2021年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

普通高等学校招生全国统一考试

浙江卷（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

设集合s={x|x>-2},T={x|-4WxWi},贝!Jsnr=()

+°°)

A.[—4,+00)

C.[-4,1]D.(-2,1]

2.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=()

A.5—5iB.7-5i

C.5+5iD.7+5i

3.若a£R,则“a=0”是“sina<cosa”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.设机、〃是两条不同的直线，。、少是两个不同的平面（）

A.若in//a9n//a,则/n〃〃

B.若加〃a,m//B,则a//fi

C.若〃/〃JLa，贝!|n-La

D.若“〃a,a_L贝(JmLp

已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）

A.108cm3B.100cm3

C.92cm3D.84cm3

6.函数｛x）=sinxcosx+为~cos2x的最小正周期和振幅分别是（）

A.n,1B.n,2

C.2Jr,1D.2n,2

7.已知a、b、cGR,函数/(x)=ax2+8x+c.若贝！|()

A.a>0,4a+Z»=0B.a<(),4a+*=0

C.a>0,2a+Z>=0D.«<0,2a+b=0

8.已知函数y=/U）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=/（x）的图

象如图所示，则该函数的图象是（）

9.如图，Ft，/2是椭圆G：4+炉=1与双曲线C2的公共焦点，A,

B分别是G,C2在第二、四象限的公共点.若四边形A尸IF2

为矩形，则。2的离心率是（）

A.^2B.小

C

1D坐

10.设a,bGR,定义运算“A”和“V”如下：

a,aWb,(b9aWb,

a/\b=\a\Zb=]

b9a>b91a,a>b,

若正数a,b,c,d满足c+dW4,贝！J()

A.aAb\2,cAd/2B.a/\b}2,cVd22

C.Nb=2,cAdW2D.aV822,cVd22

第n卷

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中横线上）

11.已知函数八x）=«r—1.若1Aa）=3,则实数a=.

12.从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是女同学的

概率等于.

13.直线y=2x+3被圆x2+j2—6x—8j=0所截得的弦长等于.

14.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于.

W2,

15.设％=履+外其中实数x、y满足r—2y+420,若z的最大值为12

,2x—j—4^0.

,则实数A=.

16.设a,/>CR,若x20时恒有OWx4—Ji?+ax+bWa2-1产,则ab=_____

17.设e”e2为单位向量，非零向量5=xei+”2,x,yGR.若ei，e：的夹凭

子，则曷的最大值等于.

三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.（本小题满分14分）在锐角△45C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且2.sin8

=小瓦

（1）求角A的大小；

（2）若a=6,〜+c=8,求△A8C的面积.

19.（本小题满分14分）在公差为d的等差数列｛%｝中，已知ai=10,且a”2a2+2,5a3成

等比数列.

⑴求d,an；

（2）若d<0,求|。1|+咫|+|«31H-----H%|.

20.（本小题满分15分）如图，在四棱锥尸一A5CD中，四_L平面A5C。，卜

AB=BC=2,AD=CD=巾,PA=yf3,ZABC=120°,G为线段PC//'\

上的点.及以

（1）证明：8O_L平面APC；

（2）若G为PC的中点，求OG与平面APC所成的角的正切值；C

（3）若G满足尸C_L平面3GZ）,求登的值.

21.（本小题满分15分）已知aCR,函数八x）=2x3-3（a+l）x2+6a*.

（1）若a=L求曲线y=/U）在点（2,八2））处的切线方程；

(2)若⑷>1,求/(x)在闭区间［0,2］即上的最小值.

22.(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为。(0,0),焦点为尸(0,

1).

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点尸作直线交抛物线C于4,8两点，若直线40,BO分别

交直线/：y=x-2于M,N两点，求|MN|的最小值.

浙江卷(文科)

1.解析：直接求两个集合的交集即可.

snT={x\x>-2}D{x\-4W后1}={x\-2<^1}.

答案：D

2.解析：直接进行复数的运算得出结果.

(2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i.

答案：C

3.解析：分别判断。=0能否推出sina<cosa和sina<cosa能否推出a=0.

若a=0,贝ijsina=0,cosa=1,所以sina<cosa,即a=0=sina<cosa；

但当a=一，时，有sina=—K0=cosa,此时a00.所以a=0是sina<cos

a的充分不必要条件.

4.解析：可以借助正方体模型对四个选项分别剖析，得出正确结论.

A项，当。〃a,A〃a时，m,A可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；

B项，当m〃a,0〃£时，a,£可能平行也可能相交，故错误；

C项，当a_La时，n±a,故正确；

D项，当，〃a,a_L£时，〃可能与£平行，可能在B内，也可能与£相交，故错

误.故选C.

答案：C

5.解析：根据三视图还原出几何体，再根据几何体的形状及相应的尺寸

求其体积.

此几何体为一个长方体ABCD-ABCD被截去了一个三棱锥A-DEF,

如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6,故其体积

为6X3X6=108(cm).三棱锥的三条棱/反AF、4?的长分别为4、4、3,故其体积为

jxQx4X3jX4=8(cm3),所以所求几何体的体积为108—8=100(end.

答案：B

6.解析：把函数的解析式化简为只含一个三角函数名的三角函数式，再求周期和振幅.

=^sin2;r+~~^cos2x=sin^2^4—^j,所以最小周期为右=爷~=n,振幅4=1.

答案：A

7.解析：根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴，化简即得.因为A0)=A4)>AD,

所以函数图象应开口向上，即a>0,且其对称轴为x=2,即一4'=2,所以4a+b=0,故

选A.

答案：A

8.解析：根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况.

