第七章矩阵与线性方程组

第七章矩阵与线性方程组目录本章主要内容：行列式的概念行列式的性质矩阵的概念及运算矩阵的秩矩阵的逆线性方程组的解7-1

行列式的概念定义

7.1

用2

·

2

个数组成的记号a11

a12a21

a22表示数值a11a22

-a12

a21

，称为二阶行列式．即12

2111

2221

22=

a

a

-

a

a

，a

aa11

a12其中a11

,a12

,a21

,a22

称为行列式的元素，横排称为行列式的行，竖排称为行列式的列．7-1

行列式的概念定义

7.2

用3·3

个数组成的记号a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33，表示数值a21

a2323

33a21

a2231

32121332a22

a2333a11

a-

a+

aaa

aa

a，称为三阶行列式，即三阶行列式可以用二阶行列式来表示7-1行列式的概念根据定义1

可得：=

a11a22

a33

+

a12

a23a31

+

a13a21a32

-

a13a22

a31

-

a12

a21a33

-

a11a23a32

．a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33对于三阶行列式可按如下的对角线法则来记忆；下图中凡红线（实线部分）所联三个元素的积相加，减去凡蓝线（虚线部分）所联三个元素的积，它们的代数和就是三阶行列式的值．a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a337-1行列式的概念定义

7.3

用n

·

n

个数组成的记号naa11

a1221

a22a1na2nan1

an

2

annD

=

称为n

阶行列式．其中，每一个数aij

称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数aij

在第i

行；后一个下标j

称为列标，它表示这个数aij

在第j

列．所以aij

在行列式的第i

行和第

j

列的交叉位置上．为叙述方便起见，我们用(i,

j)

表示这个位置．

n

阶行列式

Dn

通常也简记作

aij

．n

阶行列式

Dn

也是一个数。n7-1行列式的概念ij定义

7.4

在n

阶行列式中将元素a

所在的第i

行与第

j

列划去，剩下(n

-1)2

个元素按原位置次序构成一个n

-1阶的行列式：

an1a1na11an,

j

-1

an,

j

+1

annai-1,nai+1,nai-1,

j

+1ai+1,

j

+1ai-1,

j

-1ai+1,

j

-1ai-1,1ai+1,1a1,

j

+1a1,

j

-1称之为元素aij

的余子式，记作M

ij

．令Aijij=(-1)i+j

M

，称A

之为元素aij

ij的代数余子式．7-1行列式的概念7-1行列式的概念定理

7.1

行列式

D

等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即a11

a12a21

a22a1na2n11

1112

121n

1n1k

1kan1

an

2

ann=a

A

+

a

A

++

a

A

=nk

=1D=

a

A

．

即n

阶行列式Dn

可以用它的n

个n

-1阶的行列式来定义．7-1

行列式的概念例

计算

4

阶行列式的值214a11a

a

a0

0

0a

a22

0

031

32

33

0a41

a42

a43

a44D

=7-1行列式的概念解214a11a

a

a0

0

0a

a22

0

031

32

33

0a41

a42

a43

a44D

==

a11

A11

+

a12

A12

+

a13

A13

+

a14

A14=

a11

A11

+

0

·

A12

+

0

·

A13

+

+0

·

A141111=

a

·(-1)1+1

Ma220

0a33

0a42

a43

a44=

a11

a32=

a11a22

a33a44

．7-2

行列式的性质定义

7.5

将行列式

D

的行、列互换后，得到新的行列式

DT

，

DT

称为

D

的转置行列式．即，若a11

a12a21

a22a1na2nan1

an

2annD

=

，则DT

=

a12a11

a21

an1a22

an

2

a1n

a2n

ann．7-2

行列式的性质性质

1

转置行列式与原行列式相等，即

DT

=

D

．例如a

b

a

cc d

=

b d

=

ad

-

cb

．性质

2

行列式的任意两行（列）互换，行列式的值变号．例如c

da

ba

bc

d=

bc

-

ad

．=-推论

1

若行列式中任意两行（列）相同，则行列式的值为零．证明

将

D

中相同的两行交换位置，所得的行列式仍是

D

．由性质

2

得

D

=

-D

，所以

D

=

0

．7-2

行列式的性质7-2

行列式的性质7-2

行列式的性质例

计算

D

=2501-1300020041-12．解

因为

D

中第三行只有一个非零元，所以按第三行展开32D

=

2

A

=

2

·(-1)3+2

·

-12

0

10

0

=

-2

·(-1)

