2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)（附答案详解）

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（浙江

卷）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.设集合4={x|x>l},8={无|一1<》<2},则力CB=()

A.{工|工>-1}B.{1|工》1}C.{J；|-1<1,<1}D.

2.已知aeR,（1+ai）i=3+i（i为虚数单位），则a=（）

A.-1B.1C.-3D.3

3.已知非零向量W,方，落则“苍・下='是‘%=）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.某几何体的三视图如图所示（单位：厘米），则该几・

x||||||

何体的体积是（单位：cm3）（）-

A.gN

B.3\^\

r:

2

D.30

x+1>0

5.若实数x,y满足约束条件x-yW0,贝ijz=x-^y最小值是()

,2x+3y—1<0

A.-2B.-：C.--D.说

6.已知正方体ABCD—山&CiDi,M,N分别是,

D,Dit3的中点，则（）

A.直线4。与直线。垂直，直线A/N〃平面

ABCD

B.直线4。与直线。18平行，直线平面

ODD,B|

C.直线4。与直线外8相交，直线A/N〃平面ABCD

D.直线4。与。W异面，直线A/NJ.平面，

7.已知函数/+\,g"）:疝」则为右图的函数可能是（）

4

A.y-f(r.)+g(x)-1B.y=/(x)-g(x)-]

C.y〃工)g(z)D.y=

8.己知“，8,7是三个锐角，则sinc<、》s3,sin3vos】，sin】eo«"中，大于;的数

至多有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

9.已知a,bGR,ab>0,若函数/(%)=ax2+b(xG/?),且/(s-t),/(s),f(s+

t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

T,

10.已知数列｛即｝满足川=1,%+i=i砥(n€A),记数列｛册)的前门和项Su,

则()

5q<)

A.9<S”)<3B.3<Sux)<4C.4<S”)o<5D.9<S“)o<5

二、单空题(本大题共7小题，共36.0分)

11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦

图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形

拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边

的长分别为3,4,记大正方形的面积为S],小正方形的

面积为S2,则|j=.

12.已知aeR,函数「一一：：,2；若/(/(m))=3,贝lja=

3l

13.已知多项式(x-I)+(x+l)'=x+*3+a2x2+«3x+aj,则“1=；«2

+a3+.

14.在中，ZB=6I),AB=2,是3。的中点，AM=2^3,贝UAC=

；(小ZMAC=.

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A

15.袋中有4个红球，馆个黄球，n个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为£；

若取出的两个球都是红球的概率为：，一红一黄的概率为1则_________

6.5

16.已知椭圆，+<=l(a>&>0),焦点F|(-c,O),F,

(c,0)(c>0)；过人的直线和圆(r-；c)2+y2=J相切，

并与椭圆的第一象限交于点尸，且PR，#轴，则该直线

的斜率是椭圆的离心率是.

17.已知平面向量7T,石，/(//。)满足=|了|=2,H•了=0,(/-石)・

7=0,记平面向量)在7T,石方向上的投影分别为x,y,］_7T在7方向上的投

影为二，则/+/+i的最小值的等于.

三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.设函数/(%)=sinx+cosx(x6/?).

(1)求函数y=［/(x+》］2的最小正周期：

(2)求函数y=/(x)/'(%-力在［0(］上的最大值.

19.如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面ABC。是平行四边形，

/LABC=120°,48=1,8。=4,PA=>/15.M,N分

别为BC,PC的中点，PDA.DC,PM1MD.

(1)证明：AB1PM；

(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.

Q

20.已知数列与的前n项和为无，%=一］，且4Sn+i=3Sn-9(neN*).

(1)求数列加的通项公式；

设数列｛%｝满足N*),记｛为｝的前项和为〃，若%<Ab

(2)3%+(n-4)an=0(n6n

对任意neN*恒成立，求实数;I的取值范围.

21.如图，已知尸是抛物线/=2px(p>0)的焦点，”是抛物线的准线与x轴的交点，

且|MF|=2.

(1)求抛物线方程；

(2)设过点尸的直线交抛物线于4,B两点，若斜率为2的直线/与直线

MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN『=|PN|.|QN|,求直

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线/在X轴上截距的取值范围.

22.设Q,b为实数，且Q>1,函数/(久)=Q*—b%+e2(xGR).

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若对任意b>2e2,函数/(x)有两个不同的零点，求。的取值范围；

xx

(3)当Q=e时，证明：对任意b>e3函数f(%)有两个不同的零点八,x2(i<2)»

且满足次>罢工1+彳・

答案和解析

1.【答案】D

【知识点】相等关系与不等关系、交集及其运算

【解析】【解析】由题意可知，AnB={xI14x<2},故选。.

