2022-2023学年内蒙古通辽市科中旗重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年内蒙古通辽市科中旗重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数z=3−i，则zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如果|a|=2，|b|=3A.24 B.26 C.−243.如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(

)A.a=b B.a⋅b=14.已知复数z满足|z|+z=A.3+4i B.3−4i5.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若(3A.32 B.12 C.6.在四边形ABCD中，AB//CA.±12 B.±23 C.7.正四面体A−BCD的棱长为2A.34 B.14 C.188.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(

)A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C.若a//b，则a，b与c所成的角相等

D.若a⊥b，二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中正确的是(

)A.若m⊥α，n//α，则m⊥n B.若m⊥α，n⊥α，则m//n

C.10.设复数z=i(1A.z的虚部为32 B.z−=−1211.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN//平面ABA. B.

C. D.12.已知点A(1,2)，B(A.x=3时AB与a方向相同 B.x=2−2，时AB与a方向相同

C.x=3时A三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，A=π4，b=214.计算−4÷2(cos15.棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是______．16.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知非零向量e1和e2不共线．

(1)若AB=e1+e2，BC=2e1+8e218.(本小题12.0分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinB=3bcosA．

(1)求A；

(2)若c=3，△ABC的面积为33219.(本小题12.0分)

已知复数z=3+bi(b=R)，且(1+3i)⋅z20.(本小题12.0分)

如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，FA⊥底面ABCD，DE//A21.(本小题12.0分)

已知正四棱锥P−ABCD的侧棱长为6和底面边长为2．

(1)求正四棱锥P−ABCD的体积和表面积；

(2)若点E，F22.(本小题12.0分)

如图所示，已知在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b.求：

(1)a，b满足什么条件时，a

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为复数z=3−i，所以其对应的点为(3,−1)，

所以z在复平面内对应的点位于第四象限．2.【答案】B

【解析】解：∵|a|=2，|b|=3，a⋅b=4，

则|3.【答案】D

【解析】解：A不正确，a、b的方向不确定．

B不正确，当a、b

垂直时，a⋅b=0．

C不正确，尽管a、b的长度都是1，但它们的方向不确定．

由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有|a|=|b|，故D正确．

故选D4.【答案】C

【解析】解：设z=a+bi，a，b∈R，

因为|z|=a2+b2，

所以|z|+z=a+5.【答案】C

【解析】解：因为(3b−c)cosA=acosC，

所以3sinBcosA=si6.【答案】B

【解析】解：因为AB=(k,−4),CD=(−3,k)，AB/7.【答案】D

【解析】解：依题意，正四面体A−BCD的内切球与外接球球心重合，记为O，

设正△BCD的中心为G，连接AG，BG，OB，

显然点O在AG上，设正四面体A−BCD的内切球与外接球半径分别为r，R，

即OG=r，OA=OB=R，

而BG=23BCs8.【答案】C

【解析】解：如图，

对于A，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD与BD1异面，BD1与B1C1异面，AD//B1C1，

AD与BD1异面，BD1与CD异面，AD与CD相交于点D，

AD与BD1异面，BD1与A1B1异面，AD与A1B1异面．

∴若直线a，b异面，b，c异面，则a，c的位置关系可能是：平行、相交或异面，故A错误；

对于B，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB与BD1相交于点B，BD1与D1C1相交于点D1，AB//D1C1，

AB与BD1相交于点B，BD1与AD1相交于点D1，AB与AD1相交于点A，

AB与BD1相交于点B9.【答案】AB【解析】解：A选项，由于n//α，所以存在直线l⊂α且n//l，由于m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，所以m⊥n，所以A选项正确；

B选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以B选项正确；

C选项，若m⊥α，m⊥n，则存在l⊂α，l//n，由于n⊄α10.【答案】AC【解析】解：因为z=i(1+2i)1+i=(−2+i)(1−i)(1+i)(1−i)11.【答案】AD【解析】解：对于A选项，由下图可知MN//DE//AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以MN//平面ABC，A正确．

对于B选项，设H是EG的中点，由下图，结合正方体的性质可知，AB//NH，MN//AH//BC，AM//CH，所以A，B，C，H，N，M六点共面，B错误．

对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知MN//AD，由于AD⊄平面ABC，所以MN⊄平面ABC12.【答案】BD【解析】解：由题意可知，AB=(2,x−2)，

又a=(2−x,−1),AB//a，

则(2−x)(x−2)=−2，解得x=2±13.【答案】433【解析】解：∵A=π4，b=22，

∴在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，即a22=22sinB，

∴sinB=2a14.【答案】1+【解析】解：原式=−42(cos2π3+i15.【答案】13【解析】解：不妨设原棱锥为四棱锥，

设棱台的高为h，截得棱台的原棱锥的高为h1，

如图所示，即MN=h，PN=h1，

因为四边形ABCD与四边形EFGH相似，且上下底面面积分别为4和9，

故EMAN=23，

由△PEM16.【答案】π2【解析】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1方向分别为x，y，z轴正方向建立坐标系．

则A1(1,0,2)，E(0,0,1)，G(0,2,1)，F(1,17.【答案】(1)证明：∵BD=BC+CD=5e1+5e2=5AB，

又AB为非零向量，

∴AB与BD共线，

即A，B，D三点共线；

(2)【解析】(1)由向量的运算，证明AB与BD共线即可；

(2)由题意可得：存在实数λ使得ke118.【答案】解：(1)若asinB=3bcosA，则sinAsinB=3sinBcosA，

由于sinB>0，可得tanA=sinAcosA=3，

由于0<A<π【解析】(1)由正弦定理和同角的基本关系式计算可得所求角；

(2)(i)由三角形的面积公式和余弦定理可得所求值；

(i19.【答案】解：(1)∵z=3+bi(b=R)，∴(1+3i【解析】(1)根据复数分类可解决此问题；

(2)根据复数除法运算法则先求得复数ω，然后可求得|20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，底面ABCD是边长为2的菱形，

∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形，因为M是BC的中点，

所以AM⊥BC，又AD//BC，所以AM⊥AD，

因为FA⊥底面ABCD，

AM⊂平面ABCD，故FA⊥AM，

因为FA⊂平面ADEF，

AD⊂平面ADEF，AM⊄平面ADEF，FA∩AD=A，

所以AM⊥底面ADEF，

E【解析】(Ⅰ)根据条件证明AM⊥底面ADEF即可；

(Ⅱ)先求出点C到平面AD21.【答案】解：(1)根据题意可知四边形ABCD为正方形，

设O为底面中心，则PO为该锥体的高，