从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，£=0时最大，所以函数/Xx)的图

象的变化率也先增大后减小，在x=0时变化率最大.A项，在x=0时变化率最小，故

错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误.B

项正确.

答案：B

9.解析：同理科卷9题.

答案：D

10.解析：理解所给符号后，再作出判断.

根据题意知，a/\6表示a,b中较小的，aV6表示a,6中较大的.因为仔寺目dab

24,所以a+624.又因为a,b为正数,所以a,6中至少有一个大于或等于2,所以

aV6》2.因为c+K4,c,d为正数，所以c,d中至少有一个小于或等于2,所以cAK2.

答案：C

11.解析：直接代入求解.

因为f(a)=Na—1=3,所以a—1=9,即a=10.

答案：10

12.解析：分别列出所有的选法和都是女生的选法，利用古典概型概率公式计算概率.

用力,B,C表示三名男同学，用a,b,c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人

的所有选法为：AB,AC,Aa,Ab,Ac9BC,Ba,Bb,Be,Ca9Cb,Cc9ab,ac,be,

3i

共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab,ac,be,故所求概率为左=£.

10O

1

答案避

13.解析：先求弦心距，再求弦长.

圆的方程可化为(X-3)?+(y-4)2=25,故圆心为(3,4),半径_r=5.又直线方程为2x

|2X3-4+3|

-y+3=0,所以圆心到直线的距离为d==乖,所以弦长为27f—d=

5+1

2x^/25-5=2^/20=475.

答案：4#

14.解析：可依次求出A=l,2,3,4时S的值，直接得出结果，也可先求出S的表达式,

再求出k=4时S的值.

方法一：根据程序框图可知，

1Q

当A=1时，5=1+TTTT=";

JL八乙乙

315

当"=2时，5=2+2X3=3：

517

当k=3时，S=-+—=~-.

719

当女=4时，5=-+—

59

9

此时女=5>4,所以5=-.

D

方法二：根据程序框图可知，

C=1-I-----1-----J-…J--------

1X22X3k(A+1)

1111

=11+41—/.5—§L+…-+L%A+1

=1+17+I=2-A+I,

19

当A=4时，S=2-申=§.

9

当衣=5>4时，输出S=~

□

9

答案：5

15.解析：画出可行域，对y=—Ax+z的斜率进行讨论确定出

最优解，代入最大值即可求出々的值.

作出可行域如图中阴影所示，由图可知，当04——〈时，

直线尸一府+z经过点以4,4）时z最大，所以44+4=12

时，解得女=2（舍去）；当一女24时，直线尸一女才+z经过点M2,3）时z最大，所以

9

2A+3=12,解得上=5(舍去)；当一内0时，直线产=—Ax+z经过点”(4,4)时z最大,

所以44+4=12,解得A=2,符合.综上可知，k=2.

答案：2

16.解析：先取x的几个特殊值，看能得到什么具体的结果，再根据条件推导.

因为x20时恒有OWf—(x—I)2,

当x=0时，可得

当x=l时，可得a+b=O;

所以a=-6,所以一IWaWO.

由x20时恒有OWf—£+ar+6W(f—I)2,

得ax+bWf—2Ag+1,

所以ax—a<(，一步)—(x—1),

所以a(x-1)W(V—x—1)(x—1),

所以当力1时，有恒成立，所以aW-l.

综上可知，a=-1,所以ab=—3=-i.

答案：-1

17.解析：同理科卷17题.

答案：2

18.解：⑴由2asinB=Jib及正弦定理0f得sin4=卓.

sinAsinD2

因为4是锐角，所以4=?.

0

(2)由余弦定理3=〃+°2—2力ccosA,得层十。2-6C=36.

28

又b+c=8,所以bc=—

O

由三角形面积公式S=18csinA,得△侬?的面积为<X学X^=可鼻

乙乙j乙j

19.解：同理科卷18题.

20.⑴证明：设点。为4C,切的交点.人

由^45=54册=或，得切是线段ZC的中垂线，所以0为〃'的中点，/'\

BMCzWiA

D代一J-：__

文因为PAL平面ABCD,Bg平面ABCD,所以PALBD.

所以初J"平面"Cc

(2)解：连接面.由⑴可知，如_L平面APC,则%在平面"C内的射影为OG,所以NOGD

是的与平面"C所成的角.

1、回

由题意得OG=-PA=^.

在△胸中，

AC=7A^+BC-2AB。BOcosNABC

=丫4+4-2X2X2xf)=273,

所以0C=^AC=y[3.

乙

在直角△殴中，0D=y\C&-0C=^l=i=2.

0D

在直角△OGD中，OGD=,=

tanNUzvb6o*

所以国与平面"C所成的角的正切值为W

o

⑶解：因为PCI平面BGD,OGU斗面BGD,所以

在直角&PAC中，PC=\IPA"+A^=yj3+12=A/15,所以劭=隼著=均仅地=斗1

“‘也7153

3\/15PG3

从而尸G=~^一,所以石=5・

OOrbZ

21.解：(1)当a=l时，f(x)=6/—12x+6,所以f(2)=6.

又因为/<2)=4,所以切线方程为y-4=6(x-2),即6Ly-8=0.

(2)记g(a)为f(力在闭区间[0,2].|]上的最小值.

fCO=6x—6(a+1)x+6a=6(A1)(x—a).

令f(x)=0,得的=1,x?=8

当a>l时，

X0(0,1)1(La)a(a,2a)2a

f(x)+0—0+

单调递极大值单调递极小值才(3-单调递

F(x)04a

增3a—1减a)增

比较f(0)=0和f(a)=3(3—a)的大小可得

0,l<a<3,

g(a)=

a2(3—a),a>3.

当水一1时,

X