逆向思维策略在解数学题中的应用

1逆向思维策略在解数学题中的应用在解答数学问题的过程中，经常接触到的不是标准的模式化了的问题，要顺利地解答这些问题，就需要进行创造性的思维，寻求一种解题策略．而对于某些问题，当运用正面思维策略很难得出解题途径，甚至有时还是不可能的，这时可以改从目标的“反面〞去思维，间接地解答问题．这种解题策略称为逆向思维策略或正难那么反．例1、设a、b、m、n、p均为实数，且满足ap–2bn+cm=0与b2–ac<0，求证mp–n2的值为零或负数．采用正面思维时，很难得到解题思路，可改用逆向思维策略，如下：假设mp–n2为正数，即mp–n2>0那么有mp>n2≥0，由b2–ac<0得ac>b2≥0∴acmp>b2n2①式洁又由炭撤a顾p邻–嘱2桶b怀n倚+侦c坏m饭=尝0嗽可吊得篇b讽n港=饮(细a绘p督+茫cm猫)腰/连2结钱戚奇岸妄璃②刮式船将途②秃代入艘①盯得及ac健mp计>拼(刻a劝p钉+脾cm浇)宾2枪/唐4欣化简距整理访得谢(鞠ap郑玻–堆cm彻)够2婆<弊0骂，这念里产杠生了帖矛盾觉，所债以原插命题利成立甲．借逆向胶思维垃解题愁策略徐的应跳用很决广泛滤，其非根本剖特点牌是：圣从已偶有思历路的竭反方姓向去盼思考罗问题己，顺眉推不制行，村考虑邻逆推终；协直接雕解决翁不行额，想揉方法弓间接苏解决状；均正命淹题研疼究过磨后，蓬研究钥逆命盈题晴；有探讨驻可能蹦性发须生困秧难时蓝，考所虑探拢讨不钟可能因性．衔逆向态思维酿反映书了思扣维过秃程的特判断灯性、例突变充性与剥反联玩结性直，有卖利于吊克服艰思维蹄定势包的保垄守性隶，同热时，迅往往略能导辣致某称些意钢想不卸到的置效果倚．从盾而促延进数即学创间造的训产生昂．卷运用著逆向亮思维版策略啄，常孕有以凉下几裙种形迫式：颈一、豆反证产法脱．炉反证鄙法又占可以早分为桌归谬右法和哗穷举公法两熔种，够所谓保归谬仇法就迷是当决结论粘的否肾定方口面只样有一酱种情零况时艰，只犯要把眠这种渣情况辱否认河，就席能肯股定原拢命题丧的结房论正忆确．款而穷男举法侦是当略命题糟结论笔所否疾定的训方面呀有两旺种以惯上确实情况暗时，扇必须速把其要所有汁情况扎都驳牺倒，爪才能细肯定己原命寻题的葡结论恶正确正，拳一般鹿来讲镇，反亭证法倘常用哪来证萍明领“逮否认挣性智〞统命题殿，肝“卷唯一掘性盈〞船命题售，讽“遵至多准〞铅、凤“址至少迫〞赚命题浴，某守些化“灭无限充〞腔命题笨和直晚接证龟明难拿以下依手的吩命题趣等．包例敢2、侨游凳a、臂愚b、仔救c都隆是小挎于稿1的厘正数弟求证脂：乘供积伯(1毯玻–零a漫)街b迷，报(技1福–挎b染)扁c鹊，汉(1圾–闲c恨)柄a颜不能态同时畅大于扎．墙我们身采用眼反证喝法来团加以刑证明吸．裂证明偶：假喜设骗(1佩–稿a革)窄b荡>任，垄(1堆–者b北)肌c构>醒，(乐1抄–远c碑)井a救>仔体同骂时成艇立现．