《圆周角定理》练习题(A)

《圆周角定理》练习题

一.选择题（共16小题）

1.如图，A、B、C三点在上，若/BOC=76。，则/BAC的度数是（）

A.152°B.76°C.38°D.14°

2.如图，。。是AABC的外接圆,ZACO=45°,则/B的度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

A.1B.2C.3D.4

4.如图，在OO中，直径CD垂直于弦AB,若NC=25。，则/BOD的度数是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

5.如图，已知在。。中，点A,B,C均在圆上，/AOB=80。，则/ACB等于（）A.130°

第6题图

6.如图，MN是。O的直径，NPBN=50。，则/MAP等于（）

A.50°B.40°C.30°D.20°

7.如图，CD是。。的直径，A、B是。O上的两点，若/ABD=20。，则/ADC的度数为）

A.40°B.50°C.60°D.70°

8.如图，AB是半圆的直径,点D是AC的中点，NABC=50。，则NDAB等于（

9.如图，AB是。0的直径，C,D为圆上两点，ZAOC=130°,则ND等于（)

A.25°B.30°C.35°D.50°

10.如图，Zl>/2、N3、Z4的大小关系是（)

A.Z4<Z1<Z2<Z3B.Z4<Z1=Z3<Z2

C.Z4<Z1<Z3Z2D.Z4<Z1<Z3=Z2

11.如图，AB是半圆O的直径，NBAC=6（T,D是半圆上任意一点，那么ND的度数是（)

C.60°D.90°

第12题图

12.如图，在。O中，OAJ_BC,ZAOC=50°,则NADB的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.50°

13.在。。中，点A、B在。O上，且NAOB=84。，则弦AB所对的圆周角是（）

A.42°B.84°C,42°或138°D.84°或96°

14.如图所示，在。O中，AB是。O的直径，NACB的角平分线CD交。O于D,则NABD

的度数等于（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

15.已知如图，AB是。O的直径，CD是。O的弦，ZCDB=40°,则NCBA的度数为（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

16.如图，AB是圆的直径，AB±CD,ZBAD=30°,则NAEC的度数等于()

A.30°B.50°C.60°D.70°

二.填空题（共8小题）

17.如图，。。的直径CD经过弦EF的中点G,ZDCF=20°,则NEOD等于

第17题图第18题图第19题图

18.如图，点A、B在OO匕NAOB=100。，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一

点，贝U/C=。.

19.在。0中，弦AB=2cm,ZACB=30°,则。。的直径为cm.

20.如图，。。中弦AB等于半径R,则这条弦所对的圆心角是,圆周角是.

21.如图，等腰AABC的底边BC的长为4cm,以腰AB为直径的。。交BC于点D,交

AC于点E,则DE的长为cm.

22.如图，在"世界杯"足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同

样乙己经助攻冲到B点，丙助攻到C点.有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二

种是甲将球传给乙，由乙射门.第三种是甲将球传给丙，由丙射门.仅从射门角度考虑,

应选择一种射门方式.

三.解答题（共16小题）

25.28.如图，AB是。O的直径，C是。O上的点，AC=6cm,BC=8cm,NACB的平分

线交。O于点D,求AB和BD的长.

26.如图，已知CD是。O的直径，弦ABLCD,垂足为点M,点P是斌t一点，且/

BPC=60°.试判断AABC的形状，并说明你的理由.

A

27、如图，AABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆于点G,连接BG.

求证：HD=GD.

28.已知：如图，AB为。O的直径，AB=AC,BC交。O于点D,AC交。0于点E.Z

BAC=40°

(1)求/EBC的度数;

(2)求证：BD=CD.

29.如图，AABC是。。的内接三角形，NA=30。，BC=3cm.求。O的半径.

B

30.如图，AB是。O的直径，过圆上一点C作CD1.AB于点D,点C是弧AF的中点，连

接AF交CD于点E,连接BC交AF于点G.

(1)求证：AE=CE；.

31.如图，ZXABC中，AB>AC,/BAC的平分线交外接圆于D,DEJ_AB于E,DM1AC

于M.

