2021年中考数学13 反比例函数（解析版）

专题13反比例函数

专题常识回顾

1.反比例函数：形如y='（k为常数，kWO）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k、y=kx'.

x

2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中间对称图形。有

两条对称轴：直线丫=*和y=-x。对称中间是：原点。它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的

两个分支无限接近坐标轴，但永久达不到坐标轴。

3.性质：（1）当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而

减小；

（2）当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：示意反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

5.反比例函数解析式的确定

k

因为在反比例函数y=£中，只有一个待定系数，是以只需要一对对应值或图像上的一个点的

x

坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

专题典型题考法及解析

【例题1]（2021山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的极点A.B分别在x

轴、y轴的正半轴上，NABC=90°,CAJ_x轴，点C在函数>=三（x>0）的图象上，若AB=

X

C.V2D.2

【答案解析】A

【试题解答】根据题意可以求得0A和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本

题得以解决.

•.•等腰直角三角形ABC的极点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，ZABC=90°,CA_Lx轴，AB=

I,

.♦.NBAC=N8AO=45°,

：.OA=OB=®,AC=®

2

.•.点C的坐标为(返，V2),

2

•点C在函数y=K(x>0)的图象上，

X

.•/=乎X亚=1

故选:A.

【例题2】（2021湖南郴州）如图，点A,C分别为正比例函数y=x的图象与反比例函数的图象

的交点，过A点作轴于点Q,过C点作轴于点8,则四边形A8C。的面积为.

【答案解析】8

【试题解答】..•/!、C是两函数图象的交点,

...A、C关于原点对称，

,.•CQ_Lr轴，AB_Lx轴，

：.OA=OC,OB=OD,

s&AOB=sABOC=s&DOC=sMOD,

又•.•反比例函数y=3的图象上，

••S/\AOB=S,\BOC=Sj\DOC=S/\AOD—&x4=2,

•"•5四边形ABCD=4SA4OB=4X2=8,

故答案为：8.

m

【例题3*2021江苏镇江)如图，点4(2,ri)和点。是反比例函数)，=—(机>0,x>0)图像上的两

x

点，一次函数y="+3a#0)的图像经由点A,与y轴交于点8,与x轴交于点C,过点。作OEJ_x

轴，垂足为瓦毗邻04、OD.已知△O4B与△ODE的面积满足SAQAB：SA“E=3：4.

(1)S40AB=,m=;

(2)已知点P(6,0)在线段OE上，当NPDE=NCBO时,求点。的坐标.

【答案解析】见解析。

【试题解答】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性

质等，解题的关键是操纵反比例函数的比例系数的几何意义以及相似三角形的性质.先求出8点纵坐

标和A点的横坐标，操纵操纵三角形面积公式可得AOBA的面积，再根据面积的对照关系求出AOCE

的面积，末了根据反比例函数的比例系数的几何意义求出m的值；先由点A在双曲线上，求出A

点坐标；再先求出直线A3的解析式；毗邻OP,通过前提NPDE=NC8O,NPED=/COB=90°,得

PD//AB,于是可令直线PO的解析式为y=L.r+f,则0=1x6+f,求出PO的解析式；

22

[1q

卜=广3伍=8伉=-2

末了由4°解得《।\.从而锁定D点的坐标.

[X=lEM。

(1)•一次函数y=fcr+3(&H0)的图像经由点A,与y轴交于点8,

二8(0,3),OB=3.

•.•点A(2,明

-b'J=2-

二5AAOB=g・O8,|yJ=；x3x2=3.

■:S40AB:SdODE=3:4,

，SZWOE=4.

j/i

・.・OE，x轴，且点。在双曲线y=—上，

V/H>0,

・・〃?=8.

(2)如答图，毗邻尸

8

*•,点A(2,n)在双曲线y=一上，

x

/-2n=8,〃=4,A(2,4).

・・,一次函数y=fcr+3(攵HO)的图像经由点4,与y轴交于点3,

•♦.4=2攵+3.

*.k=—,直线AB的解析式为y='x+3.

22

•?/PDE=/CBO,/PED=NCOB=90°,

・・・/DPE=4BCO.

：.PD//AB.

