直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质

直线和平面的垂直关系在几何学中具有重要的地位。根据最新考纲，我们需要从立体几何的定义、公理和定理出发，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，并能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直。(2)判定定理与性质定理通过文字语言、图形表示和符号表示，可以得出以下两个定理：判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：l⊥a,l⊥b,a∩b=O,则l⊥α。性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。符号表示：a⊥α,b⊥α,则a∥b。2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角。(2)范围：这种角的度数在0到180度之间。3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角。(3)二面角的范围：这种角的度数在0到180度之间。4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。(2)判定定理与性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。符号表示：l⊥α,l⊂β,则α⊥β。性质定理：如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l⊂β,则l⊥α。需要注意的是，两个重要结论是：若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线。同时，我们要避免误解线面垂直的定义和判定定理。基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α。(√)(2)垂直于同一个平面的两平面平行。(×)(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面。(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β。解析：(1)如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有可能l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，因此(1)错误。(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，因此(2)错误。(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，因此(3)错误。(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，因此(4)正确。2.已知直线a、b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为b⊂α或b∥α。3.已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC。其中正确的是①②③。解析：由题设知，PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC。又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，因此①②③正确。4.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是m∥n且n⊥β。解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知m⊥β成立，因此选项C正确。5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则A1E⊥BC1。解析：由题设知，A1B1⊥平面BCC1且BC1⊂平面BCC1，从而A1B1⊥BC1。又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD。又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1。因此选项C正确。已知a和b为两条不同的直线，α和β为两个不同的平面。判断下列说法是否正确。A.若a与α垂直，b与β垂直，α与β平行，则a与b平行。B.若a与α垂直，b与β垂直，a与b垂直，则α与β垂直。C.若a与α垂直，a与b垂直，α与β平行，则b与β平行。D.若α与β的交线为a，且a与b平行，则b与α或b与β平行。解析：对于A，因为a与α垂直，α与β平行，所以a与β垂直。又因为b与β垂直，所以a与b平行，所以A正确。对于B，因为a与α垂直，a与b垂直，所以b在α平面内或与α平行。又因为β与α平行，所以b在β平面内或与β平行。因此，存在一条直线m在α平面内且与b平行，且在β平面内且与a平行。又因为m与a垂直，所以β与a垂直，所以B正确。对于C，因为a与α垂直，a与b垂直，所以b在α平面内或与α平行。又因为α与β平行，所以b在β平面内或与β平行。因此，b与β平行，所以C错误。对于D，因为α与β的交线为a，且a与b平行，所以b与α平行或b与β平行，所以D正确。答案为C。例1：三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。(1)证明PO垂直于平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离。(1)因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP垂直于AC，且OP=23。连接OB。因为AB=BC=21AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB垂直于AC，OB=2。由OP2+OB2=PB2可知，OP垂直于OB。由OP垂直于OB，OP垂直于AC且OB与AC的交点为O，所以PO垂直于平面ABC。(2)解作CH垂直于OM，垂足为H。