2.【答案】C

【知识点】复数的概念、复数的四则运算、复数相等的充要条件

【解析】【解析】（1+ai）i——a+i—3+i,二a=—3.故选：C.

3.【答案】B

【知识点】推理、必要条件、充分条件与充要条件的判断、向量的数量积

【解析】【解析】•.•苍峰=1.3c0—方）.'=0,即（2—方）13

但五。石不一定成立，故充分性不满足，

若五=石，贝后1=3々必成立，故必要性满足，

所以是必要不充分条件.

故选:B.

4.【答案】A

【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、数学模型与数学探究活动、简单多面

体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间几何体的三视图

【解析】【解析】由三视图可得，直观图如图所示，四棱柱4BCD-4/GD1，

由俯视图可知，底面ABC0为等腰梯形，将四棱柱补形成棱长为2的长方体，

则BE=立，所以V=*x（加+2V2）x—•1=-.

221722

故选:A.

5.【答案】B

【知识点】数学思想和方法、范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域

【解析】【解析】由题意可知，可行域如图所示，令直线/：y=2x-2z,

当直线/过点4（—1,1）时，z有最小值一|.

故选：B.

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6.【答案】A

【知识点】空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、简单多面体

(棱柱、棱锥、棱台)及其结构特征、空间中的位置关系

【解析】【解析】连接则4D1与4。交于M,AD1LAD1,

在正方体中，:AB_L平面40。遇1，；.AB_L&。，

•••AD1_L平面AB],•••A^D1DrB,

■■■M为AD1中点，N为DiB中点，

•••MN//AB,：.MN〃平面4BCD.

故选:A.

【知识点】函数的图象、函数的奇偶性、复合函数的单调性、数学模型与数学探究活动

【解析】【解析】易知函数图像表示的是奇函数，

y=f(x)+9(x)-[=/+sinx与y=/(x)—g(x)—=x2—sinx均为非奇非偶函数,

排除A和B,

对于C,y=f(x)g(x)=(/+》sinx在[0,上单调，与题意不符.

故选：D.

8.【答案】C

【知识点】推理、运用反证法证明、三角恒等变换

【解析】【解析】假设sinacos/?,sin/?cosy,sinycosa均大于5

即sinacosS>sin/?cosy>psinycosa>

贝！J(sinacos0)•(sin/Jcosy)•(sinycosa)>

而另一方面，(sinacos/?)(sin/?cosy)(sinycosQ)=(sinacosa)(sin/?cos)ff)(sinycosy),

化简得，工sin2a•工sin2s•；sin2y=-sin2a-sin2s•sin2y<

22288

故sinacos氏sin/?cosy,sinycosa不可能均大于

取6=Z，a=-,y=-)

得到sinacos^=^>|<且sin/?cosy=^>|>

•••大于3的数至多有2个.

故选：C.

9.【答案】C

【知识点】数学思想和方法、圆锥曲线中的对称性问题、直线方程的综合应用、双曲线

的概念及标准方程

[解析1【解析】•••/(s-t),/(s),f(s+t)成等比数列，

产⑸=f(s—£)•f(s+t)=[a(s—£)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,

=a2(s2—t2)2+ab(2s2+2t2)+h2=a2s4+2abs2+b2,

242222422

=a(s—2s2t2+±4)+2abs+2abt+b=as+labs+bf

・•・a2t4—2a2s2t2+2abt2=0=>at4-2as2t24-2bt2=0=t2(at2—2as2+2b)=

0,

当t=0时，(s,t)的轨迹是直线，

当at2—2as2+2b=0时，2s2—t2=->0,

S2t2

即下一1=1,此时(s,t)的轨迹是双曲线.

a

故选：c.

10.【答案】A

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【知识点】运用放缩法证明不等式、数列的递推关系、数列的求和

(解析]【解析】«n+l==即+1+即+1风=,

.-a♦-an+i

“即n+1一网,

何>与何+4n+1)，

i+i<前篝5=2(扃-

a

・••Sioo<1+2(口7—+V^2_V^3------y/99~{%00)=1+2(1—^/^100)<3,

易知：豆》2时，an<

先证明：九》2时，7^V为(7^+Jan+i)Q57^V7](1n+1=25anV490n+1,

即：25。九〈49•肃氏=V卷(71》2)成立，

当n>2,即+1>系意。若(阿一百工

由即+】=儡=£=皆=2+居=含一2=JI"，

则>1，W>1，…，大一高>1=1>1°°，即％。。〈磊，

•••Sioo>1+1+y(V«2-7^3+>/^3-V^4+…+7^99-/。100)=1+|+^-

12/------36-^265

-Va100>2+--^>2'

综上：j<S100<3.

