2021年2022年各地高考数学真题汇编：解析几何选择题

2021、2022年高考数学汇编：解析几何选择题

选择题

V-2V21

1.（2022•全国甲（文）T11）已知椭圆（7:三+方=1（。＞。＞0）的离心率为4,4分别为C

的左、右顶点，B为C的上顶点.若珂=则C的方程为（）

222-)

A.-------1-------=1B.—+-^-=1

181698

272

C.±+±=1D.—+)72=1

322

2.（2022•全国甲（理）T10）椭圆。：[+[=1（。＞/?＞0）的左顶点为4,点P,。均在C上,

a~b~

且关于），轴对称.若直线ARAQ的斜率之积为上，则c的离心率为（）

-4

A6

B.—C.1D.-

2223

3.（2022.全国乙（文）T6）设尸为抛物线C：C=4x的焦点，点A在C上，点8（3,0）,若|"|=忸月,

则|阴=（）

A.2B.2A/2C.3D.372

4.（2022.全国乙（理）T5）设尸为抛物线C:丁=4x的焦点，点4在C上,点5（3,0）,若|A月=忸目，

则|明=（）

A.2B.272C.3D.3亚

5.（2022.全国乙（理）Til）II.双曲线C的两个焦点为耳，居，以C的实轴为直径的圆记为。,

3

过耳作。的切线与C的两支交于M,N两点，且cosN6NE=g,则C的离心率为（）

A.@BlC.巫D.叵

2222

6.（2022•新高考I卷T11）已知O为坐标原点，点A（l,l）在抛物线C：/=2py（p>0）上，过点

3（（）,-1）的直线交C于P,。两点，则（）

A.C的准线为y=-lB.直线AB与C相切

C.\OP\-\OQ\>\OA^D.|BP|・|3Q|>|BA|2

7.（2022•新高考II卷T10）已知O为坐标原点，过抛物线。：丁2=2〃*（〃>0）的焦点/的直线与

C交于4,8两点，点A在第一象限，点M（p,0）,若|A用=|4W|,则（）

A.直线A3的斜率为26B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<\S0°

8.（2022.北京卷T3）若直线2X+N一「°是圆（x-aT+V=1的一条对称轴，则”（）

।1

A.-B.-----C.1D.—1

22

9.（2021•全国（文））点（3,0）到双曲线正一艺=1的一条渐近线的距离为（）

169

986

---

A.5B.55D.-

5

2

10.（2021•全国（文））设B是椭圆C（+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）

A.|B.V6C.V5D.2

11.（2021•全国）己知F「尸2是椭圆C：立+^=1的两个焦点，点M在C上，则|M&|•IMF?1的最

94

大值为（）

A.13B.12C.9D.6

12.（2021•浙江）已知a,bCR,ab>0,函数f（x）=Q江+b（xCR）.若/1（s—t）,f（s）,f（s+t）成等

比数列，则平面上点（s,t）的轨迹是（）

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

13.（2021•全国（理））已知是双曲线C的两个焦点，尸为C上一点，且41P尸2=60。,由&|

3|PFzl，则C的离心率为（）

A.2LLB.西c.V7D.V13

22

14.(2021.全国(理))设B是椭圆C$+£=l(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足

\PB\<2b,则C的离心率的取值范围是()

A.孝,1)B,i,l)C,。丹D.0,1

15..(2021♦全国)在正三棱柱48。一4当6中，4B=Aa=1,点P满足乔=2正+〃两，其中

2e[0,1],HE[0,1],则()

A.当4=1时，△AB/的周长为定值

B.当”=1时，三棱锥「一力出。的体积为定值

C.当;1=：时，有且仅有一个点P,使得&PJ.BP

D.当〃=：时，有且仅有一个点P,使得A8_l_平面48小

16.(202(全国)已知点P在圆(万一5尸+。-5)2=16上，点4(4,0)、B(0,2),则()

A.点P到直线的距离小于10

B.点P到直线4B的距离大于2

C.当NPB4最小时，|PB|=3V2

D.当/PB4最大时，|PB|=3V2

答案及解析

1.【答案】B

【详解】解：因为离心率e=£=Ji—4=L解得4=§,b2=-a2,

a\a23Y99

4，4分别为C左右顶点，则A(—a,0),4(a,0),

B为上顶点，所以8(0/).

所以瓯=(—。，―份,购=3—份，因为斯•两=一1

Q

所以_。2+〃=一1，将/代入，解得/=9/2=8,

9

故椭圆的方程为三+父=1.

98

2.【答案】A

【详解】解：A(-«,0),

设尸(玉，y),则。(一看，乂)，

则3俳"y

—X]+CL

故心此。=合X_凶2=1

—X1+ci—玉一+矿4

22

哼+张=1,则y2

=~~

222

b(a-x})

所以“2=1即

a24

-%,2+a24

所以椭圆C的离心率e=£=

3.【答案】B

【详解】由题意得,尸(1,0),则|A同=忸同=2,

即点A到准线x=-l的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，A(l,2),

所以|=J(3-+(()-21二20.

4.【答案】B

【详解】由题意得，尸(LO),^\AF\=\BF\=2,

即点A到准线％=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，A(l,2),

所以|A@=J(3-1『+(()-2『=272.

