信号与系统-004第四章-连续系统复频域分析课件

第四章连续系统的复频域分析拉普拉斯变换与反变换线性系统的拉斯变换分析法线性系统的模拟(方框图)信号流图与梅森公式主要内容：第四章连续系统的复频域分析傅里叶级数、傅里叶变换和频域分析法引入了信号频谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理意义。傅里叶变换的局限性1、有些信号非绝对可积，傅里叶变换不存在；2、反变换是复变函数的广义积分，难以计算，甚至求不出；3、用傅里叶变换可求rzs(t)，但求不出rzi(t)。§4.1拉普拉斯变换解决方法：衰减因子一定满足绝对可积的条件频域中的傅里叶变换复频域中的拉普拉斯变换推广§4.1拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

2、拉普拉斯变换的物理意义（理解est）§4.1拉普拉斯变换§4.1.1拉普拉斯变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

§4.1.1拉普拉斯变换反变换：§4.1.1拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换更常用的是单边拉普拉斯变换，定义为：象函数原函数§4.1.1拉普拉斯变换1.工程技术中所遇到的激励信号与系统响应大都为有始函数2.积分下限为何取为0-，考虑激励与响应中在原点存在冲激函数或其各阶导数的情况，所以积分区间应包括时间零点在内3.反变换，S包含的w从-无穷到+的各个分量，所以积分区间不变2、拉普拉斯变换的物理意义s常称为复频率,因此拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法§4.1拉普拉斯变换§4.1.2拉普拉斯变换的收敛域f(t)e-σt是否收敛，取决于σ的取值，这就是拉普拉斯变换的收敛域问题2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法F(s)的所有极点必须在收敛域外（1）、持续时间有限的单个脉冲信号2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域§4.1.2拉普拉斯变换的收敛域不管σ取何值，总是满足

，收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在。（1）、持续时间有限的单个脉冲信号2、常用单边拉普拉斯变换的收敛域信号能量有限所以，收敛域为不包含虚轴的右半平面。推广§4.1.2拉普拉斯变换的收敛域§4.1.2拉普拉斯变换的收敛域结论：1、在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。2、能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为整个复平面3、有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛域总是在某一收敛轴的右边。4、在收敛域中不包含极点。5、凡符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴；反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。注意收敛域！§4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对收敛域

：整个平面§4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对收敛域为σ>Re(α)s=α为极点，不包含在内§4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对有了指数函数这个基本变换对，就可以派生出许多其他变换对。例如：§4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对有了指数函数这个基本变换对，就可以派生出许多其他变换对。例如：（1）ε(t)§4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对（2）单边正弦函数sinω0tε(t)分部积分法：§4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对§4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对§4.1.3常见信号的拉普拉斯变换对收敛域

：整个平面收敛域为σ>Re(α)s=α为极点，不包含在内收敛域为σ>0符合绝对可积条件的函数其傅里叶变换、拉普拉斯变换都存在相互转化对不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。§4.2拉普拉斯变换的性质1、线性2、尺度变换3、时间平移4、复频域平移5、时域微分6、时域积分7、复频域微分与积分8、对参变量的微分与积分10、终值定理11、卷积定理9、初值定理2、尺度变换1、线性若：则：相同近似§4.2拉普拉斯变换的性质3、时间平移例：f(t)如图，求F(s)解：

近似§4.2拉普拉斯变换的性质例：下列函数的拉普拉斯变换解：

例:如图，有始周期函数f(t)，若其第一个周期的函数记为f1(t)，且，求F(s)解：§4.2拉普拉斯变换的性质1、对于周期为T的有始周期函数，求其拉普拉斯变换只需求其第一个周期的变换，再乘以因子

2、反之若见到象函数的分母含有因子就应想到其原函数为有始周期函数。进行拉普拉斯反变换时也只要做第一个周期的反变换，然后再以T为周期延拓。两个结论：§4.2拉普拉斯变换的性质解：§4.2拉普拉斯变换的性质解：§4.2拉普拉斯变换的性质4、复频域平移若：相同例：已知，求下列函数的拉普拉斯变换解：

5、时域微分若：

不同§4.2拉普拉斯变换的性质5、时域微分若：

不同§4.2拉普拉斯变换的性质5、时域微分若：

推广到n阶导数不同§4.2拉普拉斯变换的性质分部积分法用时域微分性质求解：§4.2拉普拉斯变换的性质6、时域积分不同§4.2拉普拉斯变换的性质6、时域积分不同§4.2拉普拉斯变换的性质分部积分法6、时域积分可推广到多重积分情况不同§4.2拉普拉斯变换的性质如积分区间是注意:这里对的积分区间是这对本是一个有始信号进行积分运算是合适的；显然当是有始信号两者是一致的。§4.2拉普拉斯变换的性质6、时域积分7、复频域微分与积分不同7、复频域微分与积分不同§4.2拉普拉斯变换的性质举例§4.2拉普拉斯变换的性质8、对参变量的微分与积分§4.2拉普拉斯变换的性质§4.2拉普拉斯变换的性质§4.2拉普拉斯变换的性质9、初值定理：说明：像函数F(s)为假分式时，原函数f(t)在t=0处有冲激函数及其n阶导数存在§4.2拉普拉斯变换的性质9、初值定理：10、终值定理F(s)