(1)求证：BE=CM.

(2)求证：AB-AC=2BE.

32.如图，OA是。0的半径，以OA为直径的。C与。0的弦AB相交于点D.求证:AD=BD.

B

D

33.如图，已知：AB是。O的弦，D为。O上一点，DCJ_AB于C,DM平分/CDO.求

证：M是弧AB的中点.

34.如图，^ABC的三个顶点都在。0上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：ZACD=

ZBCE.

35.已知：如图，AE是OO的直径，AFJ_BC于D,证明：BE=CF.

36.已知AB为。。的直径，弦BE=DE,AD,BE的延长线交于点C,求证：AC=AB.

37.如图，AB是圆0的直径，OC_LAB,交。0于点C,D是弧AC上一点，E是AB上

一点，EC1CD,交BD于点F.问：AD与BF相等吗？为什么？

38.如图，AB是。。的直径，AC、DE是。。的两条弦，且DE_LAB,延长AC、DE相交

于点F,求证：ZFCD=ZACE.

39.如图，已知。O是AABC的外接圆，AD是。0的直径，作CE_LAD,垂足为E,CE

的延长线与AB交于F.试分析/ACF与/ABC是否相等，并说明理由.

40.如图，ZXABC内接于。0,AD为AABC的外角平分线，交。O于点D,连接BD,CD,

判断aDBC的形状，并说明理由.

41.如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB,垂足为点E,G是AC上的任意一点，AG、DC

的延长线相交于点F,/FGC与NAGD的大小有什么关系？为什么？

42.如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DELAB垂足为E,AC

分别与DE、DB相交于点F、G,则AF与FG是否相等？为什么？

43.如图，0A是。O的半径，以0A为直径的。C与。。的弦AB交于点D,求证：D是

AB的中点.

44.如图，在AABC中，/ACB=90。，D是AB的中点，以DC为直径的。。交AABC的

边于G,F,E点.

求证：(1)F是BC的中点;

(2)ZA=ZGEF.

45.如图，圆内接四边形ABCD的外角/DCH=/DCA,DPLAC垂足为P,DH_LBH垂足

为H,求证：CH=CP,AP=BH.

《圆周角定理》2222222222

参考答案与试题解析

一.选择题（共16小题）

1.（2012•呼伦贝尔）如图，A、B、C三点在。0匕若/BOC=76。，则NBAC的度数是（）

A.152°B.76°C.38°D.14°

【解答】解：•••筱所对的圆心角是/BOC,圆周角是NBAC,

又：NBOC=76。，

.•.NA=76°xi=38°.

2

故选C.

2.（2015•眉山）如图，。。是aABC的外接圆，ZACO=45°,则NB的度数为（）

C

A.30°B.35°C.40°D.45°

【解答】解：VOA=OC,ZACO=45°,

.•.ZOAC=45°,

ZAOC=180--45°-45°=90°,

3.（2010秋•海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个.

【解答】解：Z1和/3符合圆周角的定义，

/2顶点不在圆周上，

Z4的一边不和圆相交，

故图中圆周角有N1和/3两个.

故选B.

4.（2015•珠海）如图，在。O中，直径CD垂直于弦AB,若NC=25。，则NBOD的度数是

（）

【解答】解：•••在。O中，直径CD垂直于弦AB,

AD=BD.

.•./DOB=2/C=50。.

故选：D.

5.（1997•陕西）如图，已知在OO中，点A,B,C均在圆上，ZAOB=80°,则/ACB等

A.130°B.140°C.145°D.150°

【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA,EB

ZAOB=80°

ZE=iZAOB=40°

2

.\ZACB=1800-ZE=140°.

故选：B.

E

6.如图，MN是。O的直径，/PBN=50。，则/MAP等于（）

【解答】解：连接OP，

可得NMAP=L/MOP,NNBP=L/NOP,

22

VMN为直径，

.•.ZMOP+ZNBP=180°,

.,.ZMAP+ZNBP=90",

VZPBN=50°,

ZMAP=90°-ZPBN=40°.

故选B.

7.（2007•太原）如图，CD是（DO的直径，A、B是。O上的两点，若/ABD=20。，则/ADC

的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：•.•NABD=20。

.,.NC=/ABD=20。

VCD是。O的直径

ZCAD=90°

ZADC=90°-20°=70°.

故选D.

8.（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是正的中点，/ABC=50。，则NDAB等于

【解答】解：连结BD,如图，

,Z点D是正的中点，即弧CD=MAD,

；./ABD=/CBD,

而NABC=50。，

.♦./ABD=LX50°=25°,

2

VAB是半圆的直径，

.\ZADB=90o,

Z.ZDAB=90°-25°=65°.

9.（2009•枣庄）如图，AB是。O的直径，C,D为圆上两点，ZAOC=130°,则/D等于

（）

A.25°B.30°C.35°D.50°

【解答】解：•••NAOC=130。，

，/BOC=50。，

；./D=L/BOC=25°.故选A.

2

10.（2013秋•沙洋县校级月考）如图，/I、N2、/3、N4的大小关系是（)

A.Z4<Z1<Z2<Z3B.Z4<Z1=Z3<Z2C.Z4<Z1<Z3Z2D.Z4<Z1

<Z3=Z2

【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：N1=N3=N5=N6,

根据三角形的外角的性质得：Z5>Z4,Z2>Z6,

.\Z4<Z1=Z3<Z2,

故选B.

11.（2012秋•天津期末）如图，AB是半圆O的直径，ZBAC=60°,D是半圆上任意一点,

那么ND的度数是（）

AOB

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：连接BC,

VAB是半圆的直径

，ZACB=90°

：/BAC=60。，

ZABC=90°-ZBAC=30",

.*.ND=/ABC=30°.

故选A.

OB

12.（2009•塘沽区二模）如图，在。O中，OALBC,ZAOC=50°,则NADB的度数为（）

D

B

A

A.15°B.20°C.25°D.50°

【解答】解：VOA±BC,ZAOC=50°,

，AB二AC，

/ADB=L/AOC=25。.

2

故选c.

13.（2012秋•宜兴市校级期中）在。0中，点A、B在。O上，且/AOB=84。，则弦AB所

对的圆周角是（）

A.42°B.84°C.42°或138°D.84°或96°

【解答】解：如图,"AOB=84。,

/ACB」NAOB」X84°=42°,

22

:.ZADB=180°-ZACB=138°.

...弦AB所对的圆周角是：42°或138°.

故选C.

14.（2011•南岸区一模）如图所示，在。。中，AB是。。的直径，/ACB的角平分线CD

交。。于D,则/ABD的度数等于（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【解答】解：连接AD,

:在。O中，AB是。O的直径，

.".ZADB=90°,

：CD是NACB的角平分线,

AD=BD-

，AD=BD,

/.△ABD是等腰直角三角形,

AZABD=45°.

故选C.

15.（2015秋•合肥校级期末）已知如图，AB是。O的直径，CD是。O的弦，ZCDB=40°,

则NCBA的度数为（）

A.60°B.50°C.40。D.30°

【解答】解：连接AC,

；AB是。O的直径，

.,.ZACB=90",

VZA=ZCDB=40\

/CBA=90°-ZA=50°.

故选B.

16.（2013•万州区校级模拟）如图，AB是圆的直径，AB_LCD,ZBAD=30°,则NAEC的

度数等于（）

B

A.30°B.50°C.60°D.70°

【解答】解：：NBAD=30。，

BD=60°,

：AB是圆的直径，ABXCD,

•*-BC=BD=60",

AAC=180°-60°=120°,

/AEC=1■益Lx120°=60°.

22

故选c.

二.填空题（共8小题）

17.（2016•大冶市模拟）如图，。。的直径CD经过弦EF的中点G,NDCF=20。，则/EOD

等于40。.

【解答】解：的直径CD过弦EF的中点G,ZDCF=20°,

...弧DF=MDE,且弧的度数是40。，

ZDOE=40°,

答案为40°.

