2023年陕西省宝鸡市金台高级中学高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设函数的图象为，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期是B．图象关于直线对称C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到D．函数在区间上是增函数2．已知某区中小学学生人数如图所示，为了解学生参加社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查。若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的人数为（）A．30 B．40 C．70 D．903．用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（）A． B．， C．， D．，4．已知向量，若，则的最小值为（）.A．12 B． C．16 D．5．若各项为正数的等差数列的前n项和为，且，则（）A．9 B．14 C．7 D．186．已知直线l的方程是y＝2x＋3，则l关于y＝－x对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0 B．x－2y＝0C．x－2y－3＝0 D．2x－y＝07．已知向量，且，则的值为（）A． B． C． D．8．已知向量，若，则（）A．1 B． C．2 D．39．实数数列为等比数列，则（）A．-2 B．2 C． D．10．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是__________小时.12．不等式有解，则实数的取值范围是______.13．在四面体A-BCD中，AB＝AC＝DB＝DC＝BC，且四面体A-BCD的最大体积为，则四面体A-BCD外接球的表面积为________．14．若，点的坐标为，则点的坐标为.15．已知，则16．在中，已知，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为____________①②③④三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，.（1）①证明：；②证明：存在点P使得.并求出P的坐标；（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.18．已知数列中，．.（1）写出、、；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．19．已知数列满足,,设.(1)求,,;(2)证明:数列是等比数列,并求数列和的通项公式.20．数列中，，，数列满足.（1）求数列中的前四项；（2）求证：数列是等差数列；（3）若，试判断数列是否有最小项，若有最小项，求出最小项.21．在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，且的面积为.（1）求的值；（2）求的周长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

利用函数的周期判断A的正误；通过x=函数是否取得最值判断B的正误；利用函数的图象的平移判断C的正误,利用函数的单调区间判断D的正误．【详解】对于A，f（x）的最小正周期为π,判断A错误；对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1，∴选项B正确；对于C，把的图象向左平移个单位，得到函数sin[2（x+）]=sin(2x+，∴选项C不正确．对于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒为增函数，∴选项D错误；故选B．【点睛】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．2、C【解析】

根据高中抽取的人数和高中总人数计算可得抽样比；利用小学和初中总人数乘以抽样比即可得到结果.【详解】由题意可得，抽样比为：则小学和初中共抽取：人本题正确选项：【点睛】本题考查分层抽样中样本数量的求解，关键是能够明确分层抽样原则，准确求解出抽样比，属于基础题.3、D【解析】

根据题意验证，，时，不等式不成立，当时，不等式成立，即可得出答案.【详解】解：当，，时，显然不等式不成立，当时，不等式成立，故用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为，故选：.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．4、B【解析】

根据向量的平行关系，得到间的等量关系，再根据“”的妙用结合基本不等式即可求解出的最小值.【详解】因为，所以，所以，又因为，取等号时即，所以.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最小值，难度一般.本题是基本不等式中的常见类型问题：已知，则，取等号时.5、B【解析】

根据等差中项定义及条件式,先求得.再由等差数列的求和公式,即可求得的值.【详解】数列为各项是正数的等差数列则由等差中项可知所以原式可化为,所以由等差数列求和公式可得故选:B【点睛】本题考查了等差中项的性质,等差数列前n项和的性质及应用,属于基础题.6、A【解析】将x＝－y，y＝－x代入方程y＝2x＋3中，得所求对称的直线方程为－x＝－2y＋3，即x－2y＋3＝0.7、B【解析】

由向量平行可构造方程求得结果.【详解】，解得：故选：【点睛】本题考查根据向量平行求解参数值的问题，关键是明确两向量平行可得.8、B【解析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】；∵；∴；解得．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．9、B【解析】

由等比数列的性质计算，注意项与项之间的关系即可．【详解】由题意，，又与同号，∴．故选B．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题时要注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号．10、D【解析】

先化简集合,再利用交集运算法则求.【详解】,,,故选:D.【点睛】本题考查集合的运算,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】解：设缉私艇上走私船所需要的时间为小时，则，，在中，，根据余弦定理知：，或（舍去），故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时．故答案为：．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．12、【解析】

由参变量分离法可得知，由二倍角的余弦公式以及二次函数的基本性质求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】不等式有解，等价于存在实数，使得关于的不等式成立，故只需.令，，由二次函数的基本性质可知，当时，该函数取得最小值，即，.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查不等式有解的问题，涉及二倍角余弦公式以及二次函数基本性质的应用，一般转化为函数的最值来求解，考查计算能力，属于中等题.13、【解析】

当面ABC面与BCD垂直时，四面体A-BCD的体积最大，根据最大体积为求出四面体的边长，又△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面体A-BCD外接球的球心位于的中点，从而得到半径，即可求解.【详解】如图所示：当面ABC面与BCD垂直时，四面体A-BCD的体积最大为，又AB＝AC＝DB＝DC＝BC，所以△ABC和△BCD是等腰直角三角形，所以四面体A-BCD外接球的球心为的中点，又，解得，，，所以四面体A-BCD外接球的半径故四面体A-BCD外接球的表面积为.【点睛】本题考查多面体的外接圆及相关计算，多面体外接圆问题关键在圆心和半径.14、【解析】试题分析：设，则有，所以，解得，所以.考点：平面向量的坐标运算.15、28【解析】试题分析：由等差数列的前n项和公式，把等价转化为所以,然后求得a值.考点：极限及其运算16、②③【解析】

根据，分当和两种情况分类讨论，每一类中利用正、余弦函数的单调性判断，特别注意，当时，.【详解】当时，在上是增函数，因为，所以，因为在上是减函数，且，所以，当时，且，因为在上是减函数，所以，而，所以.故答案为：②③【点睛】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的单调性在三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）①见解析；②见解析，；（2）.【解析】

（1）①利用夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标．【详解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，点为四边形外接圆的圆心，，，，，四边形外接圆的圆心为的中点，点的坐标为；（2）由两点间的距离公式可得，，，，过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，，设的坐标为，则，，，，点的坐标为．【点睛】本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18、（1），，；（2）猜想，证明见解析.【解析】

（1）利用递推公式可计算出、、的值；（2）根据数列的前四项可猜想出，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.【详解】（1），，则，，；（2）猜想，下面利用数学归纳法证明.假设当时成立，即，那么当时，，这说明当时，猜想也成立.由归纳原理可知，.【点睛】本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19、(1),,；(2)证明见详解，，.【解析】

（1）根据递推公式，赋值求解即可；（2）利用定义，求证为定值即可，由数列通项公式即可求得和.【详解】（1）由条件可得，将代入得，，而，所以.将代入得，所以.从而，，.（2）由条件可得，即，，又，所以是首项为1，公比为3的等比数列，.因为，所以.【点睛】本题考查利用递推关系求数列某项的值，以及利用数列定义证明等比数列，及求通项公式，是数列综合基础题.20、（1），，，；（2）见解析；（3）有最小项，最小项是.【解析】

（1）由数列的递推公式，可计算出数列的前四项，代入，即可计算出数列中的前四项；（2）利用数列的递推公式计算出为常数，结合等差数列的定义可证明出数列是等差数列；（3）求出数列的通项公式，可求出，进而得出，利用作商法判断数列的单调性，从而可求出数列的最小项.【详解】（1）且，，，.，，，，；（2），而，，.因此，数列是首项为，公差为的等差数列；（3）由（2）得，则.，显然，，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当且时，，即.，，所以，数列有最小项，最小项是.【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出前若干项，同时也考查了等差数列的证明以及