又由(1)可得OP垂直于CH，所以CH垂直于平面POM。因此，CH的长度为点C到平面POM的距离。根据题设可知OC=AC/2=2，CM=BC/3=2/3，∠ACB=45°。所以OM=25OC·MC·sin∠ACB45，CH=3OM/5。因此，点C到平面POM的距离为5/3。规律方法：1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a平行于b，a垂直于平面α⇒b垂直于平面α)；(3)面面平行的性质(a垂直于平面α，α平行于β⇒a垂直于平面β)；(4)面面垂直的性质(α垂直于β，α与β的交线为a，直线l垂直于a且在β平面内⇒l垂直于平面α)。2.证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需要借助线面垂直的性质。因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想。证明：(1)由于PA垂直于平面PAD和底面ABCD的交线AD，且PA在平面PAD内，故PA垂直于底面ABCD。(2)由于AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，因此AB∥DE且AB=DE，所以ABED为平行四边形。又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD。因此，BE∥平面PAD。(3)由于AB⊥AD，且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD。由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD。因此，CD⊥平面PAD。又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD。又因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF。因此，CD⊥EF。又因为BE⊥CD且EF∩BE=E，所以CD⊥平面BEF。又因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD。已知两平面垂直时，通常需要使用性质定理进行转化。首先，在一个平面内作交线的垂线，将其转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。【训练2】(2019·泸州模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，其中AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，侧面SAD⊥底面ABCD。(1)证明：平面SBD⊥平面SAD。证明：设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a。由题意可知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，则BD＝2a，∠CBD＝45°。因此，∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°。在△ABD中，AD＝AB2＋DB2－2AB·DB·cos45°＝2a。由于AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD。又因为平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面SAD。又因为BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD。(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S－BCD的体积为6，求侧面△SAB的面积。解：由(1)可知AD＝SD＝2a。在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝6a。作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，则SH＝SDsin60°＝a/2。由(1)知BD⊥平面SAD，因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH。又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH为三棱锥S－BCD的高。因此，V(S－BCD)＝1/3×a×SH＝1/6a2。解得a＝1。由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，因此SB＝SD2＋BD2＝2＋2＝2。又AB＝2，SA＝6，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为(6/10)×4＝2.4。因此，△SAB的面积为(1/2)×2×2.4＝2.4。考点三：平行与垂直的综合问题多维探究：在多面体中，平行与垂直关系的证明通常需要使用性质定理。首先，需要确定相关的平面和线段，并进行转化，将其转化为线面垂直或线线垂直的关系。然后，根据已知条件进行推导，得出结论。因为底面ABCD是矩形，所以AB与AD垂直。又因为平面PAD垂直于平面ABCD且交于AD，所以AB也垂直于平面PAD。因此，AB与PD垂直。又因为PA与PD垂直且交于A，所以PD也垂直于平面PAB。又因为PD在平面PCD内，所以平面PAB与平面PCD垂直。如图所示，我们取PC的中点G并连接FG和DG。因为F和G分别是PB和PC的中点，所以FG与BC平行且长度相等。因为E是AD的中点，而ABCD是矩形，所以DE与BC平行且长度相等。因此，DE与FG平行且长度相等，从而四边形DEFG是一个平行四边形。因此，EF与DG平行。又因为EF不在平面PCD内，而DG在平面PCD内，所以EF与平面PCD平行。解(1)：由题知道AB=1，AC=2，∠BAC=60°，因此可以计算出△ABC的面积S。由PA垂直于平面ABC，PA就是三棱锥P－ABC的高。因此，三棱锥P－ABC的体积V=1/3×S×PA。解(2)：我们在平面ABC内作BN垂直于AC并交于点N，在平面PAC内过N作MN平行于PA并交于PC于点M，然后连接BM。由PA垂直于平面ABC，得到PA垂直于AC，因此MN垂直于AC。因为BN与MN交于点N，所以AC垂直于平面MBN。又因为BM在平面MBN内，所以AC垂直于BM。因此，存在点M使得AC垂直于BM。我们可以通过计算得到PM/MC=AN/NC=1/3，因此存在点M满足条件。探索点的位置是一个常见的几何问题，通常需要根据条件猜测点的位置，然后再进行证明。在确定点的位置时，常见的方法包括找出中点或三等分点，或者根据相似知识进行建点。同时，在计算几何体的度量时，需要考虑角度和空间位置关系。例题中，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC。将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P－EF－B的大小为60°。需要证明EF⊥PB，并求出当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，四棱锥P－EBCF的侧面积。首先，根据Rt△ABC中的条件，可以得出BC⊥AB。由于EF∥BC，因此EF⊥AB。在翻折后，垂直关系没有改变，因此仍有EF⊥PE和EF⊥BE。因为PE∩BE＝E，所以PE，BE⊂平面PBE，从而得出EF⊥平面PBE，因此EF⊥PB。当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，可以得出PE＝2，BE＝1，PB＝3。因此，PB⊥BE，并且PB，BC，BE两两垂直。同时，由△AEF∽△ABC可得，EF＝BC＝2。因此，△PBE，△PBC，△PEF均为直角三角形。通过余弦定理，可以得出PF＝2，PC＝√13，FC＝2。进而求得sin∠PFC＝15/115，从而得出S△PFC＝2/15。将所有三角形的面积相加，即可得到四棱锥P－EBCF的侧面积为31/2。在解题过程中，需要注意翻折前后线面位置关系的变化情况，准确找出没有变化和发生变化的量并应用到求解中。(1)通过证明线面垂直来证明线线垂直，因此需要证明AC⊥平面FBC。由于AC＝3，AB＝2，BC＝1，根据勾股定理可得AC2＋BC2＝AB2，因此AC⊥BC。又因为AC⊥FB，BC∩FB＝B，BC，FB⊂平面FBC，因此AC⊥平面FBC。(2)由于AC⊥平面FBC，FC⊂平面FBC，因此AC⊥FC。又因为CD⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD。在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1。因此△BCD的面积为S＝3/4，所以四面体FBCD的体积为V＝S·FC＝3/12。(3)线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA∥平面FDM。证明如下：连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN。因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点。因此EA∥MN。因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，所以EA∥平面FDM。因此线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA∥平面FDM成立。(例4)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°。若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为8π/3。根据题意，可以画出图形，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高。设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得l^2＝8，得l＝2/√13。在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2/√13，AO＝l＝2√3/3。因此，该圆锥的体积V＝π×AO^2×SO＝π×(2√3/3)^2×(2/√13)＝8π/3。已知正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的二面角为60°，且正三棱锥的体积为3，则其侧面积为多少？解析如图所示，设AB的中点为M，连接CM和PM。由正三棱锥的性质可知，PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC＝60°。设点P在平面ABC上的射影为H，则H是CM靠近M的三等分点。设AB＝a，则MH＝a/3。在直角三角形PMH中，PH＝a/√13，PM＝a/√3。因此，三棱锥P-ABC的体积为(1/3)×a×a/√3＝a^3/(3√3)＝3，解得a＝1。则PM＝a/√3＝1/√3，故S△PAB＝(1/2)×1×1/√3＝1/(2√3)。所以三棱锥的侧面积为3S△PAB＝3/(2√3)。答案：3/(2√3)规律方法：(1)解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量。(2)找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的垂直关系。[思维升华]：证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；(2)判定定理1：m，n⊂α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α。1.判定定理2：若直线a与直线b平行，直线a与平面α垂直，则直线b与平面α垂直。2.面面垂直的证明方法：(1)根据定义，两个平面相交所成二面角为直角。(2)利用判定定理：若直线a在平面α内且与直线b垂直，则平面α与平面β垂直。3.三种垂直关系之间可以相互转化。[易错防范]1.证明线面垂直时，应注意面内两条线相交的条件。2.面面垂直的判定定理中，应注意直线在面内且垂直于另一平面的条件。3.在使用面面垂直的性质定理时，应注意面内一线垂直于交线的条件。4.在解决直线与平面垂直的问题时，应注意联合使用线线垂直和线面垂直的定义、判定定理和性质定理。直观想象——立体几何中的动态问题1.直观想象是指利用几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的能力。