・・・令直线PD的解析式为y=-x+r,则0=^X6+九

22

・1=-3,直线P。的解析式为y=^x—3.

y=-x-3

2x,1=8x?——2

由,解得\

8U=1%=-4

y=一

X

•.•点。在第一象限,

：.D(8,1).

专题典型练习题

一、挑选题

1.(2021贵州省毕节市)若点A(-4,yi)、8(-2,m)、C(2,”)都在反比例函数丫=-,

X

的图象上，则巾、”、y3的大小关系是()

A.^i>j2>y3B.y3>y2>yiC.y2>yi>y3D.巾>*>”

【答案解析】C.

【试题解答】根据反比例函数图象上点的坐标特点求出yi、”、户的值，对照后即可得出结论.

•••点4(-4,yi)、B(-2,”)、C(2,为)都在反比例函数y=的图象上，

X

.".yi="-=—,y2="-=V3=--,又；-，V，<，，/.Y3<vi<y2-故选：C.

-44-222242

2.(2021安徽)已知点A(l,-3)关于x轴的对称点4在反比例函数y=K的图象上，则实数的值

x

为()

A.3B.1C.-3D.-工

33

【答案解析】A

【试题解答】先根据关于x轴对称的点的坐标特点确定A的坐标为（1,3）,然后把4的坐标代入

y=k中即可得到k的值.

X

点A（1,-3）关于x轴的对称点4的坐标为（1,3）,

把4（1,3）代入y=K得-1x3=3.

X

故选:A.

3.（2021黑龙江哈尔滨）点（一1,4）在反比例函数y=V的图象上，则下列各点在此函数图象上的是

X

（）。

A.（4,-1）B.（」，1）C.（-4,-1）D.（-,2）

44

【答案解析】A

【试题解答】反比例函数的图象及性质

将点（-1,4）代入y=&,

X

k--4,J.y——,

x

.•.点（4,-1）在函数图象上。

4.（2021湖北十堰）如图，平面直角坐标系中，A（-8,0）,8（-8,4）,C（0,4）,反比例

函数），=［的图象分别与线段AB,8C交于点£>,E,毗邻DE.若点B关于DE的对称点恰好在OA上，

则无=（）

y八

B_EJ_C

A0\~

A.-20B.-16C.-12D.-8

【答案解析】

【试题解答】根据点的坐标可得矩形的长和宽，易知点。的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的

关系式，可用含有人的代数式示意另外一个坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题

转化到三角形ADF中，由勾股定理创立方程求出k的值.

解：过点E作EG_LOA,垂足为G,设点8关于的对称点为F,毗邻。尸、EF、BF,如图所示：

则△8OE丝△FDE,

BEJ\C

AFG0\

：.BD=FD,BE=FE,NDFE=ZDBE=90°

易证△AOFS^GQE

・AFDF

“EG一FE'

VA(-8,0),B(-8,4),C(0,4),

:・AB=OC=EG=4,OA=BC=S,

•：D.E在反比例函数的图象上，

kfc

：.E(-4)、D(-8,-g)

kk

：.OG=EC=-J,AD=

kk

・・・8O=4+旨3E=8+^

4J

.££一岂1」一竺一竺

BE~8+-~2~FE~EG'

4

：.AF=^EG=2,

在RtZUQ尸中，山勾股定理:4炉+其尸;。尸

即：(-1)2+22=(4+1)2

解得：k=-12

5.(2021湖北仙桃)反比例函数y=-称下列说法不对的是()

A.图象经由点(1,-3)B.图象位于第二、四象限

C.图象关于直线y=x对称D.y随x的增大而增大

【答案解析】D

【试题解答】由点(1,-3)的坐标满足反比例函数)=-*故4是对的：

由A=-3V0,双曲线位于二、四象限，故B也是对的；

由反比例函数的对称性，可知反比例函数)=-，关于y=x对称是对的，故C也是对的，

由反比例函数的性质，k<0,在每个象限内，y随X的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质,

故Z）是不对的。

6.（2021黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，平行四边形0ABe的极

点4在反比例函数y=1的图象上，极点B在反比例函数y的图象上，点C在X轴的正半轴

XX

上，则平行四边形048。的面积是（）

35

A.-B.-C.4D.6

22

【答案解析】C

【试题解答】反比例函数的图象和性质；平行四边形的面积。

设A（a,b）,B（a+m,b）,依题意得=Lh=—-—,

aa+m

—=---,化简得m=4a.*//7=—,Aab=l,

aa+ma

••S平行四边形0ABC=nIb=4ab=41义1—4,故C.