18.（2015•历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，/ABC=50。，则

•.•点D是立的中点，即弧CD=MAD,

；./ABD=/CBD,

而NABC=50°,

...NABD=LX50°=25°,

2

VAB是半圆的直径，

AZADB=90",

ZDAB=90°-25°=65°.

故答案为650.

19.（2013秋•滨湖区校级期末）如图，点A、B在。。上，/AOB=1（X）。，点C是劣弧AB

上不与A、B重合的任意一点，则/C=130。.

【解答】解：在优弧AB上取点D,连结AD、BD,如图,

/D=L/AOB=LX100。=50。，

22

,/ZD+ZC=180o,

.,.ZC=180°-50°=130°.

故答案为130.

20.（2008秋•苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点.有两种

射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑,

应选择第二种种射门方式较为合理.

【解答】解：连接OC.

根据圆周角定理，得NPCQ=/B,

根据三角形的外角的性质，得/PCQANA,

则/B>NA.

故答案为第二种.

21.（2015•黄岛区校级模拟）在。0中，弦AB=2cm,ZACB=30°,则。O的直径为4cm.

【解答】解：连接OA,OB,

NACB=30°,

ZAOB=60",

.".△AOB是等边三角形，

OA=OB=AB=2cm,

00的直径=4cm.

22.（2014春•海盐县校级期末）如图，。。中弦AB等于半径R,则这条弦所对的圆心角是

【解答】解：连结OA、OB,NAPB和NAP'B为弦AB所对的圆周角，如图,

•.•弦AB等于半径R,

.\AOAB为等边三角形，

，ZAOB=60°,

，NAPB」NAOB=30。，

2

.\ZAP,B=180°-ZAPB=150°,

即这条弦所对的圆心角是60。，圆周角是30。或150°.

故答案为60。；是30。或150。.

23.（2012•义乌市模拟）如图，等腰4ABC的底边BC的长为4cm,以腰AB为直径的。O

交BC于点D,交AC于点E,则DE的长为2cm.

解：连接AD,

,/ZDEC为圆内接四边形ABDE的外角，

.\ZDEC=ZB,

又等腰△ABC,BC为底边，

；.AB=AC,

ZDEC=ZC,

；.DE=DC,

VAB为圆O的直径，

AZADB=90",即ADJ_BC,

，BD=CD」BC,又BC=4cm,

2

DE=2cm.

故答案为：2

24.（2012秋•哈密地区校级月考）如图，在"世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进

攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点.有三种射门方式：

第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.第三种是甲将球传给丙，由丙射

门.仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式.

【解答】解：设AP与圆的交点是C,连接CQ；

则/PCQ>NA；

由圆周角定理知：NPCQ=NB；

所以/B>/A；

因此选择第二种射门方式更好.

故答案为：第二.

三.解答题（共16小题）

25.（2009♦沈阳模拟）如图，Z\ABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆

于点G,连接BG.

求证：HD=GD.

【解答】证明：VZC=ZG,aABC的高AD、BE,

.".ZC+ZDAC=90°,ZAHE+ZDAC=90%

，ZC=ZAHE,

NAHE=/BHG=NC,

，ZG=ZBHG,

；.BH=BG,

又：AD_LBC,

.\HD=DG.

26.（2013秋•虞城县校级期末）如图，已知CD是。O的直径，弦AB_LCD,垂足为点M,

点P是窟上一点，且NBPC=60。.试判断aABC的形状，并说明你的理由.

【解答】解：AABC为等边三角形.理由如下:

VAB±CD,CD为。O的直径，

...弧AC=MBC,

；.AC=BC,

又•.,/BPC=/A=60。，

/.△ABC为等边三角形.

27.（2013秋•耒阳市校级期末）已知：如图，AB为。O的直径，AB=AC,BC交。O于点

D,AC交。O于点E.ZBAC=40°

（1）求NEBC的度数；

（2）求证：BD=CD.

