大一数学专业高等代数总复习

设PPx1x2xnf(x,x x)ax22axx

2axxax2

2axx

a

称为数域 11 121

1n1 22

2n2

nnP上的一个n设f(x1x2

xn

是数域P上的nf(x1x2

xn

'f(x1, xn)=X其中x=(x,x x)'，A=(a ,A'A。A称为二次型f(x,x x)的矩阵。秩（A）称 ij 二次型f(x1, 数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有属于PnnCBnn1 2定理数域P上任意一个二次型都可以经过 的线性替换化成dy2dy21 2

d定 任意一个复系数的二次型经过一适当的非的线性替换化成规范型z2z2 z2 定 任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范z2z2 正定二次型f(x1都有f )

设f(x1,x2, 是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数c1,c2,如果f(c1,c2)0.，那么f(x1,x2,xn)称为负定的；如果都有f(c1,c2)0.那么称 )0.，那么f(x1,x2,xn)称为半负 xn)=X'AX，其中A是实对称的，下列条件等价i)f(x1 iii)f(x1,x2 iv）A与单位矩阵合同设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元间定义了一种代数运算；这就是说，的和，记为rkV中任意元素V中都有唯一的元素k与k如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P（1）（2）()()(3)在V0V中任意元素（0称为V的零元素

0对于V中的每一个元素，都有V，使得0（称为的负元素1k(l)(kl)kk()k如果性空间V中有n个线性无关的向量。但是没有数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。如 性空间V中有n个线性无关的向量 ,n，且V中任一向量都可以用它线性表出，那么V是n维的，而 ,n就是V的一组基在n维线性空间中，n个线性无关的向量 ,n称为V的一组基。设是V中任一量，于是1,2,......,n，线性相关，因此可以被基 ,n唯一的线性表a11a11......ann，其中系数1,2,.....,n称为在基 ,n下的坐标记 ,n设......,与e,,e, ,e,是n维线性空间V中两组基，如1, 1 (e,,e,,....,e,)(.....,)

a1n

a1n 矩阵A 称为......, 1 1, n a

a

1, nn基e,,e, ,e,的过度矩阵

nn （2）设

......,与e,,e,,....,e,是n维线性空间V中两组基，由基 ......,到基e,,e, ,1, 1 1, 1 的过度矩阵为A，向量在这两组基下的坐标分别为（xxx）与(xx,x, x x'1 1x2 x'则 =A2

x'nP中线性空间V的一个非空子集合WVW对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间。线性空间V的非空子集W是V的子空间的充分必要条件是WV维 如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那1 1V1，2 （2）(k)k其中是V中任意向量，k是P中任意数，这样的映射都有đ()=đ()+đ( 数 乘 （đ）（）=đ（（ 11 12 1nAeaa 11 12 1nAeaa a 21 22 2n annn 其 A

a1n

矩阵A称为đ在基 ,n下列矩阵 a nn设1,2,..........,n是数域P上n维向量空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按 对应一个nn矩阵。这个对应具有以下性质：（3）设线性变换đ在基1,2,......,n下的矩阵是A，向量在基 ,n下的坐标y1 x1(x,,x

在基 ......,下的坐标（y,y,.....,y）可

2 1, .... ... n n

f(A)An

)An1

AE i air是属于特征值i的线性无关的i 说A相似于B,记为A~B. AV的一个线性变换，AAAV表示。AVV的子空间，维（AV）A的秩，所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，A1(0)A1(0)是V的子空间，维（A1(0)）称为A设đ是n维线性空间V的线性变换， WAA（1）(,)(,)（2）(k,)k(,（3）(,)(,)(,（4）(,0，当且仅当=0时(=0.这里,是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为得空间。非负实数(,称为向量非零向量

规定为arccos(,0

,如果向量的内积为零，即(0，那么称为正交或互相垂直，记为设V是一个n 得空间，在V中取一组基1,2,......,n令aij(i,j),(i,j1, A(aij)nn称为基 ,n的度量矩阵（2）(k)k 这里VkR，这样的映射V到v都有(AA设A是欧氏空间V4A保持向量的长度不变，即对于VA 间V1正交，记为V1。 欧氏空间V的每一个子空间V都有唯一的正交补V AVV，有(AA则称A为对称变换。A是对称变换，V是A-子空间，则V也是A- 称为向量的距离，记为d(（2）d