2020年初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)

2020年初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)

、启东教育精心教学启东教育提供了一份学科教师辅导讲义，其中包括了二次函数试题。以下是其中的选择题和填空题：选择题：1.若y=(m-2)x^2-m是关于x的二次函数，则m=（）A.-1B.2C.-1或2D.m不存在2.下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)模型的是（）A.在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B.我国人口自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C.矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D.圆的周长与半径之间的关系4.将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x^2，则抛物线的解析式是（）A.y=-(x-2)^2+2B.y=-(x+2)^2+2C.y=-(x+2)^2+2D.y=-(x-2)^2-25.抛物线y=x^2-6x+24的顶点坐标是（）A.(-6,-6)B.(-6,6)C.(6,6)D.(6,-6)6.已知函数y=ax^2+bx+c，图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个A.-1B.2C.3D.47.函数y=ax^2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，），则y=abc的值是（）A.-1B.1C.2D.-28.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象如图所示：其中，A、B、C、D分别表示以下哪个函数？A.y=ax+c，y=ax^2+bx+cB.y=ax+c，y=-ax^2+bx+cC.y=-ax+c，y=ax^2+bx+cD.y=-ax+c，y=-ax^2+bx+c填空题：13.无论m为任何实数，总在抛物线y=x^2+2mx+m上的点的坐标是（）。答案：（m,m）16.若抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，最小值为-2，则关于方程ax^2+bx+c=-2的根为（）。答案：（3,0）和（1,0）17.抛物线y=(k+1)x^2+k^2-9开口向下，且经过原点，则k=（）。答案：2解答题：1.已知二次函数y=x+bx+c的图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，-1）。（1）求此二次函数的解析式。解：由题意，该二次函数的顶点坐标为（1，-2）。因为对称轴为直线x=1，所以有b=-2a。又因为经过点（2，-1），所以有-1=2a+b+c。解得a=1，b=-2，c=1。因此，该二次函数的解析式为y=x-x^2+1。（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积。解：首先求出BC的坐标，由y=x-x^2+1得x^2-x+1/4=(x-1/2)^2-1/4，所以顶点坐标为（1/2，3/4），即BC的中点坐标为（1/2，3/4）。设点E的横坐标为x，纵坐标为y，则△EBC的面积为S=1/2(x-1/2)(x-x^2+1/4-3/4)=-1/2x^3+3/4x^2-1/8。对S求导数，得S'=(-3/2)x^2+3/2x=3/2x(-x+1)。令S'=0，解得x=0和x=1，因此，E的横坐标为0或1。当x=0时，E的纵坐标为y=1，当x=1时，E的纵坐标为y=1/4。因此，△EBC的面积最大值为1/8，当E的坐标为（1，1/4）时取得。2、在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，4)，顶点为（1，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与y轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使得△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2＋3bx＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．4、已知抛物线y＝（1/2）x2－mx＋2m－7/2．（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．5、如图，抛物线y＝mx2－11mx＋24m(m＜0)与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．（1）填空：OB＝4/|m|，OC＝24/|m|；9、如图，已知关于$x$的二次函数$y=-(x+m)(x-3m)$的图像的顶点为$M$，与$x$轴的交点为$A$和$B$，与$y$轴正半轴的交点为$D$。以$AB$为直径作圆，圆心为$C$。已知点$E$的横坐标为$-3$，连接$ED$。（1）求点$A$、$B$、$D$的坐标；（2）当$m$取何值时，点$M$在直线$ED$上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当$m$变化时，用$m$表示三角形$AED$的面积$S$，并在给出的直角坐标系中画出$S$关于$m$的函数图像的示意图。10、已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，与$x$轴的交点为$A$和$B$。与$y$轴的交点为$C$，其中点$A$的坐标为$(1,0)$，点$C$的坐标为$(0,-3)$。（1）求抛物线的解析式；（2）若点$P$在抛物线上运动（点$P$不为点$A$）。①当$\trianglePBC$的面积等于$\triangleABC$的面积时，求点$P$的坐标；②当$\anglePCB=\angleBCA$时，求直线$CP$的解析式。解析：9、（1）将函数$y=-(x+m)(x-3m)$展开得$y=-x^2+(2m)x-3m^2$，由顶点公式可知，顶点坐标为$M(1-m,-2m^2)$，将$x$轴代入得$A(3m,0)$和$B(-m,0)$，将$y$轴正半轴代入得$D(0,3m^2)$。（2）当点$M$在直线$ED$上时，$M$的纵坐标为$0$，代入顶点坐标得$-2m^2+m+1=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。