主探究、主动思考符合要求的多边形应具备的条件，使学生亲身体验数学思维活动。教师在整个教学活动中始终是处于教学活动的组织者和引导着的身份和地位。在平面图形镶嵌问题感知与认知之后，学生经历了自己动手设计平面镶嵌作品的过程，设计的方法多样且具有美观性、实用性。我深深地体会到学生的创造力是不可低估的，教学中着眼于学生的发展，培养与增进学生的创新思维能力尤为重要。学生在探索图形镶嵌秘密的过程中，能充分感受到数学的有用性、实用性。面对一些现实的、有意义的、富有挑战性的问题能主动尝试着从数学的角度运用所学的知和方法寻求解决问题的策略，这是本节课所实现的一个重要的教学目标。“学数学、做数学、用数学、享受数学”，让学生充分“经历和体验，关注学生的发展”是本节课的一大特点。让学生在数学活动中积极参与进来、活跃起来，主动体验、亲身感知、大胆创新，在本节课中体现得淋漓尽致。“创新启迪”环节，更深化和拓展了学生的视野。尤其是“拓展提高”部分的设计，给了学生自主创造的时间和空间，让学生充分展开了想像的翅膀，按照自己的认知水平和理解程度，设计出属于自己的得意作品。这一过程更多地发挥了学生的创造能力，是学习活动的发展与升华。同时也体现了评价方式的多样化，这是对学生个性差异的悉心关照，更是对学生成长和发展的关注。本节课在节奏上很难把握，放和收的度是我这节课感到困难的地方。为了让学生有更充足的时间进行创新设计思考，创新检测与评价的教学环节只能延伸到课余。也正是如此，才使得本节课的创新合作学习环节更有实效性，因此，学生才会创作出了许多新颖、独特的镶嵌作品来。教材分析（一）地位和作用平面图形的镶嵌内容安排在本章的最后，在此之前，学生已经学习了三角形的内角和，多边形的内角和等知识.通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义。（二）教学目标根据课程标准的要求，教学内容的特点以及八年级学生的认知水平,本节课的教学目标定位为如下三个方面。1.认知目标(1)通过探索平面图形的镶嵌，知道用单一的正多边形图形能进行平面镶嵌的只有正三角形、正四边形或正六边形，并能运用正多边形图形进行简单的镶嵌设计；(2)在探究的过程中,理解正多边形是否能够镶嵌的原因.2.能力目标(1)培养学生从实际中发现问题、解决实际问题的能力；(2)开发培养学生的创造性思维能力，使其理论联系实际；(3)培养学生动手操作,自主探索,合作学习的能力.3.情感目标(1)通过观察,实验,归纳,说理等学习活动,使学生在体验数学活动的探索性和创造性中提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心；(2)在探索过程中,培养学生的合作交流意识和一定的审美情感；(3)使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系,认识数学的应用价值。（三）教学重点、难点本课题学习需要学生通过观察图片感知概念，进而探索用一种或两种正多边形能够镶嵌的规律，鉴于学生已有的知识，我将理解平面镶嵌的概念，探究用一种正多边形能够镶嵌的规律作为教学重点，将学生通过数学实验发现用正多边形镶嵌的规律作为教学难点，将采用学生小组合作探究、多媒体演示等方式来突出重点，突破难点.评测练习A组：基础巩固类1．为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（）A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形2．如图是正八边形为“基本单位”铺成的图案的一部分（其中有个“基本图形”），其间存有若干个小正方形空隙，边沿上有小三角形空隙，以及图案的个角的更小的三角形空隙．若密铺个“基本单位”的图案，并填充满空隙则需要______个小正方形，______个小三角形．（不含图案的个角）．B组：综合应用类3．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）如图1，请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…正多边形每个内角的度数（2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．课后反思本节课的设计，我以我自己创作的《学生身边的数学和校园中的数学》的视频进行引入，同时以生活中常见的丰富多彩的镶嵌的视频作为结尾，让学生感知数学和我们的生活息息相关，数学就在我们