=

2

．4

-1

2在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6．7-3

矩阵的概念及运算7.3.1

矩阵的概念定义

7.6

由m

·

n

个数排成的一个

m

行、n

列的矩阵数表，称之为m

行n

列矩阵，简称m

·

n

矩阵．矩阵常用大写拉丁字母A,B

,C

,

表示，21

222

na1n

a11

a12

aA

=

a

m

1

m

2

mn

a

aa

a

．

矩阵A

中的每个数aij

（

i

=1,2,,m

;j

=1,2,,n

）称为矩阵A

的元素．m

·

n

矩阵A

也可简记为A

=(aij

)m

·n

或Am

·n

．7-3

矩阵的概念及运算7.3.2

几种特殊的矩阵（1）零矩阵：所有元素全是零的矩阵称为零矩阵，记作O

或Om

·n

．如0

O

=

m·n

0

0

0

0

0

0

0

0

．7-3

矩阵的概念及运算7.3.2

几种特殊的矩阵行矩阵：只有一行元素的矩阵称为行矩阵，如A

=

(a1

a2

an

)．列矩阵：只有一列元素的矩阵称为列矩阵，如

b1

m

b

B

=

b2

．7-3

矩阵的概念及运算7.3.2

几种特殊的矩阵（4）

n

阶方阵：n

·

n

矩阵也称n

阶方阵，如21n

aA

=

a

n1

n

2nn

a

a

a11

a1222a1n2n

a

a7-3

矩阵的概念及运算7.3.2

几种特殊的矩阵对于一个n

阶方阵，a11

,a22

,,ann

称为主对角线上的元素．①主对角线以下元素全为零的方阵称为上三角形矩阵，如22n

a11

a12

0A

=

0nn

a

aa

1n2n

0

0

a

；②主对角线以上元素全为零的矩阵称为下三角形矩阵，如2122n

a11

aA

=

a

n1

n

2nn

0

0

0

a

0

0

a

a

；7-3

矩阵的概念及运算7.3.2

几种特殊的矩阵③除了主对角线上的元素，其余元素全为零的矩阵称为对角矩阵，如22n

a11

0A

=

0

00

nn

0

0

0

a

0

0

0

0

0

a

；④主对角线上的元素全相等的n

阶对角矩阵称为n

阶数量矩阵，如A

=

0

00

a

a

0

0 0

0

a

0 0

0

0

0

（

a

„

0

）；7-3

矩阵的概念及运算7.3.2

几种特殊的矩阵⑤如果n

阶数量矩阵中的元素a

=1

，则称该矩阵为n阶单位矩阵，记作In

，即0

In

=

0

1

0

0

0

1

0

1

11

或In

=1

，则n

阶数量矩阵An

可以写成An

=aIn

（

a

„0

）7-3

矩阵的概念及运算7.3.3

矩阵的相等定义

7.7

矩阵

A

=

(aij

)m·n

，

B

=

(bij

)s·t

，如果满足：①

m

=

s

,

n

=

t②

aij=

bij

(

i

=1,

2,,

m

;

j

=1,

2,,

n)

．则称矩阵A

与B

相等，记作A

=B

．7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的运算1.

矩阵的加法、减法定义

7.8

设

A

=

aij

m·n

,

B

=

bij

m·n

都是m

·

n

矩阵，称由

A

与

B

的对应元素相加所得到的m

·

n

矩阵C

=cij

m·n

为矩阵A

与B

的和，记作C

=

A

+

B

，其中cij

=

aij

+

bij

(i

=1,2,,

m;

j

=1,2,,

n)

．注意

只有行数与列数分别相同的两个矩阵才可以进行加法运算．7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的运算由矩阵加法的定义，容易验证矩阵的加法满足以下运算律：交换律：A

+B

=B

+A

；结合律：A

+(B

+C)=(A

+B)+C

；存在零矩阵：对任意矩阵A

，有A

+O

=A

；对任意矩阵A

，存在矩阵B

，使A

+B

=O

．7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的运算2.