2.立体几何中的动态问题主要包括：判断空间动点的轨迹、求轨迹的长度及动角的范围等。3.一般可以根据线、面垂直和线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹。【例1】在正方体ABCD－A'1B'1C'1D'1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A'1C'1D'1内的动点(不包括边界)，记直线D'1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为π/3，则点P的轨迹是椭圆的一部分。【例2】(2018·石家庄一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f(x)的图象是一个抛物线的一部分。解析对于A：m与α可能相交，n与β可能相交，所以A错误；对于B：m与α可能平行、相交或异面，n与β可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β，C正确；对于D：α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以D错误.答案C二、填空题5.已知平面α，β，γ，α⊥β，β⊥γ，P∈α，PQ⊥γ，交β于点M，则PM＝______.解析如图，因为PQ⊥γ，所以PM⊥γ，又β⊥γ，所以PM∥β，且PM＝MQ，所以PM＝MQ＝MN＋NQ，由勾股定理可得MN＝MPcos∠PMβ＝PQcos∠PQγ＝3cos45°＝3/√2，NQ＝PQsin∠PQγ＝3sin45°＝3/√2，所以PM＝MN＋NQ＝3/√2＋3/√2＝3√2.答案：3√2.6.已知平面α，β，γ，α⊥β，β⊥γ，P∈α，PQ⊥γ，交β于点M，交α于点N，则PN＝______.解析如上图，因为PQ⊥γ，所以PN⊥γ，又α⊥γ，所以PN∥α，且PN＝QN，所以PN＝QM＋MN，由勾股定理可得QM＝PQsin∠PQγ＝3sin45°＝3/√2，MN＝MPsin∠PMα＝PQsin∠PQγ＝3sin45°＝3/√2，所以PN＝QM＋MN＝3/√2＋3/√2＝3√2.答案：3√2.7.已知平面α，β，γ，α⊥β，β⊥γ，P∈α，PQ⊥γ，交β于点M，交γ于点N，则PM＝______.解析如上图，因为PQ⊥γ，所以PM⊥γ，又β⊥γ，所以PM∥β，且PM＝MQ，所以PM＝MN＋NQ，由勾股定理可得MN＝MPcos∠PMβ＝PQcos∠PQγ＝3cos45°＝3/√2，NQ＝PQsin∠PQγ＝3sin45°＝3/√2，所以PM＝MN＋NQ＝3/√2＋3/√2＝3√2.答案：3√2.8.已知平面α，β，γ，α⊥β，β⊥γ，P∈α，PQ⊥γ，交β于点M，交γ于点N，则PN＝______.解析如上图，因为PQ⊥γ，所以PN⊥γ，又β⊥γ，所以PN∥β，且PN＝QN，所以PN＝QM＋MN，由勾股定理可得QM＝PQsin∠PQγ＝3sin45°＝3/√2，MN＝MPsin∠PMα＝PQsin∠PQγ＝3sin45°＝3/√2，所以PN＝QM＋MN＝3/√2＋3/√2＝3√2.答案：3√2.三、应用题9.(2019·南京一模)如图，在正四面体ABCD中，E为BC的中点，F为AC的中点，G为AD的中点，连接DE，EF，FG，GD，交于点P，若AP＝2，则DP＝______.解析如图，因为AE＝EC，AF＝FC，AG＝GD，所以平面AEF与平面BCD垂直，且相交于直线DF，所以DP⊥EF，且DP∥BC，所以DP＝BC/2，由勾股定理可得BC＝2√2，所以DP＝√2.答案：√2.10.(2019·南昌二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AD，CD的中点，连接PQ，交AF于点E，交BF于点F，则EF＝______.解析如图，因为P，Q分别为AD，CD的中点，所以PQ∥AB，且PQ＝AB/2，所以PE＝QF＝AB/2，又因为AB＝BF，所以PE＝QF＝BF/2，所以EF＝PE＋PF＝QF＋QF＝3BF/2，由勾股定理可得BF＝√2，所以EF＝3√2/2.答案：3√2/2.所成的角，且AC1=√(AA1^2+AC^2)=√(1+4)=√5.又因为AB∥A1D，所以平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，即∠AC1A1B1=∠DC1B1C1，所以∠AC1A1的正弦值等于∠DC1B1C1的正弦值，即为BC/AC1=2/√5.答案2/√5三、解答题9.如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点。(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.证明(1)：如图，取PD的中点为G，连接FG，AG。因为F是CE的中点，所以FG是梯形CDPE的中位线，因为CD＝3PE，所以FG＝2PE，FG∥CD。因为CD∥AB，AB＝2PE，所以AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，因此BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，所以BF∥平面ADP。证明(2)：延长AO交CD于M，连接BM，FM。因为BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，所以四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，所以FM∥PD。因为PD⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD，所以FM⊥BD，因为AM∩FM＝M，所以BD⊥平面AMF，因此BD⊥平面AOF。10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC。(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由。(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC。又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC。