2021年安徽省黄山市黟县渔亭中学高三数学理月考试题含解析

2021年安徽省黄山市黟县渔亭中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某公司一年需分x批次购买某种货物，其总运费为万元，一年的总存储费用为x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则批次x等于(

)A．10 B．11 C．40 D．41参考答案：B【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】利用条件，求出函数的解析式，通过基本不等式求解x的值．【解答】解：总运费与总存储费用之和，，于是，当，即x=11时取等号，故选：B．【点评】本题考查函数的解析式的求法，以及基本不等式的应用，考查计算能力．2.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(

)A．

B．C．

D．参考答案：D3.M是正方体的棱的中点，给出下列命题：①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.其中真命题是（

）A．②③④

B．①③④

C．①②④

D．①②③参考答案：C略4.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.若命题是假命题，则实数a的最小值为(

)

A.2

B．

C．-2

D．-6参考答案：D略6.若x，y∈[﹣，]，且xsinx﹣ysiny＞0，那么下面关系正确的是(

)A．x＞y B．x+y＞0 C．x＜y D．x2＞y2参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系；不等式的基本性质．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】构造函数f（x）=xsinx，判断f（x）在[﹣，]上的增减性和对称性，画出函数草图，结合图象即可得出答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，则f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），∴f（x）是偶函数．∵f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈（0，]时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，]上是增函数，∵f（x）是偶函数．∴f（x）在[﹣，0）上是减函数，且f（0）=0，做出函数f（x）图象如图所示∵xsinx﹣ysiny＞0，即xsinx＞ysiny，∴f（x）＞f（y），由图象可知|x|＞|y|，即x2＞y2．故选D．【点评】本题考查了利用函数单调性和奇偶性比较大小，属于基础题．7.在直三棱柱中，，二面角的大小等于，到面的距离等于，到面的距离等于，则直线与直线所成角的正切值等于（

）A.

B.

C.

D.2参考答案：A8.已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（

）A．

B．C．

D．参考答案：【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。由图易得取特殊点

.答案：A9.在平面直角坐标系中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率，则线段PF的长为（

）A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：C∵抛物线的方程为∴焦点，准线的方程为.∵直线AF的斜率∴直线AF的方程为，当时，，即.∵为垂足∴P点的纵坐标为，代入到抛物线方程得，P点的坐标为.∴故选C.10.在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内恰有两个点在圆(r>0)上，则A．＝0，＝

B．＝1，＝1C．＝－1，＝

D．＝－1，＝参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为

．参考答案：略12.已知实数满足，求的取值范围

．参考答案：

13.设集合P={x|（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是

．参考答案：3考点：定积分；子集与真子集．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分公式，求出集合P，即可得到结论．解答： 解：（3t2﹣10t+6）dt=（t3﹣5t2t+6t）|=x3﹣5x2+6x=0，即x（x2﹣5x+6）=0，解得x=0（舍去）或x=2或x=3，即集合P={2，3}．∴集合P的非空子集为{2}，{3}，{2，3}．故答案为：3．点评：本题主要考查积分的计算依据集合子集个数的判断，比较基础．14.在正四面体P-ABC中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的表面积为

．参考答案：6π

15.如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出下列函数:①;②;③;④.以上函数是“函数”的所有序号为

.参考答案：②③16.中，若，，则____________.参考答案：试题分析：由，得，由及正弦定理，大边对大角得到为锐角，则，故，故答案为.考点：两角和与差的余弦函数.【方法点晴】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及诱导公式化简求值，是一道中档题．学生容易在求时考虑不周全而得到两种情况导致出错．由和的值利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求的式子利用诱导公式和两角和的余弦函数公式化简后，把和的值代入即可求出值．17.不等式解集为(1,+∞),则不等式的解集为___________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数，，且存在两个极值点、，其中.（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值；（3）证明不等式：.参考答案：（1）；（2）；（3）详见解析.

由图像可得∴实数的取值范围是.…3分考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数求函数的极值的一般方法：求函数的极值的方法：（1）求导数；（2）求方程的根（临界点）；（3）如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极大值；如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极小值.

19.如图所示，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆在第一象限上的点，且轴，（1）若，求椭圆的离心率；（2）若线段与轴垂直，且满足，证明：直线与椭圆只有一个交点.参考答案：（1）因为，又，则，所以由勾股定理得，即，所以离心率（2）把代入椭圆得，即,所以，又所以，即，故，则直线AB的斜率，则直线AB方程为，整理得

联立消去y得：，易得△故直线AB与椭圆只有一个交点.20.如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是线段PC的中点．（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角F－DE－B的正弦值为，求的值．

参考答案：（1）；（2）．

因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP，不妨设DA＝DC＝DP＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)．因为E是PC的中点，所以E(0，1，1)．所以＝(－2，0，2)，＝(－2，－1，1)，所以cos<，>＝＝，从而<，>＝．因此异面直线AP与BE所成角的大小为．

………4分考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角．21.如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（I）求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．参考答案：解：（I）由，（*）因为直线与抛物线C相切，所以解得b=-1。（II）由（I）可知，解得x=2，代入故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即所以圆A的方程为22.为了解甲、乙两种产品的质量，从中分别随机抽取了10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图所示是测量数据的茎叶图.规定：当产品中的此中元素的含量不小于18毫克时，该产品为优等品.（1）试用样品数据估计甲、乙两种产品的优等品率；（2）若从甲、乙两种产品的优等品中各随机抽取1件，抽到的2件优等品中，“甲产品的含量28毫克优等品必须在内，且乙产品的含量28毫克优等品不包含在内”为事件，求事件的概率.参考答案：（Ⅰ）从甲产品抽取的件样品中优等