专题19-23 一次函数与方程、不等式（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题19.23一次函数与方程、不等式（培优篇）（专项练习）一、单选题1．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与的交点在位于第二象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．已知函数（为常数，）的图象经过点，且实数，，满足等式：，则一次函数与轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．3．如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（

）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（

）A．6 B． C．9 D．5．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为（

）A． B． C．且 D．且7．关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（

）A． B． C． D．8．如图，直线与轴交于A点，与直线交于B点，则关于的一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，点，当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（

）．A． B． C．2 D．310．一次函数（）与的图像如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．或二、填空题11．已知直线与直线的交点坐标为，则直线与直线的交点坐标为____________．12．在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线l分别与函数的图像交于P、Q两点，若平移直线l，可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_________．13．已知：k为正数，直线l1：y=kx+k-1与直线l2：y=(k+1)x+k及x轴围成的三角形的面积为Sk，则S1+S2+S3+....+S2016的值为______.14．已知直线与x轴的交点在、之间（包括、两点），则的取值范围是__________.15．已知直线y1＝kx＋1(k＜0)与直线y2＝nx(n＞0)的交点坐标为(，)，则不等式组nx－3＜kx＋1＜nx的解集为______．16．如图，函数y=mx和y=kx+b的图象相交于点P（1，m），则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为________．17．如图，在平面直角坐标系中，已知四个定点、、、，点在四边形内，则到四边形四个顶点的距离的和最小时的点的坐标为______．18．正方形按如图所示放置,点在直线上,点在轴上,则的坐标是_____.三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，直线l的解析式为，点C的坐标为．若直线l经过点C关于线段的对称点D，求直线l的解析式；在（1）的条件下，若将直线l向右平移n个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点M，求n的值；直线经过点C，若这条直线与线段有交点（包含M，B两点），请直接写出k的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与一次函数的图象交于点．(1)求一次函数的解析式；(2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长；(3)直线经过定点，当直线与线段（含端点）有交点时k的正整数值是.21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点A、．另一条直线与直线交于点，与轴交于点，点是直线上一点（不与点重合）．(1)求的值．(2)当的面积为18时，求点的坐标．(3)若直线在平面直角坐标系内运动，且始终与平行，直线交直线于点，交轴于点，当时，求的面积．22．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点．(1)由题意可知，______，______；(2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质；(3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围．23．已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．①求的值；②判断的形状，并说明理由；连接、，当的周长最短时，求点的坐标；在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．24．问题发现．如图，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为______．问题探究：如图，若点，的坐标分别为，，其余条件与相同，求经过，两点的直线表达式．问题解决：国庆前夕，某景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图3，三角形ABC是景区东门的广场一角OB，OA两面墙互相垂直，景区管理部门设计将OB，OA墙面布置成历史故事宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成时事政治宣传墙，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到防疫安全，还需在靠近出入口的处建一个体温检测点．已知AD=OA=16cm，OB=12cm，BC平分，体温检测点E在BC与OD的交点处．求点分别到OB，OA墙面的距离．参考答案1．B【分析】先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为，得到关于m的不等式组，解这个不等式组即可得出m的取值范围．解：将函数的图象向上平移m个单位长度后的图象的解析式为，联立后可以得到：，解得，因为它们的交点在第二象限，即，解得，，故选：B．【点拨】本题主要考查了一次函数图象的平移以及求图象的交点的问题，解决本题需要建立关于x和y的二元一次方程组和关于m的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．2．C【分析】将点代入函数中，得到关于，，的关系式，将看作常数，再联立满足的等式组成二元一次方程组，将，用含的式子表示出来，此时再回代入函数中，求解出的值，最后在一次函数中令，求解出y的值，最终表示出交点坐标即可．解：将点代入函数中，得：，又∵，化简可得：此时联立方程组可得：，解得：，∴点的坐标可表示为（-k，2k），将（-k，2k）代入得：，解得，∵为常数且，∴，此时一次函数，令，解得：，∴交点坐标为．故选：C．【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组，联立二元一次方程组并正确求解是解题的关键．3．A【分析】先根据勾股定理的长，求得的坐标．然后用待定系数法求出直线的解析式，由对称的性质得出，求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点即可．解：如图，连接、，，，，点与关于直线对称，，在中，点坐标为或，，点关于直线的对称点恰好落在轴上，点关于直线的对称点，点坐标为不合题意舍去，设直线方程为将，代入得：，解得，，直线的解析式为：，直线的解析式为：，当时，，解得：，点的坐标为：；故选：A．【点拨】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线的解析式进一步求出直线的解析式是解决问题的关键．4．D【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：则PA+PB的最小值即为的长，将点A（3，a）代入y=2x，得a=2×3=6，∴点A坐标为（3，6），将点A（3，6）代入y=x+b，得3+b=6，解得b=3，∴点B坐标为（0，3），根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）∴，∴PA+PB的最小值为．故选：D．【点拨】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．5．D【分析】根据A是函数，的图像交点，可把A代入中，求出，所以点，再把A代入解得，不等式可化为，解不等式即可得出答案．解：函数过点，，解得：，，将A代入中，，解得：解不等式解集为．故选：D．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求出点A的坐标和的函数解析式，并结合函数图象进行解答是解题的关键．6．D【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断．解：由题意可知：∵一次函数的图象过定点，一次函数过定点，∵①时，，两直线平行时，始终有，∴．②当时，设经过点的直线为，有，解得：