故选：A.

11.【答案】25.

【知识点】数学思想和方法、数学模型与数学探究活动

【解析】【解析】由题意可知，大正方形的边长为5,小正方形的边长为1,则,=牛=25.

故答案为：25.

12.【答案】2.

【知识点】函数的解析式、复合函数、分段函数

【解析】【解析】/■(通)=(乃产-4=2,/(2)=|2-3|+a=3,解得a=2.

故答案为：2.

13.【答案】5；10.

【知识点】数学思想和方法、二项展开式的特定项与特定项的系数

【解析】【解析】的二=C03(-1)°+0元3=5一,则%=5;

22

a2x=C我2(-i)i+服％2—3%,则的=3；

a3x=Cpi(-1)2+C我=7%,则03=7；

。4=。押(-1)3+微=0;

Q，2+。3+。4=3+7+0—10.

故答案为：5；10.

14.【答案】2旧；亚匣.

13

【知识点】解三角形、数学模型与数学探究活动、余弦定理

【解析】【解析】因为NB=60。，4B=2,4M=2四，

所以BM=4,所以8c=8,

AC=y/AB2+BC2-2AB-BC-cosB=2713，

心

cosz.MAC+/M2-CM22\/39

2ACAM13

故答案为2g;粤。

15.【答案】1；

【知识点】古典概型、排列组合

【解析】【解析】P(二红)=$一=&P(一红一黄)=;?宜

^4+m+nb^4+m+n3

解得｛:二;，所以血一n=1，

P(f=2)=],P(f=1)=等=|,p&=o)=U=a所以以口吗

故答案为：1;*

16.【答案】壁；虫.

55

【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的性质及几何意义、椭圆的概念及标准方程

【解析】【解析】设圆心为C,直线与圆的切点为A,

由题意FiC=|c,CA=c,

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ACc2V5

故k=tan乙4&C=——

~5~

/3、2

(2，)-c

又tan乙4&C==y/5b2=4ac=V5e24-4e—V5=0e=—

F]F22c55

故答案为：喳.

17.【答案】|.

【知识点】柯西不等式与排序不等式、向量的投影

【解析】【解析】根据权方和不等式可知，

m2+彦+乂2.+n_2)2=0上+且+(2m+n-2)2>(-2m-n+2m+n-2)z=乙

517415-4+1+55

故答案为：

18.【答案】(1)兀；

(2)1+y-

【知识点】三角函数的最值、三角函数的图象和性质、函数产Asin(cox+(p)的图象与性质

【解析]【解析】⑴•・・/(%)=simr+cos%,

・•・/(%+])=sin(x+1)+cos(x+今=cosx-sinx,

・••g(x)=[/(%+1)]2—(cosx—sin%)2=1—sin2x,

y=[/(x+卞]2的最小正周期r=手=兀；

(2)•・•/(x)=sinx+cosx=V2sin(x+'

・••f(%-*))=V2sinx,

・•・y=/(x)/(x-§=(sinx+cosx)•V2sinx=V2sin2x+V2sinxcosx=V2-+

—sin2x=—+—(sin2x-cos2x)=—+sin(2x--),

222、72k47

令2x=3则一彳WtW手，h(t)=—+sint,

444v72

当—Estw]时，函数Mt)单调递增，

当汴tw,时，函数<t)单调递减,

所以t=2x*=],函数八(t)max=1+争此时X="

综上：函数y=/(%)/(x*)在［o,§上的最大值为1+9

19.【答案】(1)见解析；

(2)年.

【知识点】线面垂直的判定、立体几何中的向量方法、解三角形、线面垂直的性质、直

线与平面所成角

【解析］【解析】(1)证明：为BC的中点，BC=4,.-.CM=2,

在△CDM中,ZMCD60",CD=1,

则CM=Vl+4-2•2•1-cos60°=V3.