的极点必须位于s平面的左半平面，原点处若有极点须是单极点§4.2拉普拉斯变换的性质初值定理应用的隐含条件:F(s)是真分式。若不是，则使用长除法得到真分式带入公式。终值定理应用的条件:(1)F(s)是真分式(2)F(s)的极点必须位于s平面的左半平面，原点处若有极点须是单极点。§4.2拉普拉斯变换的性质11、卷积定理不同相同§4.2拉普拉斯变换的性质时域卷积证明：§4.2拉普拉斯变换的性质复频域卷积证明：§4.2拉普拉斯变换的性质§4.2拉普拉斯变换的性质解法1：解法2：§4.2拉普拉斯变换的性质解法3：部分分式展开法(HavisideTheorem)若象函数为有理分式：Ⅰ.F(s)单极点情况Ⅱ.F(s)有重极点情况§4.3拉普拉斯反变换Ⅰ.F(s)单极点情况§4.3拉普拉斯反变换真分式、共轭极点(2)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根，则在部分分式展开时应把它们作为整体来处理。一、部分分式展开法(HavisideTheorem)若F(s)

有一个p阶极点s1，另有n-p个单极点sp+1，...sn。Ⅱ.F(s)有重极点情况§4.3

拉普拉斯反变换§4.3

拉普拉斯反变换H(p)有k阶极点λ§4.3

拉普拉斯反变换§4.3

拉普拉斯反变换解：F(s)为假分式则应将F(s)化为多项式和真分式之和，而多项式的反变换为冲激函数及其导数，真分式则可用部分分式展开法求反变换。(2)若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根，则在部分分式展开时应把它们作为整体来处理。一、部分分式展开法(HavisideTheorem)(3)若F(s)有p阶重根，分解为p个分式相加

§4.4复频域系统函数复频域系统函数定义（第一种计算方法）：在第三章中曾讲过有四种方法求H(jω):

（4）、若已知的是电路，只要将电路中的元件用阻抗表示，然后由电路求H(jω)。对于H(s)也有类似的方法：§4.4复频域系统函数

H(p)，H(jω)，H(s)三者的关系：(4)、若已知的是电路，只要将电路中的元件用运算阻抗表示，然后由电路求H(s)。§4.4复频域系统函数例：电路如图所示，开关K在t=0时开启，求t>0时的uc(t)。

解法1：

(3)、若已知的是电路，只要将电路中的元件用运算阻抗表示，然后由电路求H(s)。§4.4复频域系统函数(4)、根据系统的模拟方框图求

。(5)、由系统的信号流图，根据梅森公式求

。§4.5线性系统复频域分析法例1：已知一个二阶系统的微分方程为：§4.5.1拉普拉斯变换求响应

代入初始条件并整理解：利用拉普拉斯变换的性质对系统方程两边进行拉普拉斯变换全响应在求解过程中已经计入了初始条件，所以它就是全响应。由本例可见，用拉普拉斯变换求解微分方程的实质是：用拉普拉斯变换求解微分方程的实质是：在这种变换过程中，反映系统储能的初始条件可自动代入，运算简单，所得系统为系统全响应。一步到位根据S域电路模型求系统响应元件在时域和复频域中的表现形式：初始条件可以看成是等效源①电阻②电感③电容②电感③电容

常用等效电路：选用串联电压源电容：串联电压源方向与“电容的初始电压方向”保持一致电感：串联电压源方向与“电感的初始电流方向”保持一致！例：电路如图所示，求回路电流i1(t)。解:1、作运算等效电路2、列运算方程§4.5.2从信号分解的角度分析系统

和激励相关和初始状态相关例:电路如图所示，求回路电流i1(t)。要分别求零输入响应和零状态响应，及全响应。解：作运算等效电路：1、先求零输入响应将电路中的激励短路2、再求零状态响应，将电路中的等效电源短路，列回路方程：§4.6线性系统的模拟▲用具体的电路（物理模型）描述线性系统▲用微分方程（数学模型）描述线性系统▲可以用一些基本的运算器从数学意义上来模拟线性系统输入输出关系一、基本运算器（1）、加法器（3）、积分器（初值为0）（2）、标量乘法器（4）、积分器（初值不为0）§4.6.1线性系统的模拟方框图一、基本运算器（1）、加法器（2）、标量乘法器（3）、积分器（初值为0）（4）、积分器（初值不为0）二、系统模拟（零状态）一阶系统：§4.6.1线性系统的模拟方框图§4.6.1线性系统的模拟方框图这种根据微分方程作出的系统模拟框图称为直接型模拟框图。作直接型模拟框图的规律：1、框图中积分器的数目与系统的阶数相同；2、图中前向支路的系数就是微分方程右边的系数或系统函数分子多项式的系数；3、图中反馈支路的系数就是微分方程左边的系数或系统函数分母多项式的系数取负；4、复频域中的框图只要将时域框图中相应的变量换成复频域中的变量、积分器换成1/s。所以对于n阶系统，可以根据规律画出它的直接型模拟框图：§4.6.1线性系统的模拟方框图直接型模拟框图三、系统的级联与并联对H(s)进行因式分解，可分为r个子系统的级联或并联§4.6.1线性系统的模拟方框图分解时若零点和极点中有共轭复根、重根则保留因式作出直接型、级联型、并联型模拟框图。分解时若零点和极点中有共轭复根、重根则保留因式§4.6.2信号流图

