2021年上海音乐学院安师附属实验中学 高一数学理测试题含解析

2021年上海音乐学院安师附属实验中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】9B：向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．2.下列命题中：①若?=0，则=或=；②若不平行的两个非零向量，满足||=||，则（）?（﹣）=0；

③若与平行，则；

④若∥，∥，则∥；其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4参考答案：B略3.等差数列的首项，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略4.已知x1、x2是函数f（x）=|lnx|﹣e﹣x的两个零点，则x1x2所在区间是(

)A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，e）参考答案：B【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】能够分析出f（x）的零点便是函数|lnx|和函数e﹣x交点的横坐标，从而可画出这两个函数图象，由图象可看出，这样即可得出﹣1＜lnx1x2＜0，根据对数函数的单调性即可求出．【解答】解：令f（x）=0，∴|lnx|=e﹣x；∴函数f（x）的零点便是上面方程的解，即是函数|lnx|和函数e﹣x的交点，画出这两个函数图象如下：由图看出0＜﹣lnx1＜1，﹣1＜lnx1＜0，0＜lnx2＜1；∴﹣1＜lnx1+lnx2＜1；∴﹣1＜lnx1x2＜1；∴；由图还可看出，﹣lnx1＞lnx2；∴lnx1x2＜0，x1x2＜1；∴x1x2的范围是（）．故选B．【点评】考查函数零点的概念，函数零点和方程解的关系，方程f（x）=g（x）的解和函数f（x）与g（x）交点的关系，对数的运算，以及对数函数的单调性．5.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是 ()A．f(cosα)>f(cosβ)

B．f(sinα)>f(sinβ)

C．f(sinα)>f(cosβ)

D．f(sinα)<f(cosβ)参考答案：B6.若的平均数为3，方差为4，且，则新数据的平均数和标准差分别为（）A.﹣4﹣4 B.﹣4

16 C.2

8 D.﹣2

4参考答案：D【分析】由期望和方差公式，即可快速求出。【详解】∵x1，x2，…，x2018的平均数为3，方差为4，，∴新数据y1，y2…的平均数为：﹣2（3﹣2）＝﹣2，标准差为：4．故选：D．【点睛】本题考查平均数、标准差的求法，考查平均数、标准差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.设全集，，则A=（

）.

.

..参考答案：B8.（5分）算法框图中表示判断的是（） A． B． C． D． 参考答案：B考点： 算法的特点．专题： 常规题型．分析： 根据算法框图中表示判断的是菱形框，故选择菱形框，得到结果．解答： ∵在算法框图中，表示判断的是菱形，故选B．点评： 本题考查算法的特点，本题解题的关键是知道几种不同的几何图形所表示的意义，才能正确选择．9.已知角的终边经过一点，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.函数y=g(x)的图象与y=f(x)=arccos(x–1)图象关于原点对称，则y=g(x)解析式是（

）（A）arccos(x+1)–π

（B）arccos(x+1)+π（C）π–arccos(x+1)

（D）–arccos(x+1)

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，若，则=_____________.

参考答案：-2

略12.已知则实数的取值范围是

。参考答案：略13.函数f（x）=的定义域是．参考答案：{x|x=2kπ，k∈z}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．14.已知集合A={x|x2+ax+1=0}，若A∩R=?，则a的取值范围是：．参考答案：﹣2＜a＜2【考点】空集的定义、性质及运算．

【专题】集合．【分析】A∩R=?，可得A=?．利用△＜0，解出即可．【解答】解：∵A∩R=?，∴A=?．∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴a的取值范围是﹣2＜a＜2，故答案为：﹣2＜a＜2．【点评】本题考查了集合的运算性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力，属于中档题．15.（5分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上得增函数，那么a的取值范围是

．参考答案：1＜a＜3考点： 函数单调性的性质．专题： 计算题．分析： 根据f（x）是增函数，可得3﹣a＞0且，a＞1，并且在x=1处3﹣a﹣4a≤loga1=0，解之得：1＜a＜3，即为实数a的取值范围．解答： ∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴?1＜a＜3故答案为：1＜a＜3点评： 本题根据分段函数的单调性，求实数a的取值范围，着重考查了基本初等函数单调性的知识点，属于基础题．16.已知正方体的棱长为a，Ｅ是棱的中点，Ｆ是棱的中点，则异面直线ＥＦ与ＡＣ所成的角的大小是Δ.参考答案：

(或填）略17.已知，则的值为___________．参考答案：试题分析：对分子分母同时除以得到，解得.考点：同角三角函数关系.【思路点晴】本题主要考查同角三角函数关系，考查正弦余弦和正切的相互转化问题.由于已知条件的分子和分母都是次数为的表达式，所以我们可以分子分母同时除以得到，即，就将正弦和余弦，转化为正切了.如果分子分母都是二次的，则需同时除以来转化为正切.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．参考答案：考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题： 证明题；综合题．分析： （1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．解答： （1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．?DN∥平面PMB．

（2）?PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.?平面PMB⊥平面PAD．

（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．点评： 本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．19.（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|（x∈R）（1）证明：函数f（x）是偶函数；（2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象，并写出函数的值域；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+2，观察图象写出不等式f（x）＞x+2的解集．参考答案：考点： 带绝对值的函数；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数奇偶性的判断．专题： 计算题；作图题．分析： （1）根据函数的解析式，我们判断f（﹣x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义可得函数的奇偶性，（2）先将带绝对值的函数转化成分段函数的形式，进而结合分段函数的图象和性质及偶函数图象关于y轴对称，可得函数简图；（3）根据（2）中函数简图，数形结合可在同一坐标系中画出直线y=x+2，观察图象写出不等式f（x）＞x+2的解集．解答： （1）f（﹣x）=|﹣x﹣1|+|﹣x+1|=|x+1|+|x﹣1|=f（x）∴f（x）是偶函数

（2）原函数式可化为：；其图象如图所示，由函数图象知，函数的值域为[2，+∞）

…（9分）（3）由函数图象知，当x=0或2时，f（x）=x+2．结合图象可得，不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}…（12分）点评： 本题考查的知识点是带绝对值的函数的图象和性质，函数奇偶性的判断，其中画出函数的图象是解答本题的关键．20.（1）化简：；（2）求值：.参考答案：（1）（2）1【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可化简求得结果；（2）由对数的运算性质，即可化简求得结果，得到答案．【详解】（1）根据实数指数幂的运算性质，可得：（2）由对数的运算性质，可得.【点睛】本题考查了对数的运算性质，以及指数幂的运算性质的应用，其中解答中熟记实数指数幂和对数的运算性质，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．21.已知点，圆.（1）若直线过点且到圆心的距离为1，求直线的方程；（2）设过点的直线与圆交于两点（的斜率为正），当时，求以线段为直径的圆的方程.

参考答案：（Ⅰ）或；（Ⅱ）.试题分析：把圆的方程变为标准方程后，分两种情况，①当直线的斜率存在时，因为直线经过点，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离，让等于列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，根据的值和的坐标写出直线的方程；②当直线的斜率不存在时，直线的方程为；设直线的方程为，根据点到直线距离可以求出的值，再次联立直线与圆的方程解得中点坐标，即可以求出以线段为直径的圆的方程解析：（Ⅰ）由题意知，圆的标准方程为：，∴圆心，半径，①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，∴，解得，∴直线的方程为，即.②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线到圆心的距离为1，符合题意.综上，直线的方程为或.（Ⅱ）设过点的直线的方程为即，则圆心到直线的