2022年湖南省张家界市市国光实验学校高三数学文月考试卷含解析

2022年湖南省张家界市市国光实验学校高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则的取值范围是

（

）

A．（0，1）

B．（0，）

C．（，1）

D．（0，1）∪（1，+∞）参考答案：C略2.为了得到函数的图像，只需把函数的图像

（）A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位

参考答案：A3.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为（）A．（x+1）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x+3）2+y2=4参考答案：B【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】设圆心C的坐标为（a，0），a＞0，求得圆心到直线l：y=x﹣1的距离d的值，再根据半径r=|a﹣1|=，解得a的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆C的标准方程．【解答】解：设圆心C的坐标为（a，0），a＞0，则圆心到直线l：y=x﹣1的距离为d==．由于半径r=|a﹣1|=，解得a=3，或a=﹣1（舍去），故圆C的圆心为（3，0），半径为3﹣1=2，故圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2=4，故选B．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．4.平面向量与的夹角为，，，则（

）A．

B．

C．

D．7参考答案：B略5.观察下列各式：则（

）

A．28

B．76

C．123

D．199参考答案：C6.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是，，过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∴“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列前项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的为（

）A.100

B.250

C.140

D.190参考答案：D9.已知i是虚数单位，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A因为时，，即充分性成立，时，可能，所以必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A．

10.已知复数z在复平面对应点为，则＝（

）A．1 B．－1 C． D．0参考答案：C根据题意可得，则＝．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等差数列的首项为,公差为，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为Tn，则

．参考答案：12.已知函数=,则满足不等式的的范围是_

参考答案：略13.等差数列{an}的前n项和为Sn，，则_____.参考答案：【分析】计算得到，再利用裂项相消法计算得到答案.【详解】，，故，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.14.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费x（万元）2345利润y（万元）264956根据表格已得回归方程为=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为．参考答案：37【考点】线性回归方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】设数据的值为a，利用回归直线方程恒过样本中心点，求出a．【解答】解：设数据的值为a，依题意知，=3.5，=（131+a），∵利用回归直线方程恒过样本中心点，∴（131+a）=3.5×9.4+9.1，∴a=37，故答案为：37．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．15.已知不等式表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的范围是_________参考答案：略16.一次研究性课堂上，老师给出函数，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题：甲：函数为偶函数；乙：函数；丙：若则一定有你认为上述三个命题中正确的个数有

个 参考答案：217.设等差数列的公差为正数，若则

．参考答案：105

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共14分）.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1（1）证明：MN∥平面PCD；（2）证明：MC⊥BD；（3）求二面角A—PB—D的余弦值。参考答案：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE， 由已知M，N分别是PA，BC的中点， ∴ME∥PD，NE∥CD 又ME，NE平面MNE，MENE=E，所以，平面MNE∥平面PCD， 2分 所以，MN∥平面PCD 4分

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥DA，PD⊥DC， 在矩形ABCD中，AD⊥DC， 如图，以D为坐标原点， 射线DA，DC，DP分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系 5分则D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0）（0，1，0），P（0，0，） 7分 所以（，0，），， 8分 ∵·=0，所以MC⊥BD 9分

（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC， 所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD， 10分 由已知，所以平面PBD的法向量 11分 M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA， 又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM， 所以DM⊥平面PAB， 12分 所以平面PAB的法向量（-，0，） 设二面角A—PB—D的平面角为θ， 则

13. 所以，二面角A—PB—D的余弦值为. 14分19.我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从

老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能

自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行

统计，样本分布被制作成如图表：（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发

放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下

老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100

元．试估计政府执行此计划的年度预算．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025利用频率计算公式即可得出．（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：，用样本估计总体，80岁及以上长者共有万，即可得出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X=0）=，P（X=120）=×，P（X=200）=，P（X=220）=，P（X=300）=，及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为：=，故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为16×=6.80岁以下长者人数为10人（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：=，用样本估计总体，80岁及以上长者共有万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为100%=2.75%．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X=0）=，P（X=120）=×=，P（X=200）==，P（X=220）==，P（X=300）==，则随机变量X的分布列为：X0120200220300PEX=0×+120×+200×+220×+300×=28，全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．20.如图，已知棱柱的底面是正方形，且平面，为棱的中点，为线段的中点. （1）证明：//平面； （2）证明：平面.参考答案：【知识点】空间中的平行关系

空间中的垂直关系G4G5【答案解析】（1）略（2）略（1）证明：连接AC交BD与O，连接OF，∵ABCD是正方形∴O是BD的中点，BD⊥OA，又∵为线段的中点∴OF∥DD1且OF= ∵为棱的中点，∴且∴，∵平面ABCD，且平面ABCD∴平面ABCD（2）证明：∵平面且，∴平面∴∵且，，∴∵∴【思路点拨】利用线线平行证明线面平行，用线线垂直证明线面垂直。21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x).(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝时y＝f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值.参考答案：解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.依题意f′(1)＝3，f′＝0，∴解之得所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2).令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如表：x－4(－4，－2)－2(－2，)(，1)1f′(x)

＋0－0＋

f(x)－11

极大值13

极小值

4∴f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.22.已知矩形ABCD与直角梯形