函数的应用(二)-课件

精品课件高中数学必修1第四章指数函数与对数函数新人教版

函数的应用（二）特级教师优秀课件精选教学目标了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系；掌握函数零点存在性定理；能够根据具体函数图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解；

能利用已知函数模型解决实际问题．教学重点教学难点求函数的零点；用函数零点的存在性定理判断零点的个数；

会用二分法求方程的近似解．会判断函数零点所在的区间．

我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……

11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.

13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法

你会求什么

方程的根呢？今天我们来学习方程的根与函数的零点！探究：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次函数的图象，观察二者有何联系？（1）方程x²-2x-3=0与函数y=x²-2x-3（2）方程x²-2x+1=0与函数y=x²-2x+1（3）方程x²-2x+3=0与函数y=x²-2x+3你知道方程对应的函数是怎么找的吗？课堂探究方程函数函数的图象方程的实数根函数的图象与x轴的交点x²-2x-3=0x²-2x+1=0x²-2x+3=0y=x²-2x-3

y=x²-2x+1

y=x²-2x+3

(-1,0)、(3,0）(1,0)无交点判别式Δ=b²-4ac

方程ax²+bx+c=0(a＞0)的根没有实数根Δ＞0Δ=0Δ＜0函数y=ax²+bx+c(a＞0)的图象函数的图象与x轴的交点没有交点一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.一般结论对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.零点指的是一个实数，不是一个点函数零点的定义：

结论

现在知道如何求没有公式的方程的根了吗？拓展练习拓展练习可知使y<0成立的x的取值范围是区间(1,4).拓展练习[点评]：在求使y<0(或y>0)的x的取值范围时，常根据零点的性质画出示意图，在数轴.上标出零点，画曲线时，奇数(乘方次数为奇数，即变号零点)偶不过(乘方次数为偶数，即不变号零点)直接据图示写出x的取值范围.这种方法通常称作“标根法”(或“穿根法”).拓展练习拓展练习拓展练习探究：对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如何确定零点呢？观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（填“＜”或“＞”）思考：观察图象填空①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零点；②在区间(b,c)上,f(b)·f(c)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)___0(填“＜”或“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)零点；函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.1.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.解：方法一：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象；由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．方法二：即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.拓展练习估算f(x)在各整数处的取值的正负：拓展练习可根据图象确定大体区间拓展练习4.判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）拓展练习（1）【解析】如图,函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的.【答案】×拓展练习（2）【解析】如图,可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确.【答案】×拓展练习（2）【解析】如图,虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点故论断不正确.【答案】×1.图(1)(2)(3)分别为函数y=f(x)在三个不同范围的图象.能否仅根据其中一个图象，得出函数y=f(x)在某个区间只有一个零点的判断?为什么?解∶不能，如仅依据图(1)易得出f(x)在(-200,200)内仅有一个零点的错误结论，要证明函数在某区间上只有一个零点，除证明该函数在区间端点的函数值异号外，还需证明该函数在该区间上是单调的.2.利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间∶看生活中的问题模拟实验室16枚金币中有一枚略轻,是假币

模拟实验室模拟实验室我在这里模拟实验室模拟实验室我在这里模拟实验室我在这里模拟实验室通过这个小实验，你能想到什么样的方法缩小零点所在的范围呢？哦，找到了啊！

1.求方程lnx＝-2x＋6的近似解(精确度为0.01)。解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐标就是方程lnx＝-2x＋6的解，由图象可以发现，方程有惟一解，记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。设函数f(x)＝lnx+2x-6,用计算器计算得：所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。二分法概念

对于在区间

上

且

的函数

,通过不断地把函数

的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).连续不断用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：口诀定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办?

精确度上来判断.1.借助信息技术，用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）f(1)•f(2)<0f(1)•f(1.5)<0f(1.25)•f(1.5)<0|1.375-1.4375|=0.0625＜0.11.借助信息技术，用二分法求函数f(x)=x³＋1.1x²＋0.9x-1.4在区间(0,1)内零点的近似值(精确度为0.1).1.借助信息技术，用二分法求函数x=3-lgx在区间(2,3)内零点的近似值(精确度为0.1).小结用二分法求方程的近似解寻找解所在的区间不断二分解所在的区间根据精确度得出近似解算法思想二分法数形结合逼近思想转化思想1.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的?解∶设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0＜p＜1),经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型∶因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的.拓展练习1.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元-一个销售时，每天可卖出100个.现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值.类型一

二次函数模型拓展练习解:设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元.每天销售总额为(10+x)(100-10x)元，进货总额=8(100-10x)元，显然100-10x>0，即x<10,则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)²+360(0≤x＜10，x∈N).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元答:当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.方法归纳2.为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这-日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入=一日出租自行车的总收入-管理费用).(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多?拓展练习类型二

分段函数模型拓展练习拓展练习(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键.(2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值.分类讨论思想是本类问题的主要思想方法.方法归纳拓展练习类型三

指数、对数函数模型3.目前某县有100万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题:(1)写出y关于x的函数解析式;(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).

拓展练习拓展练习方法归纳1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%

1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍?（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿;而2004年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法?答案：(1)1881年世界人口是1650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍

(2)此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况。

2.在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年?答案：23年

3.1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的?答案：公元前1892年

1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下∶方案一∶每天回报40元;方案二∶第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三∶第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案?建立函数模型解决问题答案：方案三

建立函数模型解决问题答案：乙

2.由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加.2008～2018年的11年，上市的肉鸡数量如下∶同期该地的人口数如下∶（1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;（2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求?

（3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议?1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是

（填写上所有符合条件