2023年安徽省二校联考数学高一下期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，且，把底数相同的指数函数与对数函数图象的公共点称为（或）的“亮点”．当时，在下列四点，，，中，能成为的“亮点”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（）A．的坐标为 B．的坐标为C．的长为 D．的长为3．如图，在正四棱锥中，，侧面积为，则它的体积为（）A．4 B．8 C． D．4．已知等差数列的前项的和为，若，则等于（）A．81 B．90 C．99 D．1805．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为()A． B． C．36 D．6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（）A． B． C． D．7．如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考察的所有运算结果，则（）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值8．若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（）A． B．C． D．10．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的定义域为________12．已知向量，则________13．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是______.14．设向量是两个不共线的向量，若与共线，则_______.15．如图，在三棱锥中，它的每个面都是全等的正三角形，是棱上的动点，设，分别记与，所成角为，，则的取值范围为__________．16．若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设全集是实数集，集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求．18．甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.19．已知等差数列的首项为，公差为，前n项和为，且满足，.（1）证明；（2）若，，当且仅当时，取得最小值，求首项的取值范围.20．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）要使矩形的面积大于64平方米，则的长应在什么范围内？（2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.21．已知向量，，且．（1）求向量的夹角；（2）求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用“亮点”的定义对每一个点逐一分析得解.【详解】由题得，，由于，所以点不在函数f(x)的图像上，所以点不是“亮点”；由于，所以点不在函数f(x)的图像上，所以点不是“亮点”；由于，所以点在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点是“亮点”；由于，所以点在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点是“亮点”.故选C【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查指数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2、D【解析】

根据坐标系写出各点的坐标分析即可.【详解】由所建坐标系可得：，，，.故选：D.【点睛】本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.3、A【解析】

连交于，连，根据正四棱锥的定义可得平面，取中点，连，则由侧面积和底面边长，求出侧面等腰三角形的高，在中，求出，即可求解.【详解】连交于，连，取中点，连因为正四棱锥，则平面，，侧面积，在中，，.故选:A.【点睛】本题考查正四棱锥结构特征、体积和表面积，属于基础题.4、B【解析】

根据已知得到的值，利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和的性质，求得的值.【详解】依题意，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.5、B【解析】

由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x＝4，由此能求出5个剩余分数的方差．【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21，∴由茎叶图得：得x＝4，∴5个分数的方差为：S2故选B【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．6、C【解析】

首先根据图形计算出矢，弦，再带入弧田面积公式即可.【详解】如图所示：因为，，为等边三角形.所以，矢，弦..故选：C【点睛】本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.7、B【解析】

设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，进而求得最值的情况.【详解】依题意，所以.设，则，所以，，所以，当时，取得最大值为.，所以，所以，当时，有最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.8、C【解析】

利用正弦定理，用a表示出sinA，结合C的取值范围，可知；根据存在两个三角形的条件，即可求得a的取值范围。【详解】根据正弦定理可知，代入可求得因为，所以若满足有两个三角形ABC则所以所以选C【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，判断三角形的个数情况，属于基础题。9、B【解析】

根据奇函数的性质求出的解析式，然后分类讨论求出不等式的解集.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以有，显然是不等式的解集；当时，；当时，，综上所述：不等式的解集是，故本题选B.【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解不等式解集问题，考查了分类思想，正确求出函数的解析式是解题的关键.10、B【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，故选B．考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据反余弦函数的定义，可得函数满足，即可求解.【详解】由题意，根据反余弦函数的定义，可得函数满足，解得，即函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题主要考查了反余弦函数的定义的应用，其中解答中熟记反余弦函数的定义，列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、2【解析】

由向量的模长公式，计算得到答案.【详解】因为向量，所以，所以答案为.【点睛】本题考查向量的模长公式，属于简单题.13、【解析】

先由得出，再根据即可求出与的夹角的取值范围.【详解】因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用等，属基础题.14、【解析】试题分析：∵向量，是两个不共线的向量，不妨以，为基底，则，又∵共线，．考点：平面向量与关系向量15、【解析】

作交于，连接，可得是与所成的角根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，根据，的关系即可得解.【详解】解：作交于，连接，因为三棱锥中，它的每个面都是全等的正三角形，为正三角形，，，是与所成的角，根据等腰三角形的性质．作交于，同理可得，则，∵，∴，得．故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于中档题.16、【解析】

首先求出在上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时的值即可【详解】根据，即，故，或，∵在区间（且）上至少含有30个零点，∴不妨假设（此时，），则此时的最小值为，（此时，），∴的最小值为，故答案为：【点睛】本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）当时，；当时，【解析】

（1）若，则或，解得实数的取值范围；（2）若则，结合交集定义，分类讨论可得.【详解】解：（1）若，则或，即或.所以的取值范围为或.（2）∵，则且，∴.当时，;当时，.【点睛】本题考查集合的交集运算，元素与元素的关系，分类讨论思想，属于中档题.18、(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为，甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.根据平均数，方差的公式代入计算得解(2)由可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.试题解析：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.=13,=13,×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.(2)由可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.19、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）根据等差数列的前n项和公式,变形可证明为等差数列.结合条件,,可得,进而表示出.由为等差数列,表示出,化简变形后结合不等式性质即可证明.（2）将三角函数式分组,提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正弦的和角与差角公式合并.根据条件等式,结合等差数列性质,即可求得.由,即可确定.当且仅当时，取得最小值,可得不等式组,即可得首项的取值范围.【详解】（1）证明:等差数列的前n项和为,则所以,,故为等差数列,因为,,所以,解得,因为,得故,从而.（2）而.由条件又由等差数列性质知：所以,因为,所以,那么.等差数列,当且仅当时,取得最小值.,所以.【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式的应用,等差数列通项公式定义及变形式应用.三角函数式变形,正弦和角与差角公式的应用,不等式组的解法,综合性强,属于难题.20、（1），（2）时，【解析】

（1）设，有题知，得到，再计算矩形的面积，解不等式即可.（2）首先将花坛的面积化简为，再利用基本不等式的性质即可求出面积的最小值.【详解】（1）设，.因为四边形为矩形，所以.即