高中数学-【课堂实录】数列的概念和简单表示法教学设计学情分析教材分析课后反思

第2页共4页PAGE教学设计一、教材与教学分析1．数列在教材中的地位根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。2．教学任务分析(1)了解数列的概念新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．3．教学重点与难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系二、教学方法小组合作、探究学习模式通过对问题情境的分析讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数学归纳法。三、学习过程设计【问题情境】1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；3．童谣：一只青蛙，一张嘴，两只眼睛，四条腿；两只青蛙，两张嘴，四只眼睛，八条腿；三只青蛙，三张嘴，六只眼睛，十二条腿；4.三角形数，正方形数教师：以上四个问题中的数蕴涵着哪四列数呢？学生：1：2一列数：3：青蛙嘴眼睛腿112422483361244816…………4：三角形数1,3,6,10….5：正方形:1,4,9,16……设计说明：利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又可以使学生认识到“数学来自于生活”活动一：数列的概念探究教师：以上几列数的共同特点是什么？引导学生思考这四列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出数列概念。学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…教师引导归纳出：数列的定义；数列的项；数列的一般形式简记为（板书）活动二：数列和集合的关系教师：经过两个例子，对数列的概念进行辨析，同学们能否说说数列中的项和集合中的元素有何区别呢？学生思考并作答。集合和数列的区别是：第一，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。第二，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。例如，数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是两个不同的数列。可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。活动三：数列的分类根据数列的项，以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类？教师引导学生分析本节课所举的数列的特点，按一定的分类标准给出数列的分类：按项数，可分为有穷数列和无穷数列；按项之间的大小关系（单调性）可分为，递增数列，递减数列，常数列，以及摆动数列。（板书）【拓展延伸】数列与函数的关系教师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，每一项与这一项的序号有这样的对应关系：项246810↓↓↓↓↓序号12345教师：看来，这个数的每一项与这一项的序号可用一个公式=2n：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项学生：结合上述其他例子，练习找其对应关系通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。教师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。【应用提升】1．根据下面数列的通项公式，写出前5项。例１．已知数列的通项公式，写出它的前5项.2．例2写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：教师：怎样写出已知数列的通项公式？基本思路是什么？引导学生归纳以下思路：根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式应注意分析数列的项和项数的关系，研究这几项的表示式中哪些是变化的，哪些是不变的，探索各项中变化部分与项数之间关系，从而归纳出项与项数的关系，写出通项公式.【课堂小结】教师：本节课学习了那些知识？这些知识的研究途径是什么？数列的有关概念数列的分类数列函数性定义数列的通项公式（投影）教师：小结概括了这节课的主要内容,使学生对这节课有个全面认识。【任务后延】教师：可以有数列的通项公式写出数列的项？是不是每一个数列都有通项公式？有的话是不是唯一的？作业：习题2.1(课本33页）第2，3题思考题：①为什么课本练习4中要求写出数列的“一个”通项公式？②你能写出前四项为1，1，1，1的数列的两个通项公式吗？③你认为所有的数列都有通项公式吗？四、教学评价与反思本节课教学通过丰富的实例展开的，国际象棋的传说、古语、童谣等例子不仅可以使学生体会数列与现实世界的联系，也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到数列离自己很近，数列有用。本节课的教学设计体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数列问题与生活实际联系起来,展示了一个完整的数学探究过程。比如在探究数列和函数的关系过程中，引导学生以小组合作的方式探究数列的每一项与这一项的序号的对应关系，并用一个公式表示。这样通过提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学中采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，从而使学生逐步改进学习方式，在合作中相互配合，更好地实现学习任务。