2021-2022学年山西省阳泉市维社中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年山西省阳泉市维社中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设i为虚数单位，，则（

）A、1

B、—5

C、5

D、—1参考答案：C略2.下列各式中，最小值等于2的是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.如果执行右面的程序框图，那么输出的（）

A．2450

B.2500

C．2550

D．2652参考答案：C4.化简的值得（）A．8 B．10 C．﹣8 D．﹣10参考答案：A【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式=+=9﹣1=8．故选：A．5.对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则数列的通项公式＝

A. B. C. D.参考答案：C略6.对于任意实数，①；②；③；④；⑤．以上结论正确的个数是

（

）A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：A7.直线x=t分别与函数、g（x）=的图象交于P、Q两点，当实数t变化时，|PQ|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：A【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角差的正弦函数公式将|PQ|表示成x的三角函数，利用正弦函数的有界性即可求出最大值．【解答】解：∵、g（x）=，∴|PQ|=|sin（2x﹣）+3﹣cos（2x﹣）+1|=|2sin（2x﹣）+4|≤6．故选：A．8.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（A）

（B）

（C）20

（D）40参考答案：B9.若，则的值为（

）A.

B．

C．

D．参考答案：A略10.等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

。参考答案：12.直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣2，2）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数f（x）=x3﹣3x对应的大致图象，平移直线y=a即可得出结论．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）=2，极小值为f（1）=﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）13.若不等式（x﹣a）（x﹣b）＜0的解集为（﹣1，2），则a+b的值是

．参考答案：1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次方程与不等式的关系，利用根与系数的关系建立等式，解之即可．【解答】解：不等式（x﹣a）（x﹣b）＜0的解集为（﹣1，2），可得（x﹣a）（x﹣b）=0的解x1=﹣1，x2=2，即a=﹣1，b=2，或者a=2，b=﹣1，∴a+b的值等于1．故答案为1．14.已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，当x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣，+∞）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于x++≥﹣3a．令g（x）=x++，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：x∈[2，∞），f（x）≥0，即x3+3ax2+3x+1≥0，即x++≥﹣3a．令g（x）=x++，则g'（x）=，下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，令h（x）=x3﹣3x﹣2，则h'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，∴g（x）的最小值为g（2）=，﹣3a≤g（2）=，解得a≥﹣，故答案为：[﹣，+∞）．15.已知向量则的最小值是

参考答案：略16.复数在复平面内所对应的点位于________象限参考答案：2象限略17.椭圆的焦点坐标是

，若为过左焦点的弦，右焦点为F2则的周长为

。参考答案：（）()

16三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列是一个等差数列，且（1）求的通项公式和前项和（2）设证明数列是等比数列.参考答案：解：（1）.

（2），，

（常数）。略19.在直角坐标系中，点P是曲线C上任意一点，点P到两点，的距离之和等于4，直线与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值。参考答案：解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（Ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化简得，所以．20.已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足不等式.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．参考答案：（1）

（2）

21.已知圆C：关于直线对称，圆心C在第四象限，半径为。（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线与圆C相切，且在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。参考答案：解：（Ⅰ）由得：∴圆心C，半径，从而

解之得，∴圆C的方程为 ……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C，设直线在x轴、y轴上的截距分别为当时，设直线的方程为，则解得，，此时直线的方程为

……10分当时，设直线的方程为即则

∴

此时直线的方程为……13分综上，存在四条直线满足题意，其方程为或略22.已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）证明：当时，.参考答案：（1）的单调增区间是，减区间是；（2）见解析。【分析】（1）利用导数求解函数单调区间的步骤即可求解；（2）将原不等式变形，构造函数，通过研究其单调性，再结合其在及的取值范围，利用符号法则即可证明。【详解】（1）函数的定义域是，，因为由解得；由解得；故函数的单调增区间是，减