•••CD2+DM2=CM2=4,

•1•ACDM9(),CDIDAf,

XVPD1DC,DMQPD=D,

CD_L平面PDM,

•••CD1PM,

■•AB//CD,

.-.AB1PM；

(2)PM1MD,PM1CD,DMnCD=D,MD,CDABCD,

：.PMJL平面ABCD,

又•:CD1DM,过M动词｝ME〃CD交AD于点E,

则ME1MD;

如图所示，分别以MQ,ME,MP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

在△AA/3中，AM=Jl+4-2.l-2-(-1)=V7,

•••MP=V15-7=2V2,

•••P(0,0,2烟,C(遍1,0)，JV(-V3,2,0),

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•••N为PC的中点,

...丽=(苧,一表伪,

若平面的一个法向量元=(0,1,0),

设AN与平面PQM所成角为0,而与元所成角为w，

故而。=即初=|糯|=盍=萼

20.【答案】⑴-3@；

(2)-3<A<1.

【知识点】数学思想和方法、数列的递推关系、数列的求和、数列的函数特征

【解析］【解析】⑴；4S』=3Sn-9①

•••当n>2时，4S”=3Sn_i-9②

①一②=4斯+1=3an(n》2),

在①式中，令n=l,则4(-、+a2)=-与-9,

•・y2T满吃K，

誓1=:对一切neN*恒成立，

••.5｝为等比数列，且首项为一、，公比为:，

故an=_\.©n-】=_3C)n；

n

(2)由3垢+(n-4)an=0=>hn=(n-4)-(^),

：•Tn=(-3)•:+(-2)•($2+(-1)•©3+…+(n_5)C)"+(n-4)•①

二/=(一3)©)2+(-2).©3+…+(n-6)©尸+(n_5)(｝。+(n-

4)©产+1②

由①一②=4%=_：+(｝2+©3+…+_(n_4)(令"1

-4rn=-1+(沪丫-(n-4)-(|r+1=-n•($"+】

4

•・•葛=_4n•($.】，

n+1n

由〃<A6n-4n-(|)<A-(n-4)-(^)=>(n-4)4>-3n,

当i<?iv4时，则a<-

n-4

此时44(言)min=1，

当n=4时，不等式显然成立，

当九>4时，则入>—

n—4

-3n-3(n-4)-1212^

•・•——=--——-——=-o3-------<-3,

n-4n-4n-4

又•••一3-三关于"单调递增，且当n7+8时，一3—三T一3,

n-4n-4

AN—3.

综上：—3<A<1.

21.【答案】(l)y2=轨；

(2)(-co,-7—4V3]U[—7+4>/3,1)U(1,+oo).

［知识点】抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系、等式与不等式的性质、

圆锥曲线中的综合问题

【解析］【解析】(1)由题意知p=2,故抛物线方程为/=4x;

(2)设直线AB的方程为x=ty+l,

联立1=f-4ty-4=0,

4Q1，〃),B(x2,y2),M(—1,0),

设直线/的方程为：y=2x+m,

值—、

联乂0卷==2%ty++]6=y=E2+*t片,”1

•••R普魄，N(J,0),

...NR?=喘+a+管)2=嵬才+(鬻¥=3嚼

直线PM的方程：y=^(x+i),

y=^(、+i)=yp=

联立

2ty+4-y/

y=2x+m2%i+2—Vi11

(2一叫乃

同理y。=,

2ty2+4-y2

2

.1..I,,1..5(2-m)y-iy2

•••|PN|•|QN|=771，

+*QI，J+4*IYPI-4,j(2t-l)y1+4][(2t-l)y2+4j

54(2—m)25(2-m)2

4(2t―1)2%为+(8t—4)(y^+力)+16(2t-1)?(-4)+(8t-4),4t+16

5(2-m)2

=16t2+12

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V|RN|2=|PN|•|QN|,

.5(m+2)2_5(2-？n)2(m+2)?_(1-2C)2

••4(l-2t)2.16t2+i2(m-2)2-4t2+3，

.“l-2t)2s21

令1-2t=s,则==

s2s

八.1.4

0<|Z|^《♦

...咯2Vi,

解得?n>14+8次或m<14-8百且加丰-2,

故直线/在x轴上截距—1的取值范围为：(—8,-7—4V3]U[—7+4V3,1)U(1,+oo).

本题也可以将直线I的方程设为y=2(x-m),最后可直接算出m的范围.

/1

22.【答案】(1)/Q)的递减区间为JL),/Q)的递增区间为(logah5-，+8)；

Inaina

(2)(1,e2]；

(3)见答案.

【知识点】运用放缩法证明不等式、导数中的函数不等式、运用比较法证明不等式、导

数中的零点问题、利用导数研究函数的单调性

【解析］【解析】(l)f'(x)=ax\na-b,

当b40时，/'(%)>0,f(x)在［R上单调递增，

此时f(x)的单调递增区间为(-8,+8),无递减区间，

当b〉0时，令/(%)=0=>u=log。%

当XVloga卷时，/'(%)<