数乘矩阵定义

7.9

用数k

乘以矩阵

A

的所有元素得到的新矩阵，称为矩阵

A

的数乘矩阵，记作

kA

，若A

=

(aij,

则

kA

=

(kaij

．m·n

m·nm·n

，称-A

为矩阵A

的负矩阵．则可得另可记-A

=-1

A

=(-aijkaij

m·n

=

k

(aij

)m·n

．运用用矩阵的加法和负矩阵的概念可以定义矩阵的减法运算．设A

=aij

m·n

,B

=bij

m·n

，那么A

-

B

=

A

+(-1)

B

=

aij

m·n

+

-

bij

m·n

=

aij

-

bij

m·n

．7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的运算数乘矩阵满足如下运算律：（1）

(k

+

l)

A

=

kA

+

lA

；（3）

k

(lA)

=

(kl)

A

；（2）

k

(

A

+

B)

=

kA

+

kB

；（4）1

A

=

A,

0

A

=

O

,

k O

=

O

．7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的运算例

设

A

=2

1

3

4

3

2 5

0

0

-1

,

B

=

1

1，求3A

-2B

．解

因为

3

9

12

6

4 10

,

2B

=

3

2

0

-

23A

=

6

0，所以3A

-

2B

=

5

=

3

-(-2)

49

-

4 12

-10

-

3

5

26

-

2 0

-

0

0

3

-

6．7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的运算定义7.10

设A

=aij

m·s

，B

=bij

s·n

，称m

·

n

矩阵C

=cijC

=

AB

，为矩阵A

与矩阵B

的积，记m·n作s其中cij

=aikbkj

=

ai1b1

j

+ai2b2

j

++aisbsj

（

i

=1,2,,

m;

j

=1,2,,

n

）．k

=17-3

矩阵的概念及运算

a21

x1

+

a22

x2

++

a2n

xn

=

b2

7.3.4矩阵的运算注意只有矩阵A

的列数等于矩阵B

的行数才能进行矩阵A

和B

的乘法运算；积矩阵C

的行数=矩阵A

的行数m

；积矩阵C

的列数=矩阵B

的列数n

．运用矩阵的乘法，线性方程组

a11

x1

+

a12

x2

++

a1n

xn

=

b1am1

x1

+

am

2

x2

++

amn

xn

=

bm可以表示成AX

=B

，其中mn

aa

a

m1

m

2a2n

a1n

a11

a12A

=

a21

a22

n

x

x1

m

b

，

X

=

x2

，

B=

b2

b1

7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的运算矩阵乘法有如下的运算律：结合律：(AB)C

=A(BC)；分配律：A(B

+C)=AB

+AC

，(A

+B)C

=AC

+BC

；k

(

AB)

=

(kA)B

=

A(kB)

；IA

=AI

=A

（

I

为单位矩阵）7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的转置定义7.11将矩阵A

的行变为相应的列所得到的新矩阵，称为矩阵A

的转置矩阵，记作AT

．21

a设A

=

a

m1

m

2a

a

a11

a1222a

a122n

，则ATam1

am2

=

a

mn

1n

2nmn

a

a

a1n

a11

a2122

a

a若A

为m

·

n

矩阵，则AT

为n

·

m

矩阵．如果A

是一个n

阶方阵，且AT

=A

，则称A

是n

阶对称方阵．如果A

是n

阶对称方阵，则必有=

a

ji

(

i,

j

=1

,

2

,,

n

)aij7-3

矩阵的概念及运算7.3.4矩阵的转置矩阵的转置有如下性质：（1）

AT

)T

=

A

；（3）

(kA)T

=kAT

(为常数)；（2）

(A

+

B)T

=

AT

+

BT

；（4）

(AB)T

=

BT

AT

．7-4

矩阵的秩矩阵的初等行变换定义

7.12

下面三种变换称为矩阵的初等行变换：交换矩阵的两行；用一个非零数乘以矩阵的某一行；矩阵的某一行加上另一行的k

倍．称变换（1）为对换变换（用记号r1

«r3

表示交换矩阵的第1行和第3

行）；称变换（2）为倍乘变换（用记号

k r3

表示数k

乘以第

3

行的所有元素）；称变换（3）为倍加变换（用记号

r4

k

r3

表示第

4

行所有元素加上第

3

行对应元素的k倍）．7-4

矩阵的秩7.4.2

阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵定义

7.13

满足以下条件的矩阵称为阶梯形矩阵：矩阵的零行（若存在）在矩阵的最下方；各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增大而严格增大．例如0

