不定积分-定积分复习题及答案

#上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：(每小格3分，共30分)sinx1、设为f(x)的一个原函数，且a*0,xf(ax)则J^—--dx应等于(asinaxsinaxsinaxsinax(A)+C；(B)+C；(C)+C；(D)+Ca3xa2xaxx2、若泌在(―巩+8)上不定积分是F(x)+C,则F(x)=()Iex+c,x>0Iex+c,x>0(A)F(x)=1e-x+c2,x<0；(B)F(x)=1e-x+c+2,x<0Iex,x>0Iex,x>0(C)F(x)=<；(D)F(x)={［一e-x+2,x<0［一e-x,x<01,x>03、设f(x)=<0,x=0,F(x)=-1,x<0Jxf(t)dt，则(0(A)F(x)在x=0点不连续;(B)F(x)在(-8,+8)内连续，在x=0点不可导;(C)F(x)在(-8,+8)内可导，且满足F'(x)=f(x)；(D)F(x)在(-8,+8)内可导，但不一定满足F'(x)=f(x)。Jxtsintdt4、极限lim0=(x-oJxt2dt0(A)－1；(B)0；(C)1；(D)25、设在区间［a,b］上f(x)>0,f'(x)<0,f〃(x)>0。令s=Jbf(x)dx,1as=1［f(a)+f(b)］(b-a)，则()32s2=f(b)(b-a)(A)s<s<s；(B)s<s<s；(C)s<s<s；123213312(D)s<s<s231二、填空题：(每小格3分，共30分)1、设f(x)的一个原函数是e-2x，则它的一个导函数是2、设J2f(x)dx=1,f(2)=2，则J1xf'(2x)dx=。003、已知f'(ex)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=4、函数4、函数F(x)=>0)的单调减少区间为2、计算Jxtan2、计算Jxtan2xdx3、设x>1，求Jx(1-tt\)dt-i、11+x2,x<04、设f(x)=1八Ie-x,x>0求J3f(x-2)dx15、由曲线y=x2与y=xx所围平面图形的面积为。三、计算题(第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分)(1+x)2[1、计算J1、x(1+x2)5、6、计算J+"1dx1x<x-1J1ln(15、6、计算J+"1dx1x<x-17、已知曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线W2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三队连续导数，计算定积分J3(x2+x)f"'(x)dx。0四、解答题(本题10分)设f(x)连续，叭x)=J1f(xt)dt，且limf(x)=A(A为常数)，求6(x)，并讨论6(x)0xf0x在x=0处的连续性。五、应用题(本题6分)设曲线方程为y=e-x(x>0)，把曲线y=e-x,x轴、y轴和直线x=己&>0)所围平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体。(1)旋转体体积V&)；(2)求满足V(a)=:limV色)2自f+8的a值。六、证明题(6分)设f(x)在［a,b］上连续且单调增加，证明：不等式Jbxf(x)dx>a-+bJbf(x)dx。a2a

不定积分、定积分测验卷答案一．选择题：（每小格3分，共30分）1、（A）sinax1、（A）sinax2、（C）a3xF(%)=ex,x>0一e-x+2,x<04、（C）1；1、解：Jd」(1x(1+x2)x4、（C）1；1、解：Jd」(1x(1+x2)x2、解：Jxtan2xdx=Jx(sec2x-1)dx=Jxdtanx-Jxdx=xtanx-Jx2tanxdx--23、x2=xtanx+lncosx--+c2I1+1,-1<t<0解：被积函数f(tI]—,0<t…，当-1<x<0时，原式=Jx(1+1)dt=1(1+x)2；-12当x>0时，原式=J0(1+1)dt+Jx-1(1-1)dt=1-1(1-x)2°24、解：J3f(x-2)dx旦二J1f(t)dt=J0(1+12)dt+J11-15、解：J1ln(1+x)dx=J1ln(1+x)d(0(2-x)20-11--)=ln(1+x)2-xJ10(1+x)(2-x)dx3、（B）F（x）在（一8,+s）内连续，在x=0点不可导;5、(B)s<s<s。213二、填空题：（每小格3分，共30分）1、一个导函数是f（x）=4e-2x。2、J1xf'（2x）dx=3。043、f（x）=—（lnx）2。4、单调减少区间为（0，五）。5、。°4IJ三、计算题（第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）2+1)dx=ln|x|+2arctanx+c11111=ln2--J1(+)dx=ln20302-x1+x36、解：因为limf(x)=8,所以x=1为瑕点，因此该广义积分为混合型的。X-1+181dx=\2—dx+J+8—dx=I+1TOC\o"1-5"\h\z1x弋x-11xv'x-12x<x-1122[21/x-1=t2[22油今+，兀I=J2——==dx====22=2arctanx1二一11x^x-r1(12+1)t02I=J+8—1=dx=J+82td—==2arctanx+«=2(--—)；22xjx-r1(1+12)t124所以J+81dx=I+1=-。1x弋x-1127、解：按题意，直接可知f(0)=0,f(3)=0,f〃(3)=0(拐点的必要条件)。从图中还可求出y=f(x)在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为y=2x,y=-2x+8。于是f(0)=2,f(3)=-2。所以J3(x2+x)f'"(x)dx=J3(x2+x)df"(x)=(x2+x)f"(x)3-f3f"(x)(2x+1)dxTOC\o"1-5"\h\z0000=-f3(2x+1)df\x)=-(2x+1)f'(x)3+2f3f(x)dx=-7f(3)+f(0)+2f(x)30000=-7-(-2)+2+2-(2-0)=20。四、解答题（本题10分）解：因为lim/^=A，故limf(x)=0，而已知f(x)连续，limf(x)=f(0)=0；x-0所以T(x)=0,所以T(x)=0,由于3(x)=f1f(xt)dt，令u=xt，当t:0—1时，有沅:0—x，du=xdt；1f1fxf(u)duf(u)—du=—0xx当x牛0时，有叭x)=f1f(xt)dt=f0(当x=0时，有p(0)=f1f(0)dt=0；0

xf(x)-Jxf(u)du当x牛0时，有8xf(x)-Jxf(u)du当x牛0时，有8(x)=0x2当x二0时，lim8(x)-8(0)二lim皿二lim1f(.二limx-0x-0x-0xx-0x2x-0f(x)二A所以8(x)=〈xf(x)-Jxf(u)du0,x牛0x2又因为lim9'(x)=limxf(x)-Jxf(u)duf(x)0二limG——x2x-0xJxf(u)du

_0x2A—„所以lim8(x)=8(0)=—，即8(x)在x=0处连续。x—02五、解:应用题(本题6分)(1)V&)=J&兀y2dx=J&兀(e-x)2dx=—(1-e-2&)；002兀111兀兀(2)V(a)=—(1-e-2a)，于是V(a)=_limV&)=—•lim—(1-e-2&)=22&-+s2j+s24六、证:兀一1一”兀故亍(1-e-2a)=—limV&)=22自—+s4证明题(6分)xa+xxx设F(x)=Jtf(t)dtJf(t)dta2a1na=—ln2。2因为f(x)在［a,b］上连续，所以F'(x)=xf(x)-1Jxf(t)dt-a+xf(x)=x+af(x)-1Jxf(t)dt=1Jx[f(x