额以上悠第一训式两娇边同乞乘以快a，悼得：膜视券(盖1够–棒a口)术a三b袖>充虽①站式觉考虑寿到酷(矛1杠–衡a顶)泊a它≤蓬碍，吵两边稍同乘语以南b厘喊，得左：流(斧1件–堵a鬼)窗a经b妈≤倘②酬式齿由挪①高、村②谁式得帝<想，即遥a割<天b奔，搂类似侦地可棋得汇b览<诉c凡，娃就c飘<做a，暂烈综合始以上贪结果揉有：稿a瞎<症b脸<遗c洋<防a自这显饶然是池不成劈立的靠．故览原命爱题正收确．侄这样筑，在塞肯定丢命题殿的条跪件的碌前提拿下葡，碍并否耀定命目题的玉结论孩，截推出玻一个唯导致铺逻辑替矛盾宪的结成果从析而肯象定命鸦题为消真，犯是反屿证法栽证题烂的全浩过程仪．彩二、拌同一湾法崖同一暴法常堪用于龄证明辰某图急形具仓有某糕种性舍质的卧命题饿，多胞用于用几何驻方面溜．当骡欲证趋某图窗形具少有某气种性攻质而际又不箭易直慕接证统明时保，可论以作犹出具雪有所滩示性盟质的把图形会，然驼后证扩明所视作的公图形瓦跟所榜给的备某图童形就舅是同呀一个挂，把村它们钥等同鞠起来胸，这递种证糊法叫冤做同零一法搜．验例声3、偶以正帝方形洗AB础CD悔的一述边C萌D为亭底向汇内作彻等腰轧Δ典EC裂D，剥使其翠两底畏角为拢1锹5骨°型，那么质Δ希A搭BE蹲是等祝边三垒角形触．叹证明冬：阁以A膛B为沿边向央正方冤形内饭作等平边猫Δ梢A翻BE降'身，苍我们鉴来证纱明，妻点齿E背'杀跟材E同却为一婚点．朱(图说1)里所示要暴源娃丰型窄圆份舌体纵型概现株铁爆差桑亏隙D钟品势破山屿萄伶C束显然枣Δ瘦BC间E蕉'僻应叹是等庙腰三吃角形些，它爸的顶两角：季机随肿浇晋喜捎振钟E挽∠落CB漠E描'虫=芒90豆°汤–邪∠延AB辈E理'鲁=禽30拉°挑，摄所以敢它的播底角呀地∠别BC渐E血'步=已(1挑80嚷°删–亚3盘0转°柱)射=词75剑°窝．枕E脱'薯从而脂∠洗DC搅E'姓=闹1箱5瓣°肌，梦仿此华有迹∠除CD立E'映=碑1舒5漂°渡．他骡抖股忍贷轻A巡乱于闯糠虑较B晴∴认点萝E'欺与家E重亭合，斥Δ柳AB垮E是鸡等边缠三角吨形钞．夕可以补用同奏一法占证明尿的命浮题盼，彼实际陆上是环依据缠这厉(图识1)粥样的栋事实吹：隆具有搁所示盘性质毛的图铺形是良唯一与的．命三、脏淘汰管法健淘汰崇法就遗是考荡虑某姓个问么题中哄的一众切情江形，规通过传去掉丢其中省不合边要求适的部愈分，爽而得迫到合症乎要尝求的兽局部腾的一桃种解斧题方油法．倘例岗4、蜘从纽8位炕男生妨，5恋位女烫生．僻组成林的集泊体中古选出仙3名薪代表裳，求掀至少澡有一劫位女慨生的窃选法译有多歌少种文？醉用正倚面解荣法求预出是肝：瘦(种蚊)副而当盲用淘夜汰法吊求解晴时，味只要脉考虑滑到任葡选三足名代正表的闭选法退减去线所选狭代表案全是幕男生湿的选丧法，娃即：勒肝鄙桂(题种)泳显然羞，只夹要得阵当地盆运用也淘汰遵法，巧往往逆可使既复杂捕的问氧题得梳到简灵化求蛛解．挤四、蜓逆推拢法谜即执素果索衔因抽：运从结智论出赌发，桐向条距件逐业步上蜡溯，任先设禁想要册证明级的结致论成流立，雪推出翻它成牛立的鸟原因字，再唐把这风些原绑因看向成新获的结败论，澡再推皮求使完它们扭成立旁的原我因，微如此捏逐步哑上溯汤，直锅到推优出已住知条缩件或窗牲的事控实为济止．珍逆推常法也种叫分幅析法粘．煮例绘5、净在河Δ找AB尾C中响，已饱知紫∠垂B遣=浇2讨∠似C，报求证属：A涝C瑞2准=赞A免B托2机+御A途B乔·恐BC陪竹．汇用分旁析法挨探索望时，户思路芽如下汽：〔关如图辱2〕器东期尤扁定罗骡经龙披歼暴A帽分析牌：要宏证兰俊AC给2惜=禁A溪B折2散+纯A商B规·非BC匪，隶抛翠言许绳躺防谦厦B兽只要灶证：宪⑴廉AC笛2慌=愉AB荐(膨A拼B删+舰BC胜)贤智蚊迈肌闭省照咬草魂D朴懒害叔霞门君C坊⑵桃AC维2雾–踢AB住2酱=墨AB同·嫌BC炮⑶论AC椒2惜–营AB墨·缺BC萌=悠A液B溪2猴〔沙图2耍〕炒对上蝇面三夏种情慢况进拳行分路析，况⑴志式可势能是潜通向粒行条件纱的途杨径，余下面番对狡⑴洲式继贝续追肆索．跃要证似⑴位A滑C愤2岔=除A积B息(剥AB笋+扔B什C涝)宝成立峰，只涛要证恶明劫：递，丽从这掌里我秆们设属想构梁造一逝个以彩AC鞋为一旱边，常另一衫边等螺于A锯B菌+偏BC雁蓄，且伍与密Δ奉AB减C相泽似的竿三角录形．膏为此兄，我动们延伟长A螺B到拔D慢，使昂B询D花=仆BC参，题连结圾CD翻，那么夏有档：灶AD木=式A斥B垦+网BC件．于锋是闭要证竖毒证裳证倾Δ总AC馅B段∽Δ坑AD的C总怕证剖∠掌D努=舅∠叫AC纤B恶(境旋∵∠枯A为底公共颂角目〕梁侍证筋∠涛AB古C侄=我2盆∠杂D，生根据号辅助争线的虚作法文，生这是板容易冠证明线的，毛故命北题可丽证漏．驶〔证厕明略非〕裤此题只亦可舌在A登C上耀适当脚地取瓜一点烂E良欺，沈将笋A登C剑2屈转锁化为嘴A凉C某·传AE论+允总AC爽·病EC悲来进千行探披索读．辛可见求，分匠析法躲是先梦认定吗结论妙为真揭，倒天推而劲上，勒容易足启发庸思维目，每每一步荐推理麻都有葛较明忙确的挖目的泽，知捐道推桃理的右依据条，使算人了讲解思伍索过权程．抓五、挑常量冠与变裂元的量换位择在解桶决有仓关变达元的茄问题代时，背由于踢思维祝定势乡的影舒响，体人们朋总是将习惯茄于抓旁住变涌元不借放，究这在叔很多漆情况贫下当杠然是化正确填的，忠但在御抓住散变元耐解题晕较为伶困难料，甚游至产目生难绕以克嚷服的主障碍兆时，帮也可豪考虑愉采取麻常量盛与变笨元换兵位的魔策略幻．旦例6兴、解活方程桨净=订0点此题田按解涌三次飘方程锦方法认求解派相当警困难笛，可五把常猛量驱看胞作忆“旱未知猾数恐〞萄，反x看诸作常查量狡，那么奥可得离到一钥个关量于责的咳“攻一元吓二次常方程底〞课．始解之桑，得袜咐=起1有–灾x毯或艇=罗–闷(互x唇2舱+蚀x革+辩1任)杆/洲x圆召授(式x扇≠耕0)拨∴转x脾=眯1抛–砌或千x舞=霸[痰–仇(章+懒1洋)摘±体]聪/壳2们六、狱构造序反例切例桶7、档试证葬以下轻命题拴是假男命题颠：索:假设采α授、山β荡都是妙无