0

1

0

2 5

A

=

0

2

4

10

0，1

03

20

2

1

5 0

B

=

0

00都是阶梯形矩阵．7-4

矩阵的秩7.4.2

阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵定义

7.14

如果阶梯形矩阵还满足以下条件：各非零行的第一个非零元素都是1；所有第一个非零元素所在列的其余元素都是零，那么该矩阵称为行简化阶梯形矩阵．例如1

C

=

0

02

0

01

301

0

0

-2

1

0

1 2

1

0

10

1

0，

D

=

0都是行简化阶梯形矩阵．7-4

矩阵的秩7.4.2

阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵定理

7.2

任何矩阵经过一系列初等行变换可化成阶梯形矩阵，再经过一系列初等行变换可化成行简化阶梯形矩阵．注意：（1）矩阵的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是一个矩阵的阶梯形矩阵中非零行的个数是确定的；（2）矩阵的行简化阶梯形矩阵是唯一的．7-4

矩阵的秩7.4.3

矩阵的秩定义

7.15

矩阵

A

的阶梯形矩阵中非零行的个数，称为矩阵

A

的秩，记作秩

A

或

R(

A)

．定义

7.16

设

A

是一个n

阶方阵，如果

R(

A)

=

n

，那么称

A

为满秩矩阵，例如

-1

0

1

00

1

0

0

0

0

1

00

10

0

1

0 3

A

=

0

2 1

，

I4

=

000

，都是满秩矩阵．定理

7.3

任何满秩矩阵

A

都能通过初等行变换化成n

阶单位矩阵．7-5

矩阵的逆7.5.1

矩阵的逆的概念定义

7.17

对于矩阵

A

，若存在矩阵

B

，使得

AB=

BA

=

I，则称矩阵

A

可逆，并称矩阵

B

为矩阵

A

的逆矩阵，简称为

A

的逆，记为

A-1

，即

A-1

=

B

．显然，单位矩阵I

是可逆的，且I

-1

=I

．由定义知，若A-1

=B

，则B-1

=A

；可逆矩阵一定是方阵；可逆矩阵的逆必是惟一的．7-5

矩阵的逆7.5.2

矩阵的逆的性质性质

1

若

A

可逆，则

A-1

也可逆，且(A-1

)-1

=

A

；性质

2

若

A

可逆，则

AT

也可逆，且(AT

)-1

=

(A-1

)T

；性质

3

若

A

可逆，

k

„

0

，则kA

也可逆，且(kA)-1

=

1

A-1

；k性质

4

若n

阶矩阵

A

和

B

均可逆，则

AB

也可逆，且(AB)-1

=

B-1

A-1

．7-5

矩阵的逆7.5.3

矩阵可逆的判断定理

7.4

n

阶矩阵

A

可逆的充要条件是

A

为满秩矩阵，即

R(

A)=

n

．例如-1

0

1

4 0

A

=

0

2 3

0显然，R(A)=3

=n

，可见矩阵A

可逆．定理7.5设A

、B

都是n

阶方阵，如果AB

=I

,那么A

、B

可逆，且A-1

=B

，B-1

=A7-5

矩阵的逆7.5.4

矩阵的逆的求法（1）定义法例

求矩阵

A

=

1

01

-2

的逆矩阵．解

因为

R(

A)