∴

∵一次函数的图象过定点，不论取何值，始终有，∴∴综上解得：或．即：且故选：D【点拨】本题考查一次函数综合问题，充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．7．A【分析】解分式方程可得且，再根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，结合可得，且，再根据是整数和是非负整数求出的所有值，即可求解．解：经检验，不是方程的解∴∵分式方程的解为非负整数∴解得且∵一次函数的图象不经过第三象限∴解得∴，且∵是整数∴∵是非负整数故答案为：A．【点拨】本题考查了分式方程和一次函数的问题，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键．8．B【分析】首先，根据两直线的交点的横坐标即为联立两直线方程求解的值，则由直线与直线交于点，可得交点横坐标为；其次，通过解一元一次方程，得，则，即可得解．解：∵，∴，解得，∵直线与直线交于点，∴，由，得，∴，∴关于的一元一次方程的解为：，故选：B．【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程，解题的关键是明确题意，掌握一次函数的图象与轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解．9．B【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．解：∵A（1，5），B（4，1），C（m，-m），D（m-3，-m+4），∴，，∴AB=CD，∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC=CD，故四边形ABCD的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC最短，则周长最短，∵C点的横坐标与纵坐标互为相反数，∴点C在直线y=-x上运动，∴由点到直线的距离垂线段最短可知，BC⊥直线y=-x时，BC的值最小，如下图所示：易求得直线BC的解析式为：y=x-3C点所在的直线为：y=-x，联立两个一次函数解析式：，解得，故，故选：B．【点拨】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．B【分析】联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解．解：联立与，得，解得，即一次函数（）与的图像的交点的横坐标为，当时，，，当，即时，，解得；当，即时，，解得，与矛盾，不合题意；又，满足条件的k的取值范围是且，故选B．【点拨】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键．11．（-2,3）．【分析】由，得到，根据直线与直线的交点坐标为，得到，进而得到，将代入中，即可求解．解：∵∴∵直线与直线的交点坐标为∴得∴∴将代入中得∴交点坐标为（-2,3）故答案为：（-2,3）．【点拨】此题主要考查直线的交点问题，解题的关键是正确理解一次函数图象交点与二元一次方程组之间的关系．12．【分析】根据题意可知在时，有公共解，因此可以列出不等式，从而得到答案．解：令，则，令，则，∵平移直线，可以使P、Q都在轴的下方，∴可知在时，有公共解，∴，解得：，故填：．【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问题转化为不等式．13．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出两直线与x轴的交点坐标，进而可得出两点间的距离，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算S1+S2+S3+....+S2016即可．解：对直线l1：y=kx+k－1，当y=0时，有kx+k－1=0，解得：，∴直线l1与x轴的交点坐标为（，0），同理可得出：直线l2与x轴的交点坐标为（，0），∴两直线与x轴交点间的距离．联立直线l1、l2成方程组，得：，解得：，∴直线l1、l2的交点坐标为（－1，－1）．∴S1+S2+S3+....+S2016=+++……+=====.故答案为.【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离、找准计算规律是解题的关键．14．【分析】根据题意得到的取值范围是，则通过解关于的方程求得的值，由的取值范围来求的取值范围．解：直线与轴的交点在、之间（包括、两点），，令，则，解得，则，解得．故答案是：．【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得的值是解题的突破口．15．【分析】由函数都经过(，)可求得k=n-3，代入不等式组即可解答.解：把(，）代入y1=kx+1，可得，解得k=n-3，代入不等式得nx－3＜nx-3x＋1＜nx，解得：∴不等式组mx-2＜kx+1＜mx的解集为，故答案为，．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一元一次不等式组的解法．根据函数交点求出k和n的关系是解题的关键.16．﹣1≤x≤0．解：∵y=kx+b的图象经过点P（1，m），∴k+b=m，当x=﹣1时，kx﹣b=﹣k﹣b=﹣（k+b）=﹣m，即（﹣1，﹣m）在函数y=kx﹣b的图象上．又∵（﹣1，﹣m）在y=mx的图象上，∴y=kx﹣b与y=mx相交于点（﹣1，﹣m）．则函数图象如图．则不等式﹣b≤kx﹣b≤mx的解集为﹣1≤x≤0．故答案为﹣1≤x≤0．点睛：本题考查了一次函数与不等式的关系，正确确定y=kx-b和y=mx的交点是关键．17．(-，)【分析】设AC与BD交于P′点，则由不等式的性质可得，PA+PC≥AC=P′A+P′C，PB+PD≥BD=P′B+P′D，得出PA+PB+PC+PD≥AC+BD，所以当P在P′处时PA+PB+PC+PD的值最小，再根据点P′为直线AC与BD的交点可求出此时点P′的坐标．解：如图，设AC与BD交于P′点，则PA+PC≥AC=P′A+P′C，PB+PD≥BD=P′B+P′D，因此，PA+PB+PC+PD≥AC+BD，当动点P在P′的位置时，PA+PB+PC+PD的值最小，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A(-3，0)，C（0，3）代入得，，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3①，同理根据点B（1，-1），D（-1，3）可得直线BD的解析式为y=-2x+1②，联立①②得，，解得．∴此时点P的坐标为：．故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的三边关系，一次函数解析式的求法，一次函数图象的交点问题以及不等式的性质等知识，关键是运用三角形的三边关系求解最值．18．【分析】先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可得出答案．解：∵直线y=x+1和y轴交于A1，∴A1的坐标（0，1），即OA1=1，∵四边形C1OA1B1是正方形，∴OC1=OA1=1，把x=1代入y=x+1得：y=2，∴A2的坐标为（1，2），同理A3的坐标为（3，4），…An的坐标为（2n-1-1，2n-1），故答案为（2n-1-1，2n-1），【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．19．(1) (2) (3)【分析】（1）由轴对称的性质可得出，再代入直线l的解析式，求出b的值即可；（2）由题意可求出线段的中点M的坐标为．根据一次函数平移的规律，得出平移后的直线解析式为，再将代入，求出n的值即可；（3）将代入，得出直线．再将，代入，分别求出k的值，即得出k的取值范围．解：（1）∵，，∴轴．∵点C，D关于线段对称，且∴．∵直线l的解析式为，且经过点D，∴，∴直线l的解析式为；（2）由（1）知直线l的解析式为，∵，，∴线段的中点M的坐标为．设平移后的直线解析式为，将M的坐标代入，得，解得；（3）∵直线经过点C，且，∴，∴直线，将代入得，，解得：；将代入得，，解得：，∴k的取值范围是．【点拨】本题考查轴对称的性质，利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，一次函数图象的平移，一次函数的图象和性质等知识．熟练掌握一次函数图象的平移规律，一次函数的图象和性质是解题关键．20．(1) (2) (3)或2【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数的解析式．（2）设点C的横坐标为m，点D、E分别在y1、y2上，则，，由求出m，即可得的长．（3）由图可知，将点B和点A代入直线，可确定k的范围，参考题意k取正整数值．解：（1）当时，，B点坐标为，直线经过和，则，解得：，一次函数的解析式为．（2）设点C的横坐标为m，则，，，，，，解得，，，．（3），解得，k取正整数值，或2．【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．21．(1) (2)点坐标为或 (3)【分析】（1）将点代入即可求出a的值；（2）先根据待定系数法求出的解析式，然后设，求出，，得出，求出，分，，三种情况讨论，得出答案即可；（3）过作，设，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质，求出m的值，得出，，根据三角形面积公式，求出结果即可．（1）解：将代入，，．（2）解：设直线解析式为，将、代入得：，解得：，直线，设，把代入得：，解得：，把代入得：，∴，，，∴，①如图1，时，，，解得：，，②时，的面积不可能为18，③如图2，时，，，解得：．综上，点坐标为或．（3）解：如图3，过作，设，，，，，∵，，，，，，，，，，，，解：，，，．【点拨】本题主要考查了求一次函数关系式，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式，解题的关键是作出图形，注意分类讨论．22．(1)2，2 (2)画图见分析，y随x的增大而增大(不唯一) (3)【分析】(1)把点与点分别代入解析式，即可求得；(2)通过列表—描点—连线的方法即可画出函数图象，再根据函数图象写出一条性质即可；(3)当直线经过点时，可求得t的值，再结合图象即可解答．（1）解：把点代入，得，解得，把点代入，得，解得，故答案为：2，2；（2）解：函数解析为，列表如下：…0123……036912…描点、连线如下：由图象可知：y随x的增大而增大(不唯一)；（3）解：当直线经过点时，得，解得，即此时该函数与y轴的交点坐标为，画图如下：由图象可知：当时，直线与这个函数的图象有两个交点．【点拨】本题考查了坐标与图形，画函数图象及函数的性质，一次函数图象交点问题，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．23．(1)①②等边三角形，理由见分析 (2) (3)在轴上存在一点，使得是等腰三角形，点坐标为或或或【分析】（1）求出与y轴的交点即可求出b的值，由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理求出，的长即可判断的形状；（2）设点关于直线的对称点为，求出点的坐标，连接，则与直线的交点为点，则当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式