2021年福建省三明市高级中学高二数学理期末试卷含解析

2021年福建省三明市高级中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在棱长为的正方体中，是的中点，点在侧面上运动．现有下列命题：①若点总保持，则动点的轨迹所在的曲线是直线；②若点到点的距离为，则动点的轨迹所在的曲线是圆；③若满足，则动点的轨迹所在的曲线是椭圆；④若到直线与直线的距离比为，则动点的轨迹所在的曲线是双曲线；⑤若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是抛物线．其中真命题的个数为（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C2.设，集合是奇数集，集合是偶数集。若命题，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上则D与E的关系是(

)A．D+E=2 B．D+E=1 C．D+E=﹣1 D．D+E=﹣2参考答案：D【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可得到D、E的关系．【解答】解：圆的圆心坐标是（），圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=l上，所以，即D+E=﹣2．故选D【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，常考题型．4.在同一直角坐标系中，函数f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．5.“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分而不必要条件 D．必要而不充分条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”?“mn＜0”，反之不成立，可能是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”即可判断出结论．【解答】解：“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”?“mn＜0”，反之不成立，可能是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”．∴“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．故选：D．6.若，则下列结论不正确的是()A．

B．

C.

D．参考答案：D由，所以,所以,由不等式基本性质知7.命题“若a>-3，则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（*****）

A．1

B．2

C．3 D．4参考答案：B8.已知数列的通项公式为，那么满足的整数（

）

A.有3个

B.有2个

C.有1个

D.不存在参考答案：B9.设全集等于 （

） A． B． C． D．参考答案：D略10.设P为双曲线上的一点，是双曲线的两个焦点，若,则的面积是

(

)(A)

(B)6

(C)7

(D)8参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则该直线的斜率的范围是_______________________．参考答案：12.设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】由于不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，利用等差数列的前n项和公式可得+，当a1≠0时，化为λ≤，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，，∴+，当a1≠0时，化为+1=，当=﹣时，上式等号成立．∴．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.函数的图像在点处的切线方程是

。参考答案：14.已知四棱椎的底面是边长为6的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是

；参考答案：9615.已知曲线、的极坐标方程分别为，，则曲线上的点与曲线上的点的最远距离为________.参考答案：16.在△ABC中，∠A=，AC=3，面积为，那么BC的长为

.参考答案：17.若为等比数列的前项和，，则___

_____.参考答案：-7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;参考答案：解:（1）因为,,,所以,

即.…2分

当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时,方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;当时,方程表示的是双曲线.

……………4分

(2).当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

……………6分

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使△=,即,即,

且,要使,

需使,即,所以,

即且,

即恒成立.

……………8分

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

………………12分19.如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=．∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC

…①

∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，∵DE平面ABCD，∴ND⊥DE

…②

由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC

∴DE⊥NC

（Ⅱ）解：设存在P符合题意．由(Ⅰ)知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），则D,A,E,C,P．∴，设平面PEC的法向量为，则，令，则平面PEC的一个法向量为取平面ECD的法向量， ∴，解得，即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为，此时AP=．

略20.（12分）写出命题“若a＞b，则a﹣2＞b﹣2”的否命题、逆命题、逆否命题、命题的否定，并判断真假．参考答案：否命题：若a≤b，则a﹣2≤b﹣2，真命题；（3分）逆命题：若a﹣2＞b﹣2，则a＞b，真命题；（6分）逆否命题：若a﹣2≤b﹣2，则a≤b，真命题；（9分）命题的否定：若a＞b，则a﹣2≤b﹣2，假命题．（12分）21.如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边形为菱形，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．

参考答案：解：（1）证明取SC的中点R，连QR,DR.由题意知：PD∥BC且PD=BC;QR∥BC且QP=BC,QR∥PD且QR=PD.PQ∥DR,又PQ面SCD,PQ∥面SCD.

…………（5分）

（2）法一：连接SP，

.

.，余弦值为

…………（10分）（2）法二：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，P