7.（2021广西贺州）已知成<0,一次函数〉="-人与反比例函数y=@在同一向角坐标系中的图象

X

大概（）

【答案解析】A

【试题解答】若反比例函数y=@经由第一、三象限，则“>0.所以6<0.则一次函数），=以-b的图象

X

应该经由第一、二、三象限；

若反比例函数y=g经由第二、四象限，则a<0.所以人>0.则一次函数y=的图象应该经由第

X

二、三、四象限.故选项A正确。

8.（2021•湖南衡阳）如图，一次函数力=自+6（ZWO）的图象与反比例函数近=皿（m为常数且%#

0）的图象都经由A（7,2）,B（2,-1）,联合图象，则不等式依+6>皿的解集是（）

x

A.x<-\B.-l<x<0

C.x<-l或0<x<2D.-l<x<0或x>2

【答案解析】C.

【试题解答】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范畴便是不等式反+〃>皿的解集.

X

由函数图象可知，当一次函数弘=日+从�）的图象在反比例函数”=皿（帆为常数且切¥0）的图

x

象上方时，x的取值范畴是：x<-I或0<xV2,

...不等式依+b>q的解集是x<-I或0<x<2

X

9.（2021•湖北黄石）如图，在平面直角坐标系中，点5在第一象限，轴于点4,反比例函数y

=k（》>0）的图象与线段AB订交于点C,且C是线段AB的中点，点C关于直线y=x的对称点

x

C的坐标为（1,〃）（心1）,若△045的面积为3,则我的值为（）

【答案解析】D.

【试题解答】根据对称性求出C点坐标，进而得OA与A8的长度，再根据已知三角形的面积列出n的

方程求得〃，进而用待定系数法求得k.

•点。关于直线y=x的对称点C的坐标为（1,〃）（〃W1）,

AC（»,1）,

，OA=〃，AC=1,

：.AB=2AC=2,

•••△OA8的面积为3,

•••1nX2=3，

解得，n=3,

：.C(3,1),

.•M=3X1=3.

10.（2021内蒙古赤峰）如图，点P是反比例函数）=（（kWO）的图象上随意率性一点，过点P作

轴，垂足为M.若△POM的面积等于2,则左的值等于（）

A.-4B.4C.-2D.2

【答案解析】A

【试题解答】的面积等于2,

1

・・・#|=2,

而ZV0,

：.k=-4.

U.（2021四川泸州）如图，一次函数yi=or+6和反比例函数的图象订交于A,B两点，则使力

A.-2<x<0或0<x<4B.x<-2或0<x<4

C.x<-2或x>4D.-2Vx<0或x>4

【答案解析】B

【试题解答】察看函数图象可发觉：当x<-2或0Vx<4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，...

使y\>y2成立的X取值范畴是XV-2或0<x<4.故选:B.

二、填空题

12.(2021贵州省毕节市)如图，在平面直角坐标中，一次函数y=-4x+4的图象与x轴、y轴分别

交于A、8两点.正方形ABC。的极点C、。在第一象限，极点。在反比例函数)，=4&#())的图

X

象上.若正方形ABCD向左平移〃个单位后，极点C恰好落在反比例函数的图象上，则〃的值

是.

【答案解析】3.

【试题解答】过点D作DE±x轴过点C作CF_Ly轴，可证△A8O丝△D4E(AAS),△CBF丝△8AO

(AA5),则可求。(5,I),C(4,5),确定函数解析式y=9,C向左移动〃个单位后为(4-

X

%5),进而求n的值；

过点。作DELx轴，过点C作CFLy轴，

：.ZBAO=ZDAE,

,.・A8=ADZBOA=ZDEA,

:•△ABOW4DAE(AAS),

：.AE=BO,DE=OA,

易求A(1,0),B(0,4),

：.D(5,1),

•••极点D在反比例函数y=-±,

X

:・k=5,

X

易证△CB/空△840(A4S),

，CF=4,BF=l,

：.C(4,5),

•.•。向左移动〃个单位后为(4-〃，5)

