函数定义域值域经典习题及答案

函数定义域值域经典习题及答案

一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴$y=\dfrac{x^2-2x-15}{x+3-3}$；⑵$y=1-\dfrac{(x-1)^2}{2(x+1)}+(2x-1)+4-x^2$；⑶$y=\dfrac{1}{1+\frac{1}{x-1}}$。2、设函数$f(x)$的定义域为$[0,1]$，则函数$f(x^2)$的定义域为$[0,1]$；函数$f(x-2)$的定义域为$[-2,-1]$。3、若函数$f(x+1)$的定义域为$[-2,3]$，则函数$f(2x-1)$的定义域为$[-3,4]$；函数$\dfrac{1}{f(x+2)}$的定义域为$(-\infty,-3)\cup(-1,\infty)$。4、已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,1]$，且函数$F(x)=f(x+m)-f(x-m)$的定义域存在，求实数$m$的取值范围为$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$。二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴$y=x^2+2x-3$，$x\in\mathbb{R}$；⑵$y=x^2+2x-3$，$x\in[1,2]$；⑶$y=\dfrac{3x-1}{x+1}$，$x\geq5$；⑷$y=\dfrac{3x-1}{x+1}$，$x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$；⑸$y=\dfrac{5x^2+9x+4}{2x-1}$；⑹$y=x^2-4x+5$；⑺$y=-x^2+4x+5$；⑻$y=4-x^2+4x+5$；⑼$y=x-1-2x$；⑽$y=\dfrac{2x^2+ax+b}{x+2}$。6、已知函数$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$，求$a,b$的值，使得函数$f(x)$的值域为$[1,3]$。三、求函数的解析式1、已知函数$f(x-1)=x^2-4x$，求函数$f(x)$，$f(2x+1)$的解析式。$$f(x)=(x+1)^2-4(x+1)$$$$f(2x+1)=(2x+2)^2-4(2x+2)$$2、已知$f(x)$是二次函数，且$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$，求$f(x)$的解析式。设$f(x)=ax^2+bx+c$，则有$$\begin{cases}a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x\\2ax^2+2b=2x^2-4x\end{cases}$$解得$a=1$，$b=-2$，$c=1$，即$f(x)=x^2-2x+1$。3、已知函数$f(x)$满足$2f(x)+f(-x)=3x+4$，则$f(x)=\dfrac{3x+4}{3}$。4、设$f(x)$是$\mathbb{R}$上的奇函数，且当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)=x(1+3x)$，则当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)=-x(1-3x)$。$f(x)$在$\mathbb{R}$上的解析式为$f(x)=x|x|(1+3|x|)$。5、设$f(x)$与$g(x)$的定义域是$\{x|x\in\mathbb{R},x\neq\pm1\}$，$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，且$f(x)+g(x)=\dfrac{1}{x-1}$，求$f(x)$与$g(x)$的解析表达式。由$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，可得$$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(f(x)+f(-x)\right),\quadg(x)=\dfrac{1}{2}\left(f(x)-f(-x)\right)$$将$f(x)+g(x)=\dfrac{1}{x-1}$代入上式，解得$$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}+g(x)\right),\quadg(x)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-f(x)\right)$$四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴$y=x^2+2x+3$；⑵$y=-x^2+2x+3$；⑶$y=x^2-6x-1$。7、函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上是单调递减函数，则$f(1-x^2)$的单调递增区间是$[-1,1]$。8、函数$y=\dfrac{2-x^2-x}{3x+6}$的递减区间是$(-\infty,-3)\cup(-1,1)$；函数$y=\dfrac{3x+6}{2-x^2-x}$的递减区间是$(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$。五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（$\checkmark$）：⑴$y=(x+3)(x-5)$，$y=x^2-2x-15$；⑵$y=\dfrac{x-5}{x+1}$，$y=\dfrac{3x-1}{x+1}$；⑶$y=x^2-6x+9$，$y=(x-3)^2$。1.{y|y≥-4},y∈[0,5],{y|y≠3},y∈[,3),y∈[-3,2),{y|y≠5且y≠},{y|y≥4},y∈[0,3],y∈[1,4],{y|y≤}改写：1.给定函数定义域为{-4及以上的实数，0到5之间的实数，除了3的实数，小于3但不包括3的实数，-3到2之间的实数，不等于5和的实数，大于等于4的实数，0到3之间的实数，1到4之间的实数，小于等于的实数}。2.a=±2,b=2改写：2.给定a为正负2，b为2。3.函数解析式：改写：3.给定三个函数的解析式：f(x)=x²-2x-3，f(2x+1)=4x²-4，f(x)=3x+3。4.f(x)=x(1-x),f(x)={x(1+x)(x≥0),x(1-x)(x<0)}改写：4.给定两个函数的解析式：f(x)=x(1-x)，f(x)={x(1+x)(x≥0)，x(1-x)(x<0)}。5.单调区间：改写：5.给定六个函数的单调区间：(1)增区间为[-1,正无穷)，减区间为(-无穷,-1]；(2)增区间为[-1,1]，减区间为[1,3]；(3)增区间为[-3,0]和[3,正无穷)，减区间为[0,3]和(-无穷,-3]；(4)单调递减区间为(-无穷,a]，单调递增区间为[a,1]，减区间为[1,2]，增区间为[2,正无穷)；(5)单调递减区间为(-无穷,0]，单调递增区间为[0,1]，单调递减区间为[1,正无穷)；(6)单调递减区间为(-无穷,-2]和[2,正无穷)，单调递增区间为[-2,2]。6.综合题：改写：6.(1)给定一个函数f(x)，当a≤0时，f(x)在[0,2]内最小值为f(0)=-1，最大值为f(2)=3-4a；当0<a≤1时，f(x)在[0,2]内最小值为f(a)=-a²-1，最大值为f(2)=3-4a；当1<a≤2时，f(x)在[0,2]内最小值为f(a)=-a²-1，最大值为f(0)=-1；当a>2时，f(x)在[0,2]内最小值为f(2)=3-4a，最大值为f(0