2022年湖南省娄底市花桥中学高三数学理联考试题含解析

2022年湖南省娄底市花桥中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数f(x)的图像，则下列说法正确的是（

）A.函数f(x)的最小正周期为B.函数f(x)在区间上单调递增C.函数f(x)在区间上的最小值为D.是函数f(x)的一条对称轴参考答案：C【分析】由三角函数图象的伸缩变换及平移变换得f（x）函数解析式，再由三角函数图象及性质依次判断选项即可．【详解】=2cos（x+），将其向右平移个单位长度得函数解析式为h（x）＝2cos（x），再把得到的图象再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝f（x）的图象，得f（x）＝2cos（2x），则函数y＝f（x）的最小正周期为π，对称轴方程为x（k∈z），故A，D选项不正确，又当时，2x，函数不单调，故B错误，当时，2x，函数在x=时取得最小值为C正确，故选：C．【点睛】本题考查了三角函数图象的伸缩变换及平移变换，三角函数图象的性质，属于中档题.2.函数的零点的个数为（

）A．0 B．1

C．2

D．3参考答案：B3.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则=（）A.－3 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】根据已知条件，由向量的加减运算法可得，的坐标，利用向量的数量积即可得到。【详解】在平行四边形中，，，，，则．故选：C．4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据三视图可以判断出该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个底面直径为4高为的圆锥的组合体，根据圆锥和圆柱的体积公式求出组合体的体积.【详解】解：由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个底面直径为4高为的圆锥的组合体，∴该几何体的体积为：.故选：．【点睛】本题考查了通过三视图识别几何体，并求出几何体的体积问题，考查了空间想象能力和数学运算能力.5.若复数满足，则的共轭复数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：，选A.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6.函数的图象是参考答案：B略7.若把函数的图象向右平移（＞0）个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺 B．2024000立方尺C．632500立方尺 D．1897500立方尺参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为=1897500立方尺，故选D．9.已知复数z满足，i为虚数单位，则z等于(

)A. B. C. D.参考答案：A因为，所以应选答案A.

10.下列命题错误的是(

)A命题“若则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根则”

B若为假命题，则均为假命题C“”是

“”的充分不必要条件D对于命题“使得”，则“均有”参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵，∴=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴，∴V三棱锥S﹣ABC==．故答案为．12.已知a=4，则二项式（x2+）5的

展开式中x的系数为

．参考答案：略13.已知直线与函数和图象交于点Q，P、M分别是直线与函数的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是

．参考答案：14.已知函数若，则__________．参考答案：0【知识点】分段函数B1若则，若则无解，所以【思路点拨】由分段函数的意义可直接求出解.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科.可以判断乙教的学科是______________.参考答案：C由乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A学科，则乙不教A学科；又乙不教B学科，所以乙教C学科，而在哈尔滨工作的教师不教C学科，故乙在沈阳教C学科.故填C.

16.已知,函数在上单调递减.则的取值范围是

参考答案：略17.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点(1,2)，则

．参考答案：由题意得，所以

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：

喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考答案：【考点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）计算K2的值，根据K2的值大于5.024，可得约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（2）用样本容量乘以男生所占的比例，可得应抽取的男生数，用样本容量乘以女生所占的比例，可得应抽取的女生数．（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，所以ξ的取值为1，2，3，再求出ξ取每一个值的概率，即可求得ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）∵，∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（2）男生抽取的人数有：（人），女生抽取的人数各有：（人）．（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，所以ξ的取值为1，2，3．∵，，，所以ξ的分布列为：ξ123P（ξ）所以ξ的数学期望为．【点评】本题主要考查独立性检验、分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．19.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点，（1）求曲线，的方程；（2）若点，在曲线上，求的值．参考答案：解：（I）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线的方程为（为参数），或.

设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).将点代入,得,即.(或由,得,代入,得),所以曲线的方程为,或.（II）因为点，

在在曲线上,

所以,,

所以.略20.（本小题满分14分）

如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.参考答案：（1）证明：∵是的中点，且，

∴.

……1分

∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

……2分

∵四边形是正方形，

∴.

……3分

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………4分

∵，平面，平面，

∴平面.

………5分

∵平面，

∴.

………6分（2）解法1：作于，连接，∵⊥平面，平面∴.

………7分∵，平面，平面，∴⊥平面.

………8分∵平面，∴.

……………………9分∴∠为二面角的平面角.…………………10分设正方形的边长为，则，，在Rt△中，，

…11分在Rt△中，，，………………12分在Rt△中，.………………13分∴二面角的平面角的正弦值为.

……14分解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，设，则，，,.……………7分∴，.设平面的法向量为，由得

…8分令，得，

∴为平面的一个法向量.

…………9分∵平面，平面，∴平面平面.连接，则.∵平面平面，平面，∴平面.

………………10分∴平面的一个法向量为.………………11分设二面角的平面角为，

则.

……………12分∴.

………………13分∴二面角的平面角的正弦值为.

……14分21.（本小题满分13分）已知过点（1,1）且斜率为（）的直线与轴分别交于两点，分别过作直线的垂线，垂足分别为求四边形的面积的最小值.参考答案：设直线l方程为,则P（，0），…………2分从而PR和QS的方程分别为，……5分又，又四边形PRSQ为梯形………………9分四边形PRSQ的面积的最小值为

………………

13分22.（12分）如图，已知四边形ABCD和BCGE均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCGE，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．（1）求证：AG∥平面BDE；（2）求三棱锥G﹣BDE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由题意可证CD⊥CB，CD⊥CE，CB⊥CE，所以以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，求出直线AG的方向向量与平面BDE的法向量，由=0证之即可；（2）应用等体积转换求体积即可，即VG﹣DEF=VD﹣EFG=求之．【解答】证明：（1）∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立