.\ZABC=ZC,

,/ZBAC=40°,

ZC=1.(180°-40°)=70。,

2

VAB为。O的直径，

，ZAEB=90°,

ZEBC=90°-NC=20。；

证明：连结AD,如图，

VAB为。O的直径，

AZADB=90",

；.ADJ_BC,

而AB=AC,

；.BD=DC.

28.（2014秋•高密市期中）如图，AB是。O的直径，C是。O上的点，AC=6cm,BC=8cm,

NACB的平分线交。。于点D,求AB和BD的长.

VAB是。O的直径,

.ZACB=90°,ZADB=90°.

,AB=VAC2+BC2=V62+82=1°(CM)-

"AC=6cm,BC=8cm,

,CD是NACB的平分线,

.NACD=/BCD,则AD=BD，

AD=BD,

.,.BD=2Z1AB=5亚m.

2_

综上所述，AB和BD的长分别是10cm,5亚m.

29.（2013秋•宜兴市校级期中）如图，4ABC是。O的内接三角形，NA=30。，BC=3cm.求

OO的半径.

【解答】解：作直径CD,连结BD,如图,

VCD为直径，

ZCBD=90°,

：ND=NA=30°,

，CD=2BC=2X3=6,

.,.OO的半径为3cm.

30.（2010秋•瑞安市校级月考）如图，AB是。O的直径，过圆上一点C作CDLAB于点

D,点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E,连接BC交AF于点G.

(1)求证：AE=CE；

(2)已知AG=10,ED：AD=3：4,求AC的长.

【解答】(1)证明：・・,点C是弧AF的中点,

AZB=ZCAE,

・・・AB是。0的直径，

AZACB=90°,

UPZACE+ZBCD=90°,

VCD1AB,

•••NB+NBCD=90。，

AZB=ZCAE=ZACE,

JAE=CE…(6分)

(2)解:VZACB=90°,

・•・NCAE+NCGA=90。，

又.・・NACE+NBCD=90°,

.\ZCGA=ZBCD,

VAG=10,

/.CE=EG=AE=5,

VED：AD=3：4,

AADM,DE=3,

AC=VAD2+CD2=742+82=力…(10分"

31.(2015秋•扬中市期中)如图，AABC中，AB>AC,NBAC的平分线交外接圆于D,

DE_LAB于E,DM_LAC于M.

(1)求证：BE=CM.

(2)求证：AB-AC=2BE.

【解答】证明：(1)连接BD,DC,

VAD平分NBAC,

/.ZBAD=ZCAD,

・••弧BD二弧CD,

ABD=CD,

VZBAD=ZCAD,DE±AB,DM±AC,

VZM=ZDEB=90°,DE=DM,

在RtADEB和RtADMC中,

[BD=DC,

lDE=DM，

ARtADEB^RtADMC(HL),

・・・BE二CM.

(2)VDE±AB,DM1AC,

ZM=ZDEA=90°,

在RtADEA和RtADMA中

[AD二AD

lDE=DM

.'.RtADEA^RtADMA(HL),

JAE二AM,

AAB-AC,

=AE+BE-AC,

=AM+BE-AC,

=AC+CM+BE-AC,

二BE+CM,

=2BE.

32.（2013•宁夏模拟）如图，OA是。。的半径，以OA为直径的。C与。0的弦AB相交于

点D.求证：AD=BD.

B

D

【解答】证明：连结0D,如图,

VOA为。C的直径，

・•・ZADO=90°,

AOD1AB,

AAD=BD.

33.（2011秋•宁波期中）如图，已知：AB是。O的弦，D为。O上一点，DCLAB于C,

DM平分NCDO.求证：M是弧AB的中点.

VOD=OM,

AZODM=ZOMD,

VDM平分NODC,

AZODM=ZCDM,

AZCDM=ZOMD,

・・・CD〃OM,

VCD±AB,

AOM1AB,

・•・®AM二引RBM,

即点M为劣弧AB的中点.