这节课基本上达到教学的预想目的,由于小组合作学习对教师驾驭课堂的能力要求很高，这在今后的教学中还有待于进一步的提高，在生生互动过程中，讨论还不够热烈。在调动学生的积极性和主动性还要继续下功夫。通过这节课，使我更深刻的认识到应加强自身的学习，不断反思，不断改进，超越自我，不断创新出新的更好的课堂教学模式。学情分析本节学习的主要内容是数列的概念和简单表示法，数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。本章强调用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，在通过实际问题引入数列概念后，使学生体会数列的函数背景，感受数列是研究问题情境的数学模型。学生已经学习了映射、函数概念并且具备一定的抽象、概括能力，由于我们班是普通中学的普通班，学生的基础比较差，本节课是学习数列的起始课，在学习中可能会遇到下列障碍：1．对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊．2．对数列与函数的关系认识不清．数列为什么是函数，是特殊函数，特殊在什么地方的问题会是难点.3．对数列的表示，特别是通项公式an＝f(n)感到困惑．4．由数列的前几项写不出数列的通项公式．效果分析作为数列的起始课，教师从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造了数列教与学的良好开端。教学方法采用小组合作、探究学习模式，通过对问题情境的分析、讨论的方式，运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法，引导学生探究数列的方法，达到了把生活实际与数学有机地联系到一起，符合人们的认识规律，让学生体会到数学就在我们身边，感受数列模型的广泛应用，激发了学习的欲望。这节课基本上达到教学的预想目的,由于小组合作学习对教师驾驭课堂的能力要求很高，这在今后的教学中还有待于进一步的提高，在生生互动过程中，讨论还不够热烈。在调动学生的积极性和主动性还要继续下功夫。通过这节课，使我更深刻的认识到应加强自身的学习，不断反思，不断改进，超越自我，不断创新出新的更好的课堂教学模式。教材分析《数列的概念与简单表示法》是普通高中新《课标》数学必修5人民教育出版社A版第二章第一节第一课时的内容，是本章的开启课。1、数列是高中数学的重要内容之一，它的地位和作用可用从以下几点来看:首先数列问题在日常生活中有着广泛的实际应用，如存款利息、购房贷款等，使学生感受到数列研究的现实意义，以激发学生的学习兴趣。其次数列又起着承上启下的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，同时与前面学习的映射、函数等知识有着密切的联系；另一方面，学习数列的概念又为进一步学习等差数列、等比数列等内容作好了准备。最后通过数列概念的引入以及数列应用的过程，培养了学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作判断的能力，同时，借助函数的背景和方法来研究数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的关联，培养学生用已知去研究未知的能力。2、教学目标及确立的依据新课程理念强调，关注学生的合作交流能力的培养，关注学生探究问题的习惯和意识的培养，同时为了充分保障学生的主体地位，反映教法与学法的结合，体现新教材新理念，根据教学大纲的要求和学生学情的分析，我特制定了如下的教学目标：（1）知识与技能：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列是一种特殊的函数；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式。（2）过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．在解决问题的过程中，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力和实践能力。（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。同时增强爱国情感、环保意识，激发学生为国富民强而勤奋学习的精神。通过小组讨论，培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。3、教学重点、难点及确立的依据由前几项抽象、归纳出数列的通项公式，学生需要有很好的观察能力和抽象概括能力，同时这是学生接触数列的第一节课，因此学生在理解上会有一定的困难。函数概念是高中阶段学生感觉比较抽象的概念之一，本节课要求学生用函数去认识数列就显得比较困难，同时用函数的观点去研究数列的性质又是很重要的一种思想方法，为此，我确定了如下的重点、难点：教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法（通项公式、列表法、图象法）教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式；认识数列是一种特殊的函数4本节课的教学约需2课时，用1课时研究数列的概念及分类，明确数列和函数之间的关系，用1课时研究有关数列的简单表示法。包括讲评课和习题课方式进行。评测练习一、选择题1．已知数列{an}中，an＝n2＋n，则a3等于()A．3 B．9C．12 D．202．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)3．下列说法不正确的是()A．根据通项公式可以求出数列的任何一项B．任何数列都有通项公式C．一个数列可能有几个不同形式的通项公式D．有些数列可能不存在最大项4．