2022-2023学年四川省遂宁市马家中学高三数学文联考试题含解析

2022-2023学年四川省遂宁市马家中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图像大致是

参考答案：B【知识点】函数图像.

B8

解析：函数是偶函数、函数值恒大于0且在x=0处函数取得最大值，故选B.【思路点拨】通过分析函数的性质判定结论.2.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l与抛物线分别交于A、B两点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．8 D．1参考答案：C【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】写出直线方程代入抛物线方程利用韦达定理以及抛物线的性质，求解写出|AB|即可．【解答】解：直线的方程为y=x﹣1，代入y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0，故x1+x2=6，所以，|AB|=x1+x2+p=6+2=8．故选：C．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，弦长公式的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.已知函数f(x)=xex－x2－mx，则函数f（x）在[1，2]上的最小值不可能为（）A．e－m B．－mln2m

C．2e2﹣4m D．e2﹣2m参考答案：D【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】f′（x）=ex+xex﹣m（x+1）=（x+1）（mex﹣1）．对a分类讨论：当m≤时，当e＞m＞时，当m≥e时，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．【解答】解：f′（x）=ex+xex﹣m（x+1）=（x+1）（mex﹣1），①当m≤时，ex﹣m＞0，由x≥﹣1，可得f′（x）≥0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=e﹣m．②当m≥e时，ex﹣m≤0，由x≥﹣1，可得f′（x）≤0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（2）=2e2﹣4m．③当e＞m＞时，由ex﹣m=0，解得x=lnm．当﹣1≤x＜lnm时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当lnm＜x≤1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=lnm时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（lnm）=﹣．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．4.已知函数的定义域为，则函数的单调递增区间是（

）A．和

B．和C．和

D．和参考答案：5.已知定义在上的函数满足：对任意，都有成立，且，设，则三者的大小关系是------------------------------------------------（★）A． B． C． D．参考答案：C6.（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（） A． 1 B． 2 C． D． 4参考答案：B略7.若随机变量服从正态分布~，，则随机变量的期望是（

）A．

B.

C.

D.

参考答案：A8.若函数同时具有以下两个性质:①是偶函数;②对任意实数x,都有。则的解析式可以是（

）A．=cosx B．=C．= D．=cos6x参考答案：C【知识点】函数的奇偶性B4由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．

∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=-sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．

∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=-4，是最大值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，【思路点拨】先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．9.对任意的实数，，不等式恒成立，则实数的最大值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.下列结论中正确的个数是（

）．①在△ABC中，若，则△ABC是等腰三角形；②在△ABC中，若，则③两个向量，共线的充要条件是存在实数，使④等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】对每个命题逐一检验其正确性:①：若，则或；②:转化为证明其逆否命题：在△ABC中，若，则，结合正弦函数单调性可证；③：若，不合命题的充要性，命题为假；④：常数列不合题意.【详解】对于①：若，则或，即或即△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在△ABC中，若，则当时，由正弦函数单调递增可得；当时，，所以原命题成立，所以该命题正确；对于③：若，满足向量，共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；对于④：常数列，通项公式，其前项和公式不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确.故选：B【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，则二项式展开式中的第项的系数为

;参考答案：

12.当n为正整数时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数．如N(3)＝3，N(10)＝5，….记S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．则(1)S(3)＝____；(2)S(n)＝____.参考答案：22；略13.如图,、为圆的两条割线,若，，，，则

.参考答案：614.设数列{an}的前n项和为Sn，且.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an=________．参考答案：（答案不唯一）【分析】首先由题意确定数列的特征，然后结合数列的特征给出满足题意的数列的通项公式即可.【详解】，则数列是递增的，，即最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列的一个通项公式（答案不唯一）【点睛】本题主要考查数列前n项和的性质，数列的通项公式的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.有1200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________.参考答案：2416.已知，，则．参考答案：17.已知点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数