・・・5(4-〃)=5,

・・77=3,

故答案为3；

13.(2021湖北孝感)如图，双曲线y=，(x>0)经由矩形。4BC的极点B,双曲线y=^(x>0)交

AB,BC于点、E、F,且与矩形的对角线OB交于点£),毗邻EF.若OZ):08=2:3,则△BEF的面积

【答案解析】

18

【试题解答】设。(2m,2n),

VOD:0B=2:3,

.'.A(3m,0),C(0,3n),

:・B(3"z,3〃),

•.•双曲线尸?(x>0)经由矩形OA8C的极点注

，9=3m・3〃,

•*mri~~1,

*

•・•双曲线)=?(x>0)经由点Q,

，Z=4而〃

，双曲线丁=子(x>0),

44

••E(3m,­n),F(―3〃),

.4545

:.BE=3n—可〃=BF=3/n-可团，

12525

:・SABE尸gBE・BF=而初7=诟

।……25

故答案为—.

18

14.(2021北京市)在平面直角坐标系xQy中，点A(%6)(a>0,b>0)在双曲线>=4■上.点A关

X

于X轴的对称点8在双曲线y=殳上，则用+%,的值为.

X

【答案解析】0

【试题解答】关于X轴对称的点的坐标特点、双曲线y=右上点的坐标与k的关系.

X

TA、B两点关于x轴对称，

••.B点的坐标为(a,-b).

Lk

又「A®3、B(a,4)两点分别在又曲线了=」和丫=&上；

XX

:.ab=kx,—cib=k2.

Ak,+k2=0；故填0.

15.(2021贵州省安顺市)如图，直线/Lc轴于点P,且与反比例函数刃=舟及(x>0)及)，2=也仅(x

>0)的图象分别交于A,B两点，毗邻。4,OB,已知△OAB的面积为4,则后-七=

第15题图

【答案解析】8

kk

【试题解答】•••反比例函数的=>(x>0)及”=二(x>0)的图象

XX

均在第一象限内，

...所>0,k2>0.

♦.•AP_Lx轴，

.1I

••S/\OAP=—k\,S&ORP=—Ii2.

22

.,I

••S^OAB—S/^OAP-S^OBP——(幻-ki)—4,

2

解得:ki-k2=S.

故答案为：8.

16.(2021辽宁本溪)如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA,OE都在x轴

上，点C在OB边上，S“BD=6,反比例函数y=&(x>0)的图象经由点B,贝心的值为

【答案解析】6

【试题解答】过点D、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N,设OE=2a,OA=2b,根据四边形

OCDE是菱形和△OAB为等边三角形可得DM=0"和BN=6%进而得出SAABD=Stw

BDMN+SAABN-SAADM,进而求出〃的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点即可求出后的值.

过点D、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N.

设OE=2”，OA=2b.

•••四边形OCDE是菱形，

DM=V3a.

•.•△OAB为等边三角形，

.•.BN=AAA

._(百a+&)(a+。).2ga(a+2b)

SAABD-SI*®BDMN+SAABN-SAADM--------------------1--------------------

222

解得坟=i.

•.•点B的坐标为(几百力，且点B在反比例函数y=&的图象上，

X

k=V3h2=5/3

17.（2021广西桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例y=&Q>0）的图象和A4BC都在第一象限

x

内，AB=AC=~,3C//x轴，且3c=4,点A的坐标为（3,5）.若将AABC向下平移机个单位长度,

2

A,C两点同时落在反比例函数图象上，则，〃的值为.

【答案解析】-

4

【试题解答】.AB=AC=-,BC=4,点A(3,5).

2

77

C(5,-),

22

将AABC向下平移机个单位长度,

,-7

A(3,5-rn),C(5,——m),

2

・.・A,C两点同时落在反比例函数图象上，

7

3(5—ITI)=5(—nt),

2

:.m=—5

4

三、解答题

18.(2021年广西柳州市)如图，直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点8(0,2),将线

段A8绕点4顺时针旋转90°得到线段AC,反比例函数y=k(A¥0,x>0)的图象经由点C.

X

(1)求直线AB和反比例函数y=k(AKO,x>0)的解析式；

X

(2)已知点尸是反比例函数丫=上&¥0,x>0)图象上的一个动点，求点尸到直线AB间隔最短时

的坐标.

【试题解答】将点A(1,0),点8(0,2),代入y=mx+6,可求直线解析式；过点C