数列eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，eq\f(8,9)，…的第10项是()A.eq\f(16,17) B.eq\f(18,19)C.eq\f(20,21) D.eq\f(22,23)5．已知非零数列{an}满足an＝eq\f(n,n－1)·an－1(n＞1)，则a4＝()A．3a1 B．2a1C．4a1 D．16．(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝eq\f(1,2)an，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列二、填空题7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为__________．8．已知数列{an}满足a1＝2，a2＝5，a3＝23，且an＋1＝αan＋β，则α、β的值分别为________、________.9．已知{an}满足an＝eq\f(－1n,an－1)＋1(n≥2)，a7＝eq\f(4,7)，则a5＝________.三、解答题10．写出数列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，…的一个通项公式，并判断它的增减性．11．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2011；(3)2011是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？12．数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.(1)问—60是否是{an}中的一项？(2)当n分别取何值时，an＝0，an＞0，an＜0?试题命制双向细目表题型题号分值考查内容难度简单中等较难选择题15分数列通项公式的应用▲25分数列分类知识的考察▲35分数列通项公式概念的辨析应用▲45分观察归纳通项公式的应用▲55分数列递推的简单应用▲65分数列分类的应用▲填空题75分函数不等式思想在数列中的应用▲85分方程思想在数列中的应用▲95分数列递推的简单应用▲解答题105分观察规律归纳通项公式及数列增减性的考察▲115分函数思想在数列中的应用▲1215分方程思想和不等式思想在数列中的应用▲答案1.C2.解析：选C.对于A，an＝eq\f(1,n)，n∈N*，它是无穷递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－(eq\f(1,2))n－1，它是无穷递增数列．3.解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，…4.解析：选C.由题意知数列的通项公式是an＝eq\f(2n,2n＋1)，∴a10＝eq\f(2×10,2×10＋1)＝eq\f(20,21).故选C.5.解析：选C.依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2a1；当n＝3时，a3＝eq\f(3,2)a2＝3a1；当n＝4时，a4＝eq\f(4,3)a3＝4a1.6.解析：选B.由a1>0，且an＋1＝eq\f(1,2)an，则an>0.又eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)<1，∴an＋1<an.因此数列{an}为递减数列．7.解析：由an＝19－2n>0，得n<eq\f(19,2)，∵n∈N*，∴n≤9.答案：98.解析：由题意an＋1＝αan＋β，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝αa1＋β,a3＝αa2＋β))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝2α＋β,23＝5α＋β))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝6，,β＝－7.))答案：6－79．解析：a7＝eq\f(－1,a6)＋1，a6＝eq\f(1,a5)＋1，∴a5＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)10.解：数列的一个通项公式an＝eq\f(n,2n－1).又∵an＋1－an＝eq\f(n＋1,2n＋1)－eq\f(n,2n－1)＝eq\f(－1,2n＋12n－1)＜0，∴an＋1＜an.∴{an}是递减数列．11.解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝3，,17k＋b＝67，))解得k＝4，b＝－1.∴an＝4n－1.(2)a2011＝4×2011－1＝8043.(3)令2011＝4n－1，解得n＝503∈N*，∴2011是数列{an}的第503项．12.解：(1)假设－60是{an}中的一项，则－60＝30＋n－n2.解得n＝10或n＝－9(舍去)．∴－60是{an}的第10项．(2)分别令30＋n－n2＝0；＞0；＜0，解得n＝6；0＜n＜6；n＞6，即n＝6时，an＝0；0＜n＜6时，an＞0；n＞6时，an＜0.课后反思本节课教学通过丰富的实例展开的，国际象棋的传说、古语、童谣等例子不仅可以使学生体会数列与现实世界的联系，也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到数列离自己很近，数列有用。本节课的教学设计体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数列问题与生活实际联系起来,展示了一个完整的数学探究过程。比如在探究数列和函数的关系过程中，引导学生以小组合作的方