34.（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，^ABC的三个顶点都在。O上,CD是高，D是垂

JNEAO90。，

・•・ZACE=90°-ZAEC,

〈CD是高，D是垂足，

/.ZBCD=90°-ZB,

VZB=ZAEC（同弧所对的圆周角相等）,

/.ZACE=ZBCD,

・•・NACE+NECD=/BCD+NECD,

AZACD=ZBCE.

35.已知：如图，AE是。O的直径，AFJ_BC于D,证明：BE=CF.

【解答】证明：YAE是。O的直径,

ZABE=90°,

/.ZE+ZBAE=90°,

VAF±BC于D,

.'.ZFAC+ZACB=90°,

VZE=ZACB,

AZBAE=ZFAC,

・,•弧BE=MCF,

ABE=CF.

36.（2015秋•哈尔滨校级期中）已知AB为。O的直径，弦BE二DE,AD,BE的延长线交

于点C,求证：AC=AB.

【解答】证明：连接AE,

〈AB为。。的直径，

JZAEB=90°,

AZAEB=ZAEC=90°,

二弦BE=DE,

•••DE=BE，

.'.ZDAE=ZBAE,

・・•ZC=90°-ZDAE,ZB=90°-ZBAE,

AZB=ZC,

.\AC=AB.

37.如图，AB是圆。的直径，OCJ_AB,交。O于点C,D是弧AC上一点，E是AB上

一点，EC±CD,交BD于点F.问：AD与BF相等吗？为什么？

c

【解答】解：AD和BF相等.理由：如图,

C

连接AC、BC,

V0C1AB,

，ZBOC=90°

AZBDC=ZBAC=45°

VEC1CD,

/.ZDCE=ZACB=90°,

AADCF^AACB都是等腰直角三角形，

/.DC=FC,AC=BC,

ZDCA+ZACF=ZBCF+ZACF=90°,

.".ZDCA=ZFCB

在aACD和4BCF中，

AC=BC

｛，ZACD=ZFCB-e-△ACD^ABCF

CD=CF

・・・DA=BF.

38.如图，AB是。O的直径，AC、DE是。O的两条弦，且DELAB,延长AC、DE相交

于点F,求证：ZFCD=ZACE.

【解答】证明：连接AD,AE,

〈AB是直径.ABIDE,

JAB平分DE,弧ACE二弧AD,

AZACD=ZADE,

,:A、C、E、D四点共圆,

，ZFCE=ZADE,

；./FCE=NACD,

/FCE+/DCE=/DAC+NECD,

.\ZFCD=ZACE.

39.如图，已知。O是AABC的外接圆，AD是。O的直径，作CEJ_AD,垂足为E,CE

的延长线与AB交于F.试分析NACF与/ABC是否相等，并说明理由.

延长CE交。O于M,

：AD是。O的直径，作CELAD,

.•.弧AC=MAM,

.\ZACF=ZABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）.

40.如图，ZXABC内接于。0,AD为aABC的外角平分线，交。O于点D,连接BD,CD,

判断ADBC的形状，并说明理由.

【解答】解：ADBC为等腰三角形.理由如下:

VAD为4ABC的外角平分线，

/EAD=NDAC,

VZEAD=ZDCB,ZDBC=ZDAC,

；./DBC=NDCB,

...△DBC为等腰三角形.

解答题（共6小题）

1.如图，AB是OO的直径，弦CDLAB,垂足为点E,G是众上的任意一点，AG、DC

的延长线相交于点F,/FGC与NAGD的大小有什么关系？为什么？

B

【解答】解：NFGC与NAGD相等.理山如下:

连接AD,如图，

VCD±AB,

AD=AC«

，NAGD=/ADC,

VZFGC=ZADC,

/FGC=NAGD

2.如图，AB是圆。的直径，C是圆0上一点，D是弧AC中点，DELAB垂足为E,AC

分别与DE、DB相交于点F、G,则AF与FG是否相等？为什么？

D

【解答】解：AF=FG,

理由是：连接AD,

•；AB是直径，DE_LAB,

.•.NADB=NDEB=90°,

ZAD