（Ⅰ）若上是增函数，求实数的取值范围。

（Ⅱ）若的一个极值点，求上的最大值。参考答案：解：（I）上是增函数

即上恒成立

则必有

（II）依题意，即

令得则当变化时，的变化情况如下表：1（1，3）3（3，4）4

—0+

—6

—18

—12在[1，4]上的最大值是略19.（2016?湘潭一模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为8．（I）求抛物线C方程；（II）不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|=|PB|，求△FAB的面积．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】（I）确定抛物线C与直线l1：y=﹣x的一个交点的坐标，代入抛物线方程，即可求抛物线C方程；（II）设l2的方程为x=y+m，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB，求出m的值，从而可求△FAB的面积．【解答】解：（I）由题意，抛物线C与直线l1：y=﹣x的一个交点的坐标为（8，﹣8），代入抛物线方程可得64=2p×8，∴2p=8，∴抛物线C方程为y2=8x；（II）∵不过原点的直线l2与l1垂直，∴可设l2的方程为x=y+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与x轴交点为M直线方程代入抛物线方程，可得y2﹣8y﹣8m=0△=64+32m＞0，∴m＞﹣2由韦达定理得y1+y2=8，y1y2=﹣8m，∴x1x2=m2，由题意，OA⊥OB，即x1x2+y1y2=m2﹣8m=0∴m=8或m=0（舍去）∴l2的方程为x=y+8，M（8，0）∴S△FAB==3=24．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积是计算，属于中档题．20.已知函数.（1）若，求f(x)的单调区间；（2）证明：存在正实数M，使得.参考答案：（1）见解析；（2）见证明.【分析】（1）先求f′（x），研究的分子，根据二次函数的性质判断f′（x）的符号得出f（x）的单调性；（2）当时，，只需找一个x>1，使得lnx>0即可；当时，由（1）知只需证即可，构造函数，通过导函数证明即可.【详解】（1）定义域为，，.当时，，有一个零点.当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.（2）当时，存在正实数，使得.当时，.由（1）知.由，得，所以.设，当时，，所以在单调递增，所以,即，存在正实数，使得.【点睛】本题考查了利用导数进行函数单调性的判断，考查了存在性问题与函数最值的转化，考查分类讨论思想，属于中档题．21.如果无穷数列{an}满足下列条件：①≤an+1；②存在实数M，使an≤M．其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．（1）设数列{bn}的通项为bn=5n﹣2n，且是Ω数列，求M的取值范围；（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前项和，c3=，S3=证明：数列{Sn}是Ω数列；（3）设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn+1．参考答案：【考点】数列递推式；数列的函数特性；等比数列的性质．【分析】（1）根据新定义，确定数列{bn}中的最大项，即可得到M的取值范围；（2）确定数列的通项cn=，求得数列的和，证明＜Sn+1，且Sn＜2即可；（3）假设存在正整数k使得dk＞dk+1成立，由数列{dn}的各项均为正整数，可得dk≥dk+1+1，即dk+1≤dk﹣1，利用≤dk+1，可得dk+2≤dk+1﹣1，由此类推，可得dk+m≤dk﹣m（m∈N*），从而可得dk+m＜0，这与数列{dn}的各项均为正数矛盾，由此得证．【解答】（1）解：∵bn+1﹣bn=5﹣2n，∴n≥3，bn+1﹣bn＜0，故数列{bn}单调递减；当n=1，2时，bn+1﹣bn＞0，即b1＜b2＜b3，则数列{bn}中的最大项是b3=7，所以M≥7．（2）证明：∵{cn}是各项正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3=，S3=设其公比为q＞0，∴++c3=．整理，得6q2﹣q﹣1=0，解得q=，q=﹣（舍去）．∴c1=1，cn=，Sn=2﹣=Sn+2，S＜2．对任意的n∈N*，有=2﹣﹣＜2﹣=Sn+1，且Sn＜2，故{Sn}是Ω数列．（3）证明：假设存在正整数k使得dk＞dk+1成立，由数列{dn}的各项均为正整数，可得dk≥dk+1+1，即dk+1≤dk﹣1．因为≤dk+1，所以dk+2≤2dk+1﹣dk≤2（dk﹣1）﹣dk=dk﹣2．由dk+2≤2dk+1﹣dk及dk＞dk+1得dk+2＜2dk+1﹣dk+1=dk+1，故dk+2≤dk+1﹣1．因为≤dk+2，所以dk+3≤2dk+2﹣dk+1≤2（dk+1﹣1）﹣dk+1=dk+1﹣2≤dk﹣3，由此类推，可得dk+m≤dk﹣m（m∈N*）．又存在M，使dk≤M，∴m＞M，使dk+m＜0，这与数列{dn}的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意n∈N*，都有dk≤dk+1成立．22.气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t（单位：℃）t22℃22℃<t28℃28℃<t32℃