5.【答案】C

【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在光轴，设过耳作圆。的切线切点为G，

3

所以。G_LN£,因为cosNENE=g>0,所以N在双曲线的右支，

所以|OG卜a,周=c,⑻用“，设NF\NF?=a,5心=0,

33^4.。b

由cos/耳Ng=—,即cosa=—,则sina=—,siny?=—,cos/?=—,

在中，sinZfJ=sinsin(cr+yff)

=sinacos^+cos«sin^=4x^+3x£=3£14b

5c5c5c

2c|N用=5c

由正弦定理得幽

sincrsinpsin小眇口

所以|N£|=^sinN耳玛N=x':皿=3a+4b|NR|=*in£音x@言

3Q+4〃5a4b-2a.

又加耳|-加局—=---------=2a,

222

1a

所以2b=3Q,即一=—,

a2

所以双曲线的离心率

6.【答案】BCD

【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2。，所以抛物线方程为无2=y,故准线方程为y=-1,

4

A错误；

%"二-=2,所以直线A5的方程为y=2x-l,

1—0

y=2x-l

联立｛,，可得f—2x+l=0,解得x=l,故B正确；

%=y

设过区的直线为/,若直线/与>轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为丁=履一1,夕（不X）,。（々，必），

、［y=kx-\

联立〈，得/一五+1=0，

x2=y

△=/一4〉0

所以<+x2=k，所以女>2或Z<—2,%％=（再=1，

XjX2=1

又|CP|==Jy+y2,|。。|=++£'

所以|OP|•|。。|=&%（1+凹）（1+必）=>/依x"2=|%|>2=|Q4F,故C正确；

因为|3P|=Jl+二|xj,|BQ|=V17F|x21-

所以|3尸|"30|=(1+%2)|%人|=1+女2>5,而|BA『=5,故D正确.

7.【答案】ACD

【详解】

对于A,易得/g,0）,由|A尸|=|4W|可得点人在尸”的垂直平分线上，则A点横坐标为

P,

—Pn

23P,

2T

乖）P

代入抛物线可得丁=2〃・型=3〃2,贝|j，包），则直线A3的斜率为。2=2瓜

4223/?/?

T-2

A正确;

L1

对于B,由斜率为2n可得直线A6的方程为x=］而y+,P，联立抛物线方程得

V一白刀一/=0,

2

设8（X1，X）,则则弘=一圆，代入抛物线得

=2p-x/解得

263

对于D,3.丽=(张冬)%一等)争当1季卜一/<0,则ZAO5

为钝角,

AAMB为钝角,

又ZAOB+ZAMB+ZOAM+NOBM=360，则ZOAM+ZOBM<180>D正确.

8.【答案】A

【详解】由题可知圆心为(。,0),因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2。+0—1=0,

解得a=L

2

9.A

【分析】

首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【解析】

由题意可知，双曲线的渐近线方程为：5-9=0,即3x±4y=0,

结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离：d=禺=

10.A

【分析】

2

设点P(x0,yo)，由依题意可知，8(0,1)，今+尤=1,再根据两点间的距离公式得到|PB『,然后

消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.

【解析】

设点P(xo，yo)，因为B(0,l),a+/=1,所以

222

\PB\=%o+Oo-I)=5(1-yo)+(y。-l)=-4yo-2y0+6=-4(如一+y-

而一lWyoWl,所以当,()=泄，|PB|的最大值为|.

11.C

【分析】

2

本题通过利用椭圆定义得到|MF1|+|MF2|=2a=6,借助基本不等式IMF/•\MF2\<(吵电包)

即可得到答案.

【解析】

由题，a2=9,b2=4,则IMF/+IMF?]=2a=6,

所以IMF/.\MF2\<(IM""]=9(当且仅当〔MF/=\MF2\=3时，等号成立).

12.C

【分析】

首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【解析】

由题意得/(sT)f(s+f)="(s)]2,即[a(s7)2+可[如+1)2+可=(/+,

对其进行整理变形：

(as2+at2-2ast+6)(as2+at2+2ast+b)=(as2+b)2,

(cz52+at~+b^-Qasr)?一(ad+0)=0,

(2tzs2+at2+2b^at2-4a2s2t2=0,

-2a2s2r+a2t4+2abr=0，

所以一2心2+。产+2匕=0或t=0,

二J

其中8丝一为双曲线，t=0为直线.

aa

13.A

【分析】

根据双曲线的定义及条件，表示出IPFJIPF2I,结合余弦定理可得答案.

【解析】

因为|PFi|=3\PF2\,由双曲线的定义可得|PFII—IPF2I=2\PF2\=2a,

所以|PFzl=a,|PF/=3a；

因为/月程=60°,由余弦定理可得4c2=9。2+a?-2x3a•a•cos60°,

整理可得4c2=7次，所以0241即e=?

14.C

【分析】

设P(与,yo)，由B(o,b),根据两点间的距离公式表示出|PB|,分类讨论求出|PB|的最大值，再构建

齐次不等式，解出即可.

【解析】

设P(x0,yo),由B(0,b),因为马+驾=1,a2=b2+c2,所以

|PB|2=以+仇一b)2=a2(1-+仇_b)2=_鼠%+9+^+a2+b2>

因为—bWyoWb,当一捺即人22©2时，|P端叱即iPBLax，符合题意，由b22c2可得

a2>2c2,即0<e<—；

-2

当一4>-b,即b2<c2时，9口岑:即与+a2+X”川，化简得，(02一〃)2口，显然该不

c2\PB\maxcZ

等式不成立.

15.BD

【分析】

对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数;

对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数.

【解析】

易知，点P在矩形BCCiBi内部（含边界）.

对于A,当4=1时，丽=就+4西=近+”西，即此时P6线段CG，ZiMBiP周长不是定值,

故A错误；

对于B,当〃=1时，=%或+西=西+XB1C1，故此时P点轨迹为线段B|G，而B1ci〃BC,

BiG〃平面&BC