此时直线$ED$与圆相切。（3）三角形$AED$的底为$AE=4$，高为$3m^2$，因此$S=\frac{1}{2}\times4\times3m^2=6m^2$。$S$关于$m$的函数图像为开口向上的抛物线，顶点坐标为$(\frac{1}{2},3)$。10、（1）由对称轴公式可知，抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+c$。由已知条件得，$a=-\frac{1}{19}$，代入点$C$的坐标得$c=-\frac{17}{19}$，因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{19}(x-2)^2-\frac{17}{19}$。（2）①由题意可得，点$P$的纵坐标为$17$或$-17$，代入抛物线的解析式得$x=1\pm\sqrt{19}$。因为点$P$不为点$A$，所以点$P$的坐标为$(1+\sqrt{19},17)$或$(1-\sqrt{19},-17)$。②由已知条件可得，$\trianglePBC$与$\triangleABC$的高相等，因此点$P$在对称轴上。设点$P$的坐标为$(x,y)$，则直线$CP$的解析式为$y+3=\frac{1}{2}(x-2)^2$。解方程组得到y=x-3和y=1/2x^2-3/2x+5/2，因此点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（2，5）。当x=3时，y=x-1=2，因此点D的坐标为（3，2）。设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，5/2），因此AE=BE=3，DE=CE=2。假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，因此P与点B重合。但是AP=6，CD=4，因此AP≠CD，所以抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形。（Ⅰ）设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3+n。直线CD与直线y=x-1交于点M（3+n，2+n）。又因为D的坐标为（3，2），C的坐标为（3，-2），因此D通过向下平移4个单位得到C。因为C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，所以四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形。（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形时，M向下平移4个单位得到N，因此N的坐标为（3+n，n-2）。又因为N在抛物线y=(1/2)x^2-3/2x+5/2上，因此n-2=(3+n)^2/2-3(3+n)+5/2，解得n=2。（ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形时，M向上平移4个单位得到N，因此N的坐标为（3+n，n+6）。又因为N在抛物线y=(1/2)x^2-3/2x+5/2上，因此n+6=(3+n)^2/2-3(3+n)+5/2，解得n=1+17。（Ⅱ）设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3-n。直线CD与直线y=x-1交于点M（3-n，2-n）。又因为D的坐标为（3，2），C的坐标为（3，-2），因此D通过向下平移4个单位得到C。因为C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，所以四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形。（ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形时，M向下平移4个单位得到N，因此N的坐标为（3-n，-2-n）。又因为N在抛物线y=(1/2)x^2-3/2x+5/2上，因此-2-n=(3-n)^2/2-3(3-n)+5/2，解得n=3。经过计算，只有（ⅰ）中的n=2和（ⅱ）中的n=1+17符合题意，因此CD向右平移2个单位或向左平移17个单位可以使四边形ACPD成为平行四边形。设直线BG的解析式为y=kx+b，解得k=-1，b=1，因此直线BG的解析式为y=-x+1。已知点P（3+√2，-2-√2）或P（3-√2，-2+√2），因此点P的坐标为（3+√2，-2-√2）或（3-√2，-2+√2）。由完全平方式展开可得y=-1/9(x+1.5)2+9/4，因此对称轴为x=-1.5。令y=-1/9(x+1.5)2，解得x=3或x=6，因此点E的坐标为（-6，9/4）或（-3，9/4）。点E、D关于直线x=-1.5对称，因此QE=QD，|QE-QC|=|QD-QC|。为使|QE-QC|最大，延长DC与x=-1.5相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=-1.5的交点。由于M为BC的中点，因此C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，代入C、D两点的坐标得k=-1，b=3，因此直线CD的解析式为y=-x+3。当Q在（-1.5，4.5）的位置时，|QE-QC|最大。过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=CF2+DF2=22+22=2。（1）由y=0得ax2-2ax-3a=0，解得x1=-1，x2=3，因此点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）。（2）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，因此C（0，-3a）。又因为y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得D（1，-4a）。因此DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，因此-a=1，因此a=-1，因此C（0，3），D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，代入C、D两点的坐标得k=1，b=3，因此直线CD的解析式为y=x+3。（3）存在。由（2）得E（-3，0），N（-0.5，3.5）。因此F（-1.25，1.75），EN=√10.作MQ⊥CD于Q，设存在满足条件