简单的轴对称图形

3简单的轴对称图形第1课时等腰三角形教学目标一、基本目标1．经历探索等腰三角形和等边三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质．2．能根据等腰三角形的性质解决一些简单的问题．二、重难点目标【教学重点】等腰三角形、等边三角形的性质．【教学难点】等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P121～P122的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；(3)等腰三角形的两个底角相等.2．如图，在△ABC中，AB＝AC．(1)因为AD⊥BC，所以∠BAD＝∠CAD，BD＝CD；(2)因为AD是中线，所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；(3)因为AD是角平分线，所以AD⊥BC，BD＝CD；(4)因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.3．完成教材P121“想一想”：解：(1)等边三角形有三条对称轴，内角的平分线(各边上的中线、各边上的高)所在的直线为其对称轴．(2)等边三角形的特征：①三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是60°；②是轴对称图形；③具有等腰三角形的一切特征．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC中各内角的度数．【互动探索】(引发学生思考)设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．【解答】因为AB＝AC，BD＝BC＝AD，所以∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD．设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.在△ABC中，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.所以在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.【互动总结】(学生总结，老师点评)当题中等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D．求证：∠BAD＝2∠DBC．【互动探索】(引发学生思考)由∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据“等角的余角相等”证明结论．【证明】过点A作AE⊥BC于点E.因为AB＝AC，AE⊥BC，所以∠BAD＝2∠2.因为BD⊥AC于点D，所以∠BDC＝90°，所以∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°，所以∠DBC＝∠2，所以∠BAD＝2∠DBC．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用“等角的余角相等”证明角相等．活动2巩固练习(学生独学)1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为(D)A．20° B．50°或80°C．10° D．20°或80°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝3cm.3．在△ABC中，AB＝AC＝5，∠A＝60°，则BC＝5.4．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.证明：因为AB＝AC，CN＝AC，所以AB＝CN，∠N＝∠CAN.又因为AB∥CN，所以∠BAM＝∠N，所以∠BAM＝∠CAM，所以AM为∠BAC的平分线．又因为AB＝AC，所以AM为△ABC的边BC上的中线，所以BM＝CM.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．【互动探索】要求∠A，需讨论∠A是等腰△ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．【解答】分情况讨论：当∠A为顶角时，则∠B＝∠C．因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，所以∠B＝∠C＝50°，所以∠A＝80°.当∠C为顶角时，则∠A＝∠B．因为∠A＋∠B＝130°，所以∠A＝65°.当∠B为顶角时，则∠A＝∠C．因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，所以∠A＝∠C＝50°.综上所述，∠A的度数可以为80°，65°或50°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．本题易忽略讨论∠B是顶角还是底角．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)等腰三角形eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(轴对称性,三线合一,等边对等角))练习设计请完成本课时对应练习！第2课时线段的垂直平分线教学目标一、基本目标1．探索并了解线段垂直平分线的有关性质，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．2．会用尺规作图作一条线段的垂直平分线．3．经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．二、重难点目标【教学重点】垂直平分线的有关性质．【教学难点】用尺规作图作线段的垂直平分线，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P123～P124的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．2．线段的垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.3．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为(B)A．6 B．5C．4 D．3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】详细过程见教材P124例1.【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)DE垂直平分AB→AD＝BD→△DBC的周长为35cm→BC＋AD＋CD＝35cm→求出BC．【解答】因为DE垂直平分AB，所以AD＝BD．因为△DBC的周长为35cm，即BC＋BD＋CD＝35cm，所以BC＋AD＋CD＝35cm.又因为AC＝AD＋DC＝20cm，所以BC＝35－20＝15(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为(C)A．13 B．15C．17 D．192．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D、E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为(B)A．50° B．70°C．75° D．80°3．如图，在△ABC中，AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，则BC长为15cm.4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°，求∠C的度数．解：因为∠B＝90°，∠BAE＝10°，所以∠BEA＝80°.因为ED是AC的垂直平分线，所以AE＝EC，所以∠C＝∠EAC．因为∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠BAC＝∠BAE＋∠EAC，所以10°＋∠EAC＋90°＋∠C＝180°.所以∠C＝∠EAC＝40°.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD．【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADE＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而根据全等三角形的性质得到结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．【证明】(1)因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠ECF.因为E是CD的中点，所以DE＝EC．又因为∠AED＝∠CEF，所以△ADE≌△FCE，所以FC＝AD．(2)因为△ADE≌△FCE，所以AE＝EF，AD＝CF.因为BE⊥AE，所以BE是线段AF的垂直平分线，所以AB＝BF＝BC＋CF.因为AD＝CF，所以AB＝BC＋AD．【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．【例4】如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．【互动探索】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等作图．【解答】如图，连结AB、AC，分别作出AB、AC的垂直平分线，两线的交点P就是供水站的位置．【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了应用作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)线段的垂直平分线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(线段是轴对称图形,,对称轴,线段的垂直平分线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(定义,性质,作法))))练习设计请完成本课时对应练习！第3课时角平分线的性质教学目标一、基本目标1．经历探索角的轴对称性的过程，理解并掌握角平分线的有关性质，并能运用角平分线的性质解决一些实际问题．2．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法．二、重难点目标【教学重点】掌握角平分线的性质，会用尺规作已知角的平分线．【教学难点】角平分线的性质的应用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P125～P126的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长为(D)A．2 B．3C．4 D．64．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AC＝7，DE＝4，则△ADC的面积等于14.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】详细过程见教材P126例2.【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CE，从而可知AE、AC、DE之间的数量关系．【解答】AE＋DE＝AC＝3cm.理由如下：因为∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，所以DE＝CE，所以AC＝AE＋CE＝3cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．活动2巩固练习(学生独学)1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(C)A．OE是∠AOB的平分线B．OC＝ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE＝∠BOE2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是(D)A．9 B．8C．7 D．63．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为点A，交CD于点D．若AD＝8，则点P到BC的距离是4.4．如图，已知BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，S△ABC＝36cm2，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为cm.教师点拨：过点D作DF⊥AB于点F.根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△BCD列方程求解即可．5．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M、N.试说明：PM＝PN.证明：因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD．又因为AB＝BC，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD(SAS)，所以∠ADB＝∠CDB，即DB是∠ADC的平分线．因为PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM＝PN.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？【互动探索】根据角平分线的性质，得货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．【解答】因为中转站要到三条