=

2

=

n

，故

A

可逆．设

a b

A

=

c

d-1

，则有

=

0

1-1

1

-

2

a b

a

-

2c b

-

2d

1

0AA

=

=

0

1

c

d

cd7-5

矩阵的逆7.5.4

矩阵的逆的求法

a

-

2c

=1b

-

2d

=

0由矩阵相等的意义知c

=

0d

=1

a

=1b

=

2

c

=

0d

=1，所以

1

2-1A

=

．0 1

7-5

矩阵的逆7.5.4

矩阵的逆的求法（2）初等行变换法当可逆矩阵A

阶数较高时，利用定义来求其逆的计算量比较大．另一种求矩阵的逆的方法——初等行变换法．步骤：（1）将n

阶方阵

A

和与

A

同阶的单位矩阵

I

写成一个n

·

2n

矩阵(A

I

；（2）利用初等行变换将此新矩阵化成(I

B

，这里所得到的矩阵

B

就是

A

的逆，即B

=

A-1

．上面的过程可以简写成：I

A-1A

I初等行变换fi．7-6

线性方程组的解

ax

+

a

x

++

a

x

=

b22

2

2n

n

2

21

17.6.1

线性方程组的矩阵表示(1)系数矩阵与增广矩阵的概念线性方程组的一般形式如下：

a11

x1

+

a12

x2

++

a1n

xn

=

b1am1

x1

+

am

2

x2

++

amn

xn

=

bmAX

=

B

，可以表示成其中21a1n

A

=

a

m1

m2a

a

a11

a12

a22

mn

a

a

n

x

x

x1

m

b

b2n

，

X

=

2

，

B

=

b1

2

．7-6

线性方程组的解7.6.1

线性方程组的矩阵表示方程组的系数构成的m

·

n

矩阵A

，称为方程组的系数矩阵．对于方程组，称21m

2

mnb

ab

m1

m

b1

a

aA

=

(A

B)=

a11

a12

a22a1n2n

2

a

a为方程组的增广矩阵．一个矩阵的增广矩阵是惟一确定的；反过来，给定的增广矩阵惟一确定一个线性方程组．7-6

线性方程组的解

a22

2

2n

n

21

1x

+

a

x

++

a

x

=

07.6.1

线性方程组的矩阵表示当线性方程组中的常数项满足b1

=b2

=

=bm

=0

时，即

a11

x1

+

a12

x2

++

a1n

xn

=

0am1

x1

+

am

2

x2

++

amn

xn

=

0称它为齐次线性方程组，它的矩阵形式为AX

=07-6

线性方程组的解7.6.2

线性方程组解的判定~定理

7.6

设

A、A

分别是线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，那么~（1）线性方程组有惟一解的充要条件是R(A)=R(A)=n

；~（2）线性方程组有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A)<n

；~

~（3）线性方程无解的充要条件是R(A)„R(A)（或）

R(A)<R(A)．对齐次线性方程组来说，它的系数矩阵与增广矩阵的秩总是相等，所以它是永远有解的，X

=0

总是它的解，称为零解．7-6

线性方程组的解7.6.2

线性方程组解的判定推论

设

A

是齐次线性方程组的系数矩阵，那么齐次线性方程组只有零解的充要条件是R(A)=n

；齐次线性方程组有非零解的充要条件是R(A)<n

．7-6

线性方程组的解7.6.3

线性方程组解的求法定理

7.7

如果用初等行变换将线性方程组

AX

=

B

的增广矩阵(A

BAX

=B

与CX

=D

是同解方程组．化成C

D，那么方程组不难想到，当已知线性方程组有解时，要求解这个线性方程组，只要用矩阵的初等行变换将其增广矩阵A

=(A

B化为行简化阶梯形矩阵，再求由初等行变换得到的行简化阶梯形矩阵所确定的方程组的解，也就得到了原线性方程组的解．7-6

线性方程组的解7.6.3

线性方程组解的求法

2

x1

+

x

2

-

2

x3

+

3

x

4

=

0x1

+

x

2

+

x3

-

x

4

=

0例

解齐次线性方程组

3

x1

+

2

x

2

-

x3

+

2

x

4

=

0

．解1

32

A

=

3

2

1

-2 3

2

-11

1r

«

r2

1-1

23

1

1

1

-1fi

3

2

-11

-2

1

1

1

-1

-1

-4 5

0

02

1

05

1

1

1

-1-1

-4 5

-1

-4

00

r

(-3)

rr3

(-2)

r1

fi

0r3

(-1)

r2

fi

07-6

线性方程组的解7.6.3

线性方程组解的求法2(-1)

r

1

1

1

-1fi

0

1

4

-5

0

0

1

0

-3 4

fi

0

1

40

0

00

00

r1

(-1)

r2-5

，所以原方程组的通解为

x4=

c23

12

1

2=

c

x=

-4c+

5c

x设

x3

=

c1

,

x4

=

c2

,

则

x1

=

3c1

-

4c2

,

x2

=

-4c1

+

5c2

，

x1

=

3c1

-

4c2，（

c1

、c2

为任意常数）．本章小结1．行列式的概念与性质1）行列式的概念=

a11a22

-

a12

a21

，21

22（1）a

aa11

a12（2）

a21a11

a12

a13a22a31

a32

a33a23

=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a32

-a13a22a31

-a12a21a33

-a11a23a32

．a11

a12a22a1na2n11

11

12

121n

1n1k

1kn++

a

A

=

a

Ak

=1an1

an

2

anna（3）

D

=

21=a

A

+

a

A

（

Aij

表示元素aij

的代数余子式）本章小结2）行列式的性质性质

1

转置行列式与原行列式相等，即

DT

=

D

．性质

2

行列式的任意两行（列）互换，行列式的值变号．推论

1

若行列式中任意两行（列）相同，则行列式的值为零．性质

3

行列式中任一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的外面．推论

2

若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零．性质

4

若行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零．性质

5

若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和.性质

6

把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以

k

倍加到另一行（列），行列式的值不变．性质

7

行列式等于它任意一行的各元素与其对应的代数余子式