2023年安徽省霍邱县正华外语学校高一数学第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列极限为1的是（）A．（个9） B．C． D．2．已知点在第二象限，角顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，则角的终边落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的值为（）A． B． C． D．4．(2016高考新课标III，理3)已知向量,则ABC=A．30 B．45 C．60 D．1205．等比数列的前项和为，，且成等差数列，则等于()A． B． C． D．6．供电部门对某社区1000位居民2019年4月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[40,50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．4月份人均用电量人数最多的一组有400人B．4月份人均用电量不低于20度的有500人C．4月份人均用电量为25度D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为17．椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（）A． B． C． D．8．若两个球的半径之比为，则这两球的体积之比为（）A． B． C． D．9．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为()A． B． C． D．10．“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，且，.则的值是________.12．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是.13．若向量，则与夹角的余弦值等于_____14．在中，已知，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为____________①②③④15．给出下列五个命题：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点（,0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若，则，其中；⑤函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为.以上五个命题中正确的有（填写所有正确命题的序号）16．经过点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间,将统计结果分成组:,,,,,绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值;（2）求辆纯电动汽车续驶里程的中位数;（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为的概率.18．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近个季度的销售额数据统计如下表（其中表示年第一季度，以此类推）：季度季度编号x销售额y（百万元）（1）公司市场部从中任选个季度的数据进行对比分析，求这个季度的销售额都超过千万元的概率；（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司的销售额.附：线性回归方程：其中，参考数据：.19．已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.20．某厂每年生产某种产品万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为20万元，浮动成本，.若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.（1）设年利润为（万元），试求与的关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润.21．若是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列.（1）求数列的公比.（2）若，求的通项公式.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

利用极限的运算逐项求解判断即可【详解】对于A项，极限为1，对于B项，极限不存在，对于C项，极限为1．对于D项，，故选：A．【点睛】本题考查的极限的运算及性质，准确计算是关键，是基础题2、C【解析】

根据点的位置，得到不等式组，进行判断角的终边落在的位置．【详解】点在第二象限在第三象限，故本题选C．【点睛】本题考查了通过角的正弦值和正切值的正负性，判断角的终边位置，利用三角函数的定义是解题的关键．3、C【解析】试题分析：．考点：诱导公式.4、A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．5、A【解析】

根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得的值，进而求得的值.【详解】由于成等差数列，故，即，所以，，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，属于基础题.6、C【解析】

根据频率分布直方图逐一计算分析.【详解】A：用电量最多的一组有：0.04×10×1000=400人，故正确；B：不低于20度的有：(0.01+0.05)×10×1000=500人，故正确；C：人均用电量：(5×0.01+15×0.04+25×0.03+35×0.01+45×0.01)×10=22，故错误；D：用电量在[30,40)的有：0.01×10×1000=100人，所以P=100故选C.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解相关量，难度较易.频率分布直方图中平均数的求法：每一段的组中值×频率7、A【解析】

先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为，，代入椭圆得，两式相减得，即，即，即，即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.8、C【解析】

根据球的体积公式可知两球体积比为，进而得到结果.【详解】由球的体积公式知：两球的体积之比故选：【点睛】本题考查球的体积公式的应用，属于基础题.9、C【解析】

求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，可求概率.【详解】同时掷两枚骰子,所有可能出现的结果有：共有36种，点数之和为5的基本事件有：共4种；所以所求概率为.故选C.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养.10、A【解析】

根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若是与的等差中项，则，若是与的等比中项，则，则“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出的值是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】

.12、【解析】

，，是平面内两个相互垂直的单位向量，∴，∴，，，为与的夹角，∵是平面内两个相互垂直的单位向量∴，即，所以当时，即与共线时，取得最大值为，故答案为.13、【解析】

利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.14、②③【解析】

根据，分当和两种情况分类讨论，每一类中利用正、余弦函数的单调性判断，特别注意，当时，.【详解】当时，在上是增函数，因为，所以，因为在上是减函数，且，所以，当时，且，因为在上是减函数，所以，而，所以.故答案为：②③【点睛】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的单调性在三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15、①②⑤【解析】试题分析：①将代入可得函数最大值,为函数对称轴；②函数的图象关于点对称,包括点；③,③错误；④利用诱导公式,可得不同于的表达式；⑤对进行讨论,利用正弦函数图象,得出函数与直线仅有有两个不同的交点，则．故本题答案应填①②⑤.考点：三角函数的性质．【知识点睛】本题主要考查三角函数的图象性质.对于和的最小正周期为.若为偶函数,则当时函数取得最值,若为奇函数,则当时,.若要求的对称轴,只要令,求.若要求的对称中心的横坐标,只要令即可.16、或【解析】

当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入求得的值，即可求得直线方程，当直线过原点时，直线的方程为，综合可得答案.【详解】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得：，即此时直线的方程为：当直线过原点时，直线的方程为，即综上可得：满足条件的直线方程为：或故答案为：或【点睛】过原点的直线横纵截距都为0，在解题的时候容易漏掉.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用小矩形的面积和为,求得值,即可求得答案;（2）中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标,即可求得答案;（3）据直方图求出续驶里程在和续驶里程在的车辆数,利用排列组合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在的概率,即可求得答案.【详解】（1）由直方图可得:（2）根据中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标.直方图可得:可得:辆纯电动汽车续驶里程的中位数.（3）续驶里程在的车辆数为:续驶里程在第五组的车辆数为.从辆车中随机抽取辆车,共有中抽法，其中恰有一辆车的续驶里程在的抽法有种，其中恰有一辆车的续驶里程在的概率为.【点睛】本题考查根据条型统计图求数据的中位数和根据组合数求概率问题,解题关键是掌握条型统计图基础知识和概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.18、（1）；（2）关于的线性回归方程为，预测该公司的销售额为百万元.【解析】

（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这个季度的销售额都超过千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）计算出和的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出和的值，可得出关于的线性回归方程，然后将代入回归直线方程即可得出该公司的销售额的估计值.【详解】（1）从个季度的数据中任选个季度，这个季度的销售额有种情况：、、、、、、、、、设“这个季度的销售额都超过千万元”为事件，事件包含、、，种情况，所以；（2），，，.所以关于的线性回归方程为，令，得（百万元）所以预测该公司的销售额为百万元．【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.19、(1)圆：.(2)证明见解析；，.【解析】

（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的方程.（2）设出点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过，，三点的圆是以为直径的圆.设出圆上任意一点的坐标，利用，结合向量数量积的坐标运算进行化简，得到该圆对应的方程，根据方程过的定点与无关列方程组，解方程组求得该圆所过定点.【详解】解：（1）设圆心，则圆心到直线的距离.因为圆被直线截得的弦长为∴.解得或（舍），∴圆：.（2）已知，设，∵为切线，∴，∴过，，三点的圆是以为直径的圆.设圆上任一点为，则.∵，，∴即.若过定点，即定点与无关令解得或，所以定点为，.【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查圆的弦长有关计算，考查曲线过定点问题的求解策略，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.20、（1）；（2）产量（万件）时，该厂所获利润最大为100万元．【解析】

（1）由销售收入减去成本可得利润；（2）分段求出的最大值，然后比较可得．【详解】（1）由题意；即；（2）时，，时，，当时，在是递增，在上递减，