信号流图主要由结点、支路和环组成。简化的模拟图梅森公式用上面的化简方法虽然总可以将流图化简为一条支路，最终求出总的传输值，但作图比较繁琐。而梅森公式则可以根据流图直接计算任意两个结点之间的传输值。梅森公式：§4.6.2信号流图其物理意义为流图表示的方程组的系数矩阵的行列式，常称为图行列式。Li——为第i个环的传输值。LiLj——为各个可能的互不接触的两个环的传输值之积。LiLjLk——为各个可能的互不接触的三个环的传输值之积。奇数个环取负号，偶数个环取正号。图形行列式Gk

——为正向传输路径的传输值。Δk

——为去除Gk后的Δ值，称第k种路径的路径因子关键：几个环及相互关系？几个正向传输路径？例1：关键：几个环及相互关系？几个正向传输路径？解：1、求Δ2、求Gk和Δk：例2：解：1、求Δ2、求Gk和Δk：主要内容：一.由极点（即系统特征方程的根）在S平面位置来判断系统稳定性§4.7系统稳定性判断

二.由系统特征方程系数（利用罗斯-霍维茨判据）判断系统稳定性§4.7系统稳定性判断

所谓系统稳定是指有限（有界）的激励只能产生有限（有界）的响应的系统。有限的激励也包括激励为零的情况。1、系统的稳定与冲激响应--零输入响应1、系统的稳定与冲激响应系统稳定的充分必要条件为:即h(t)绝对可积§4.7系统稳定性判断

不满足绝对可积条件sjwttttt0tH(s)的极点与冲激响应h(t)的对应关系1、若系统所有的极点都位于s平面的左半平面，则系统是稳定的。2、若系统有极点位于s平面的右半平面。则系统是不稳定的。3、若系统有极点位于虚轴上，且此极点是一阶的则系统是临界稳定的；此极点是多阶的则系统是不稳定的。§4.7系统稳定性判断

从Ｈ(s)极点的分布来判定：系统稳定：全部极点均位于s的左半平面上；系统临界稳定：在j轴上有单极点,其它极点均位于s的左半平面上。系统不稳定：至少有一个极点位于s的右半平面上或在jω轴上有重极点§4.7系统稳定性判断

举例§4.7系统稳定性判断

两个问题：一.由极点（即系统特征方程的根）在S平面位置来判断系统稳定性§4.7系统稳定性判断

二.由系统特征方程系数（利用罗斯-霍维茨判据）判断系统稳定性第一种方法要求：系统函数极点都在S平面的左边平面→即所有根实部为负→分母多项式各系数均为同号且不为零所以在特征多项式中系数不同号或有缺项，立即就可判定它有实部为非负的根，因而系统不稳定或临界稳定。必要非充分条件例如：系统的特征方程为虽然系数同号且没有缺项，但显然不能认为系统稳定。对于这种情况要用下面介绍得罗斯判据来判别。§4.7系统稳定性判断

系数不同号或有缺项为必要非充分条件根据H(s)分母系数特点来判断系统稳定情况不稳定，缺一阶可能稳定，可能不稳定需要继续使用罗斯判据不稳定，符号不一致不稳定，符号不一致，缺§4.7系统稳定性判断

要求所有根实部为负，则多项式各系数均为同号且不为零所以在特征多项式中系数不同号或有缺项，立即就可判定它有实部为非负的根，因而系统不稳定或临界稳定。必要非充分条件若

a0=0而其它系数不为零，则有一个根为零系统为临界稳定；若全部偶次项或奇次项系数为零，则所有根实部为零，说明所有根在虚轴上。此情况下如果是单阶根，系统为临界稳定。罗斯—霍维茨（Routh—Hurwitz）判据设它有n个根为p1,p2,…,pn系统的特征多项式写为：

§4.7系统稳定性判断

罗斯—霍维茨判据使用前提：分母系数同号且不缺项!系数不同号或有缺项，说明系统不稳定或临界稳定n阶系统可排出如下罗氏阵列第1、2行各元素为分母的各阶系数按顺排列第3行及以后各行的元素需要计算得到罗斯—霍维茨（Routh—Hurwit