2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省南京市六校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知向量a=(2m,1)，b=A.−1 B.1 C.−142.已知复数z满足(1+i)z=A.−1 B.1 C.223.甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为4：3：3：2，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n的值是(

)A.200 B.240 C.260 D.2804.塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=30°，∠BDC=45A.10(3+3) B.105.从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为(

)A.13 B.316 C.5166.已知圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是(

)A.73π24 B.3π7.已知cos(α+β)=23A.−23 B.−13 C.8.在平行四边形ABCD中，∠BAD=πA.−10 B.−13 C.4−二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知复数z1，z2，则下列说法正确的是(

)A.若z12+1=0，则z1=±i B.|z110.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则下列结论正确的是(

)A.A与B互斥 B.A与C互斥 C.B与C独立 D.B与D对立11.已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是A.若A<B，则sinA<sinB

B.若a=2，B=π3，且该三角形有两解，则12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，Q分别是A.若λ=12，则B1D1/​/平面MPN

B.若λ=1，则AC1/​/

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知α∈(0,π2)，c14.已知某3个数据的平均数为2，方差为2，现加入数字2构成一组新的数据，这组新的数据的方差为______．15.在解析几何中，设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)为直线l上的两个不同的点，则我们把P1P2及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把直线l垂直的向量称为直线l的法向量，常用n表示，此时P1P2⋅n=0.16.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是62，62，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(18.(本小题12.0分)

已知α∈(0,(π2))，β∈(0,(π2)19.(本小题12.0分)

已知△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，点D在边BC上且满足CD=2BD．

(120.(本小题12.0分)

我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是34，12，13，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C．

(1)求P(A)、P21.(本小题12.0分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+3asinC=b22.(本小题12.0分)

如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为217，所有侧棱与底面边长均为2，D是边

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵a=(2m,1)，b=(1,2)，若a/​/b2.【答案】C

【解析】解：∵z(1+i)=|1+i|=1+1=3.【答案】B

【解析】解：采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本，

则n×44+3+3+2−n×4.【答案】D

【解析】解：设AB=h，则BC=htan60∘=h3，

因为∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=20米，

所以在△BCD5.【答案】A

【解析】解：从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其基本事件总数为A42=12种，

其各位数字之和等于5包含的两位数有：14，23，32，41，共4个，

则其各位数字之和等于5的概率为P=412=136.【答案】A

【解析】解：根据题意，设圆锥的高为h，半径为r，母线长为l，

若其侧面展开图是面积为2π的半圆，则有πrl=2πlπ=2πr，

解可得：r=1，l=2，

则该圆锥的高h=4−1=3，

故该圆锥的体积V=πr2h3=3π3，

过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为1：7.【答案】C

【解析】解：因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=238.【答案】B

【解析】解：设AB=x，AD=y，又BD=4，则有16=x2+y2−xy≥xy(当且仅当x=y时取等号)，

∴AB⋅AD=xy2，|AC|=(AB+AD)2=9.【答案】AB【解析】解：设z1=a+bi(a,b∈R)，z2=c+di(c,d∈R)，

选项A，∵z12=−1，∴z1=±i，A正确；

选项B，∵z1z2=(a+bi)(c+di)=ac−bd+(ad+bc)i，

∴|z1z2|10.【答案】BC【解析】解：对于选项A，事件A与事件B都包含事件(1,2)，所以不互斥，错误；

对于选项B，很明显事件A与事件C互斥，正确；

对于选项C，事件B的发生与事件C的发生没有关系，所以互不影响，相互独立，正确；

对于选项D，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，很明显不是对立事件，错误．

故选：BC．11.【答案】AB【解析】解：选项A，若A<B，则a<b，

由正弦定理知，asinA=bsinB，所以sinA<sinB，即选项A正确；

选项B，因为该三角形有两解，所以asinB<b<a，即2sinπ3<b<2，

所以3<b<2，即选项B正确；

选项C，由tanAa2=tanBb2知，b2⋅sinAcosA=a2⋅sinBcosB，

由正弦定理得，sin2BsinAcosB=sin2AsinBco12.【答案】AC【解析】解：对于A，连接B1D1，BD，在正方体中，可知B1D1/​/BD，

当λ=12时，P是AB的中点，则MP/​/BD，所以MP//B1D1，由于MP⊂平面MNP，B1D1⊄平面MNP，所以B1D1/​/平面MPN，故A正确；

对于B，当λ=1时，P与点B重合，连接BM交AC于点O，连接NO，

若AC1/​/平面MPN，则AC1⊂平面ACC1，且平面ACC1∩平面MNP=NO，则AC1//NO，

由于N是CC1的中点，则O为AC中点，这显然不符合要求，故B错误；

对于C，若AC1⊥平面MPQ，则AC1⊥MP，由于MP⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，又BD⊥AC，BD⊥CC1，

AC∩CC1=C，AC，CC113.【答案】3【解析】解：因为α∈(0,π2)，

所以0<α2<π4，

因为co14.【答案】32【解析】解：不妨设三个数据为x1，x2，x3，

则x1+x2+x3=3×2=6，

13[(x1−2)15.【答案】275【解析】解：由题意，P1P2=(−3,4)，与P1P2垂直的向量n可取为(4,−3)，

即直线l的一个法向量n=(4,−3)，又16.【答案】77π【解析】解：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是62，62，1，

如图所示：

即S△AOB=S△AOC=62，S△BOC=1，

故AO，BO，CO两两垂直；

所以BO=CO，

故12⋅CO⋅BO=1，整理得CO=BO=2，

所以12⋅AO⋅BO=62，解得AO=3，17.【答案】解：(1)根据频率分布直方图中所有频率和为1，

设(400,500]的频率为x，

由题意得(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034)×100+x=1，解得x=0.03，

∴样本中停车时长在区间(400,600]上的频率为0.05，

估计该天停车时长在区间(400,600]上的车辆数是50；【解析】(1)根据题意设(400,500]的频率为x，由题意得(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034)×100+x=1，解得x=18.【答案】解法一：(1)由题意cosα=255,sinα=55,cosβ=210,sinβ=7210

则tanα=12,tanβ=7，

所以tan(α【解析】解法一：(1)结合同角基本关系先求出tanα=12,tanβ=7，然后由两角和的正切公式可求；

(2)由α，β为锐角先求出2α+β的范围，然后再由两角和的正切公式求出tan(2α+β)，即可求解；

解法二：(1)结合同角基本关系先求出19.【答案】解：(1)∵点D在边BC上，且CD=2BD，

∴CD=2DB，∴AD−AC=2(AB−AD)，

∴AD【解析】(1)根据条件得出CD=2DB，然后即可得出AD=23AB+13AC，然后根据20.【答案】解：(1)记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2，

记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C．

P(A)=P(A1+A1−A2)=P【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解；

(2)21.【答案】解：(1)由正弦定理可得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

所以sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+cosAs【解析】(1)根据已知条件利用正弦定理及和角公式可得3sinA=cosA+1，再结合A的范围，即可得到A；22.【答案】解：(1)证明：如图，连接B1C与BC1交于点O，连DO，

在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，

四边形BCC1B1是菱形，

则O是B1C的中点，又D是AC中点，

即OD为△AB1C的中位线，

所以AB1//DO，

又AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC