固体电子导论第三章

固体电子导论第三章第1页，课件共62页，创作于2023年2月一、微振动方程及其解设晶体由N个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏离平衡位置）以位移矢量作为考察量：晶体的振动动能：第2页，课件共62页，创作于2023年2月晶体振动势能按的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数高阶项其中平衡位置处的势能为零势能点平衡位置处势能为极小值略去高阶项（简谐近似）晶体的振动势能：第3页，课件共62页，创作于2023年2月拉格朗日函数代入拉格朗日方程由3N个线性齐次方程组成的方程组,其一组特解为第4页，课件共62页，创作于2023年2月所有原子在每个方向上都作同频率,同相位,不同振幅的振动,称为简谐振动。有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有3N种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模式。每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的频率，初相位的振动，也称为一个振动模式。第5页，课件共62页，创作于2023年2月方程的一般解可表示为特解的线性叠加共有3N种叠加方式，表示在3N个方向上的振动。对晶体中某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的振动的叠加，形式极为复杂。借助简谐振动，可以将这一复杂的运动图象简化。晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示第6页，课件共62页，创作于2023年2月运用线性变换的方法，引入简正坐标

，总能量：简正坐标和谐振子：代入能量表达式，消除势能交叉项（即消去相互作用）谐振子第7页，课件共62页，创作于2023年2月N个相互作用着的原子系统可看成3N个独立的谐振子组成的系统。第8页，课件共62页，创作于2023年2月系统的总能量：每一个谐振子能量可表示为根据量子理论二、声子声子晶体系统的能量可看成由大量声子组成。第9页，课件共62页，创作于2023年2月光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量。声子------声子携带声波的能量和动量。若格波频率为ω，波矢q为，则声子的能量为ħω，动量为ħq。声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量ħω和动量ħq的粒子一样。可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化。声子的粒子性：返回第10页，课件共62页，创作于2023年2月§3.2一维布拉菲格子的晶格振动一维布拉菲格子（一维单原子链）对一维格子晶格振动的讨论是了解和描述三维格子晶格振动的重要基础。第11页，课件共62页，创作于2023年2月一、简谐近似下的运动解则原子间相互作用力近似1：简谐近似下原子间作用力简化为弹性力。作用力常数第12页，课件共62页，创作于2023年2月因此在简谐近似下，原子间的相互作用类似于一个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子。第13页，课件共62页，创作于2023年2月+2nx第n+1个原子对第n个原子的作用力第n-1个原子对第n个原子的作用力第14页，课件共62页，创作于2023年2月每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个方程联立的线性齐次方程组.第n个原子的运动方程第n个原子受到的合力为：近似2：只考虑最近邻原子间作用力第15页，课件共62页，创作于2023年2月正q对应于沿+x方向的前进波，负q对应于沿-x方向的波，这种在晶体中传播的波，称为格波。试解：为波矢位于处的原子的振动试探解一种振动模式（n=1,2,…）为频率第16页，课件共62页，创作于2023年2月试解代入运动方程——一维布拉菲晶格中格波的色散关系第17页，课件共62页，创作于2023年2月常将q限制在称为一维布拉菲晶格的第一布里渊区。即一维布拉菲晶格的倒格子原胞色散关系具有周期性0q一维布拉菲晶格的色散关系曲线第18页，课件共62页，创作于2023年2月色散关系曲线中任意一点的坐标代表一种振动模式，即代表一种格波。例如：第19页，课件共62页，创作于2023年2月整个晶格象刚体一样作整体运动,因而恢复力为0,故长波极限，邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢复力和频率取极大值第20页，课件共62页，创作于2023年2月二、周期性边界条件考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。第21页，课件共62页，创作于2023年2月有N种取值波矢点在波矢空间（第一布里渊区、倒格子原胞）均匀分布共有N种取值周期性边界下一维布拉菲晶格的色散关系曲线0q周期性边界条件下，频率也相应有N个取值。第22页，课件共62页，创作于2023年2月在周期性边界条件的约束下，N个格点组成的一维布拉格晶格的振动模式数共有N种，由色散关系曲线中N组分立的决定。周期性边界下一维布拉菲晶格的色散关系曲线0q第23页，课件共62页，创作于2023年2月三、色散关系周期性的物理意义：0q第一布里渊区第24页，课件共62页，创作于2023年2月波矢相差倒格矢，晶格振动相同•••••第25页，课件共62页，创作于2023年2月波矢空间中，晶格振动模式（代表点）均匀分布。晶格的独立振动模式数等于N，等于晶体的自由度数。色散关系中一组对应一种格波，或振动模式。一维布拉菲晶格中原子振动的特解是格波周期性边界条件限制0q小结：第26页，课件共62页，创作于2023年2月2aMm2n2n+1§3.3一维复式格子的晶格振动一维复式格子（一维双原子链）对一维复式格子晶格振动的讨论是了解和描述大量三维复式晶格的重要基础。第27页，课件共62页，创作于2023年2月一、运动方程试解：2aMm2n2n+1采用简谐近似和最近邻原子作用近似波矢为，频率为的格波，同一原胞中的两个原子振幅不同。第28页，课件共62页，创作于2023年2月齐次方程非零解条件代入运动方程——一维复式晶格中格波的色散关系第29页，课件共62页，创作于2023年2月称为一维复式晶格的第一布里渊区如m<M，色散关系中存在频隙0q一维复式晶格的色散关系曲线将q限制在：色散关系具有周期性，即一维复式晶格的倒格子原胞第30页，课件共62页，创作于2023年2月周期性边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的一维双原子链首尾相接，形成无限长的一维链。则有，共有N种取值有N种取值所以第31页，课件共62页，创作于2023年2月波矢的取值数=N（晶格原胞数）对每一个波矢q，有两类独立的振动振动模式数=2N（总自由度数）0q第32页，课件共62页，创作于2023年2月称为声频支，相应的格波称为声学波0q声学波相邻原子振动方向相同二、声频支和光频支Mm2n2n+1第33页，课件共62页，创作于2023年2月表示声频支在长波极限下，原胞内两个原子的振幅相同，且相邻原子振动位相差振动情况一致.声频支在长波限描述了原胞的整体运动.长声学波与声波的性质类似，可近似连续介质的弹性波。0q弹性波的色散关系考虑长波极限第34页，课件共62页，创作于2023年2月称为光频支，相应的格波称为光学波0q光学波相邻原子振动方向相反Mm2n2n+1第35页，课件共62页，创作于2023年2月考虑长波极限表明光频支在长波极限下，相邻原子反向振动，原胞质心保持静止。若是离子晶体，在电场作用下异号离子受力相反，可用光波来激发离子晶体中的这种长波振动。0q第36页，课件共62页，创作于2023年2月小结：1、简谐近似和最近邻原子作用近似原子之间的作用力近似为弹性力，且只受到最近邻原子作用。第37页，课件共62页，创作于2023年2月2、一维晶格中原子振动的特解是格波布拉菲晶格：复式晶格：一组确定的决定一种格波，或振动模式。第38页，课件共62页，创作于2023年2月3、格波的具体模式由色散关系确定一维布拉菲晶格0q0q一维复式晶格第一布里渊区（倒格子原胞）的范围第一布里渊区内波矢点均匀分布，波矢点的取值波矢点的取值个数（原胞数），晶格的振动模式数（自由度数）第39页，课件共62页，创作于2023年2月对于实际三维的晶体，上述的分析方法和结论是普适的。三维情形下，若基由n个原子组成，原胞内的原子共有3n个自由度，因而存在3n种色散关系。其中3支为声频支；

3(n-1)支为光频支。三、三维晶格金刚石【100】方向的色散关系第40页，课件共62页，创作于2023年2月原胞内含原子数原胞数自由度数q数格波数声学格波数光学格波数单原子链双原子链三维晶体12nNNNN2N3nNNNNNN3N0N3(n-1)N

格波数与晶体的维数及晶胞内原子数的关系第41页，课件共62页，创作于2023年2月一、晶格热容的量子理论§3.4晶格热容及其理论模型1）根据量子统计理论，声子是玻色子，由玻色分布知，温度为T时，角频率为的声子数为：由3N个谐振子组成的晶格系统，其总能量为：2）频率为的谐振子能量为：第42页，课件共62页，创作于2023年2月称为频率分布函数，表示单位频率间隔内的振动模式数。

谐振子数近似处理：1）取值的密集性可将求和近似用求积分代替；2）忽略零点振动能量3）整个晶格振动对应的内能为：4）晶格振动的内能可用积分求出：5）与原子的晶格振动对应的热容第43页，课件共62页，创作于2023年2月二、爱因斯坦模型假设：晶格包含N个原胞、每个原胞内包含n个原子，共有种振动模式，每个振动模式都具有相同的振动频率，爱因斯坦模型的频率分布函数：爱因斯坦模型的色散关系第44页，课件共62页，创作于2023年2月称为爱因斯坦比热容函数其中爱因斯坦特征温度热容：内能：第45页，课件共62页，创作于2023年2月①高温区HE与经典的实验结论相符②低温区HE讨论：与实验定性相符低温下，与的实验结论有差异爱因斯坦模型的缺陷：爱因斯坦模型的色散关系第46页，课件共62页，创作于2023年2月三、德拜模型假设：晶格振动的频率与波矢成正比(C为常数)即将晶体看成是各向同性的连续介质，把晶格振动看成是连续介质中传播的弹性波。德拜模型的色散关系德拜模型的频率分布函数：第47页，课件共62页，创作于2023年2月内能：热容：其中德拜温度德拜频率第48页，课件共62页，创作于2023年2月②低温区与固体的低温比热容相符德拜模型的局限性：在短波部分与实验结果不符讨论：①高温区与经典的实验结论相符德拜模型的色散关系第49页，课件共62页，创作于2023年2月四、频率分布函数（模式密度）1)在波矢空间，晶格振动模式是均匀分布的——表示单位频率间隔中晶格振动的模式数。频率分布函数的定义：对于三维情形，分布密度为晶体体积二维晶格模式的分布密度为：一维晶格模式分布密度为：q第50页，课件共62页，创作于2023年2月空间内，频率为的模式所占体积dq——表示两等频面间的垂直距离dsdqds——为面积元——两等频面间的体积2）求频率在范围内的模式数第51页，课件共62页，创作于2023年2月其中表示色散关系的斜率又因为积分对q空间的等频面进行。3）求频率分布函数第52页，课件共62页，创作于2023年2月(三维)(二维)(一维)第53页，课件共62页，创作于2023年2月例：德拜模型中假设(C为大于0常数)空间中的等频面为球面，半径为第54页，课件共62页，创作于2023年2月晶体铜的实际模式密度与德拜近似模式密度的比较第55页，课件共62页，创作于2023年2月例：

是一种常见的色散关系，

在三维情形，空间中等频率面为球面，半径为二维情形：一维情形：第56页，课件共62页，创作于2023年2月3.7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：证明：频率分布函数

三维晶格振动的态密度dq间隔内的状态数对